Theorem hvsubid 28597

Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubid	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = 0ℎ)

Proof of Theorem hvsubid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvmulid 28577	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐴) = 𝐴)
2	1	oveq1d 6989	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
3		ax-1cn 10391	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		neg1cn 11559	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		ax-hvdistr2 28580	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 + -1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
6	3, 4, 5	mp3an12 1431	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((1 + -1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
7		hvsubval 28587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
8	7	anidms 559	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
9	2, 6, 8	3eqtr4rd 2818	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = ((1 + -1) ·ℎ 𝐴))
10		1pneg1e0 11564	. . . 4 ⊢ (1 + -1) = 0
11	10	oveq1i 6984	. . 3 ⊢ ((1 + -1) ·ℎ 𝐴) = (0 ·ℎ 𝐴)
12	9, 11	syl6eq 2823	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = (0 ·ℎ 𝐴))
13		ax-hvmul0 28581	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐴) = 0ℎ)
14	12, 13	eqtrd 2807	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  (class class class)co 6974  ℂcc 10331  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336  -cneg 10669   ℋchba 28490   +_ℎ cva 28491   ·_ℎ csm 28492  0_ℎc0v 28495   −_ℎ cmv 28496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-hvmulid 28577  ax-hvdistr2 28580  ax-hvmul0 28581

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-ltxr 10477  df-sub 10670  df-neg 10671  df-hvsub 28542

This theorem is referenced by:  hvnegid  28598  hvsubeq0i  28634  hvaddsub4  28649  norm3difi  28718  5oalem1  29227  5oalem2  29228  5oalem3  29229  5oalem5  29231  3oalem2  29236  pjsslem  29252  ho0val  29323  lnop0  29539  0cnop  29552  pjclem4  29772  pj3si  29780