HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubid 30010
Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubid (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = 0โ„Ž)

Proof of Theorem hvsubid
StepHypRef Expression
1 ax-hvmulid 29990 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ด) = ๐ด)
21oveq1d 7373 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
3 ax-1cn 11114 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
4 neg1cn 12272 . . . . 5 -1 โˆˆ โ„‚
5 ax-hvdistr2 29993 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 + -1) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
63, 4, 5mp3an12 1452 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((1 + -1) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
7 hvsubval 30000 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
87anidms 568 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
92, 6, 83eqtr4rd 2784 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = ((1 + -1) ยทโ„Ž ๐ด))
10 1pneg1e0 12277 . . . 4 (1 + -1) = 0
1110oveq1i 7368 . . 3 ((1 + -1) ยทโ„Ž ๐ด) = (0 ยทโ„Ž ๐ด)
129, 11eqtrdi 2789 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = (0 ยทโ„Ž ๐ด))
13 ax-hvmul0 29994 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 ยทโ„Ž ๐ด) = 0โ„Ž)
1412, 13eqtrd 2773 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = 0โ„Ž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  -cneg 11391   โ„‹chba 29903   +โ„Ž cva 29904   ยทโ„Ž csm 29905  0โ„Žc0v 29908   โˆ’โ„Ž cmv 29909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-hvmulid 29990  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-sub 11392  df-neg 11393  df-hvsub 29955
This theorem is referenced by:  hvnegid  30011  hvsubeq0i  30047  hvaddsub4  30062  norm3difi  30131  5oalem1  30638  5oalem2  30639  5oalem3  30640  5oalem5  30642  3oalem2  30647  pjsslem  30663  ho0val  30734  lnop0  30950  0cnop  30963  pjclem4  31183  pj3si  31191
  Copyright terms: Public domain W3C validator