Theorem grpsubid 18984

Description: Subtraction of a group element from itself. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpsubid.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grpsubid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		grpsubid.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18946	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)))
6	5	anidms 565	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 − 𝑋) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)))
7	6	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)))
8		grpsubid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9	1, 2, 8, 3	grprinv 18951	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)) = 0 )
10	7, 9	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  0_gc0g 17420  Grpcgrp 18894  inv_gcminusg 18895  -_gcsg 18896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899

This theorem is referenced by:  grppncan  18991  grpnpncan0  18996  issubg4  19104  0nsg  19128  gexdvds  19543  abladdsub4  19770  ablsubaddsub  19773  ablpncan2  19774  ablpnpcan  19778  ablnncan  19779  telgsums  19952  dprdfeq0  19983  lmodsubid  20809  rngqiprngimfolem  21184  rngqiprngfulem5  21209  dmatsubcl  22430  mdetuni0  22553  chpmat0d  22766  chpdmatlem2  22771  tgpconncomp  24047  tgpt0  24053  tgptsmscls  24084  deg1sublt  26076  lgsqrlem1  27309  archiabllem1a  32956  archiabllem2a  32959  archiabllem2c  32960  erlbr2d  33018  erler  33019  rloccring  33024  ornglmulle  33080  orngrmulle  33081  lfl0  38606  eqlkr  38640  lkrlsp  38643  lclkrlem2m  41061  lcfrlem1  41084  hdmapinvlem3  41462  aks6d1c2lem4  41667  aks6d1c5lem3  41677