HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubid 28223
Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubid (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 𝐴) = 0)

Proof of Theorem hvsubid
StepHypRef Expression
1 ax-hvmulid 28203 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21oveq1d 6808 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → ((1 · 𝐴) + (-1 · 𝐴)) = (𝐴 + (-1 · 𝐴)))
3 ax-1cn 10196 . . . . 5 1 ∈ ℂ
4 neg1cn 11326 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
5 ax-hvdistr2 28206 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 + -1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (-1 · 𝐴)))
63, 4, 5mp3an12 1562 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → ((1 + -1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (-1 · 𝐴)))
7 hvsubval 28213 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐴) = (𝐴 + (-1 · 𝐴)))
87anidms 556 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 𝐴) = (𝐴 + (-1 · 𝐴)))
92, 6, 83eqtr4rd 2816 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 𝐴) = ((1 + -1) · 𝐴))
10 1pneg1e0 11331 . . . 4 (1 + -1) = 0
1110oveq1i 6803 . . 3 ((1 + -1) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
129, 11syl6eq 2821 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 𝐴) = (0 · 𝐴))
13 ax-hvmul0 28207 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 · 𝐴) = 0)
1412, 13eqtrd 2805 1 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  -cneg 10469  chil 28116   + cva 28117   · csm 28118  0c0v 28121   cmv 28122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-hvmulid 28203  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-ltxr 10281  df-sub 10470  df-neg 10471  df-hvsub 28168
This theorem is referenced by:  hvnegid  28224  hvsubeq0i  28260  hvaddsub4  28275  norm3difi  28344  5oalem1  28853  5oalem2  28854  5oalem3  28855  5oalem5  28857  3oalem2  28862  pjsslem  28878  ho0val  28949  lnop0  29165  0cnop  29178  pjclem4  29398  pj3si  29406
  Copyright terms: Public domain W3C validator