Theorem grpsubid 18659

Description: Subtraction of a group element from itself. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpsubid.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grpsubid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		grpsubid.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18625	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)))
6	5	anidms 567	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 − 𝑋) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)))
7	6	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)))
8		grpsubid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9	1, 2, 8, 3	grprinv 18629	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)) = 0 )
10	7, 9	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  -_gcsg 18579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582

This theorem is referenced by:  grppncan  18666  grpnpncan0  18671  issubg4  18774  0nsg  18797  gexdvds  19189  abladdsub4  19415  ablpncan2  19417  ablpnpcan  19421  ablnncan  19422  telgsums  19594  dprdfeq0  19625  lmodsubid  20183  dmatsubcl  21647  mdetuni0  21770  chpmat0d  21983  chpdmatlem2  21988  tgpconncomp  23264  tgpt0  23270  tgptsmscls  23301  deg1sublt  25275  lgsqrlem1  26494  archiabllem1a  31445  archiabllem2a  31448  archiabllem2c  31449  ornglmulle  31504  orngrmulle  31505  lfl0  37079  eqlkr  37113  lkrlsp  37116  lclkrlem2m  39533  lcfrlem1  39556  hdmapinvlem3  39934