Theorem hvsubid 31685

Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubid	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = 0ℎ)

Proof of Theorem hvsubid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvmulid 31665	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐴) = 𝐴)
2	1	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴)) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴)))
3		ax-1cn 11297	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		neg1cn 12345	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		ax-hvdistr2 31668	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 + -1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴)))
6	3, 4, 5	mp3an12 1481	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((1 + -1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴)))
7		hvsubval 31675	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴)))
8	7	anidms 577	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴)))
9	2, 6, 8	3eqtr4rd 2809	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = ((1 + -1) ·ℎ 𝐴))
10		1pneg1e0 12500	. . . 4 ⊢ (1 + -1) = 0
11	10	oveq1i 7461	. . 3 ⊢ ((1 + -1) ·ℎ 𝐴) = (0 ·ℎ 𝐴)
12	9, 11	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = (0 ·ℎ 𝐴))
13		ax-hvmul0 31669	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐴) = 0ℎ)
14	12, 13	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = 0ℎ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   -cneg 11581   ℋchba 31578   +_ℎ cva 31579   ·_ℎ csm 31580  0_ℎc0v 31583   −_ℎ cmv 31584

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-hvmulid 31665  ax-hvdistr2 31668  ax-hvmul0 31669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583  df-hvsub 31630

This theorem is used by:  hvnegid  31686  hvsubeq0i  31722  hvaddsub4  31737  norm3difi  31806  5oalem1  32313  5oalem2  32314  5oalem3  32315  5oalem5  32317  3oalem2  32322  pjsslem  32338  ho0val  32409  lnop0  32625  0cnop  32638  pjclem4  32858  pj3si  32866