Theorem hvsubid 30279

Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubid	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = 0ℎ)

Proof of Theorem hvsubid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvmulid 30259	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐴) = 𝐴)
2	1	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
3		ax-1cn 11168	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		neg1cn 12326	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		ax-hvdistr2 30262	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 + -1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
6	3, 4, 5	mp3an12 1452	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((1 + -1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
7		hvsubval 30269	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
8	7	anidms 568	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
9	2, 6, 8	3eqtr4rd 2784	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = ((1 + -1) ·ℎ 𝐴))
10		1pneg1e0 12331	. . . 4 ⊢ (1 + -1) = 0
11	10	oveq1i 7419	. . 3 ⊢ ((1 + -1) ·ℎ 𝐴) = (0 ·ℎ 𝐴)
12	9, 11	eqtrdi 2789	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = (0 ·ℎ 𝐴))
13		ax-hvmul0 30263	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐴) = 0ℎ)
14	12, 13	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  -cneg 11445   ℋchba 30172   +_ℎ cva 30173   ·_ℎ csm 30174  0_ℎc0v 30177   −_ℎ cmv 30178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-hvmulid 30259  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447  df-hvsub 30224

This theorem is referenced by:  hvnegid  30280  hvsubeq0i  30316  hvaddsub4  30331  norm3difi  30400  5oalem1  30907  5oalem2  30908  5oalem3  30909  5oalem5  30911  3oalem2  30916  pjsslem  30932  ho0val  31003  lnop0  31219  0cnop  31232  pjclem4  31452  pj3si  31460