MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsubid 20819
Description: Subtraction of a vector from itself. (hvsubid 30864 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubeq0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubeq0.o 0 = (0g𝑊)
lmodsubeq0.m = (-g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodsubid ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem lmodsubid
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 20764 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 lmodsubeq0.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lmodsubeq0.o . . 3 0 = (0g𝑊)
4 lmodsubeq0.m . . 3 = (-g𝑊)
52, 3, 4grpsubid 18994 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 𝐴) = 0 )
61, 5sylan 578 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 𝐴) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  0gc0g 17430  Grpcgrp 18904  -gcsg 18906  LModclmod 20757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-lmod 20759
This theorem is referenced by:  lss0cl  20845  ttgbtwnid  28722
  Copyright terms: Public domain W3C validator