MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsubid 20397
Description: Subtraction of a vector from itself. (hvsubid 30010 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubeq0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubeq0.o 0 = (0g𝑊)
lmodsubeq0.m = (-g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodsubid ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem lmodsubid
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 20343 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 lmodsubeq0.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lmodsubeq0.o . . 3 0 = (0g𝑊)
4 lmodsubeq0.m . . 3 = (-g𝑊)
52, 3, 4grpsubid 18836 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 𝐴) = 0 )
61, 5sylan 581 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 𝐴) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  0gc0g 17326  Grpcgrp 18753  -gcsg 18755  LModclmod 20336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-lmod 20338
This theorem is referenced by:  lss0cl  20422  ttgbtwnid  27874
  Copyright terms: Public domain W3C validator