Theorem grpsubid 19081

Description: Subtraction of a group element from itself. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpsubid.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grpsubid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		grpsubid.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 19042	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)))
6	5	anidms 576	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 − 𝑋) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)))
7	6	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)))
8		grpsubid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9	1, 2, 8, 3	grprinv 19047	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)) = 0 )
10	7, 9	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  0_gc0g 17482  Grpcgrp 18990  inv_gcminusg 18991  -_gcsg 18992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995

This theorem is referenced by:  grppncan  19088  grpnpncan0  19093  issubg4  19203  0nsg  19226  gexdvds  19645  abladdsub4  19872  ablsubaddsub  19875  ablpncan2  19876  ablpnpcan  19880  ablnncan  19881  telgsums  20054  dprdfeq0  20085  ornglmulle  20939  orngrmulle  20940  lmodsubid  21012  rngqiprngimfolem  21392  rngqiprngfulem5  21417  dmatsubcl  22616  mdetuni0  22739  chpmat0d  22952  chpdmatlem2  22957  tgpconncomp  24231  tgpt0  24237  tgptsmscls  24268  deg1sublt  26228  lgsqrlem1  27468  archiabllem1a  33424  archiabllem2a  33427  archiabllem2c  33428  erlbr2d  33497  erler  33498  rloccring  33504  lfl0  39701  eqlkr  39735  lkrlsp  39738  lclkrlem2m  42155  lcfrlem1  42178  hdmapinvlem3  42556  aks6d1c2lem4  42756  aks6d1c5lem3  42766  aks5lem2  42816