Theorem hvsubid 31012

Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubid	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = 0ℎ)

Proof of Theorem hvsubid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvmulid 30992	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐴) = 𝐴)
2	1	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
3		ax-1cn 11192	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		neg1cn 12359	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		ax-hvdistr2 30995	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 + -1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
6	3, 4, 5	mp3an12 1453	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((1 + -1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
7		hvsubval 31002	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
8	7	anidms 566	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)))
9	2, 6, 8	3eqtr4rd 2782	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = ((1 + -1) ·ℎ 𝐴))
10		1pneg1e0 12364	. . . 4 ⊢ (1 + -1) = 0
11	10	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ ((1 + -1) ·ℎ 𝐴) = (0 ·ℎ 𝐴)
12	9, 11	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = (0 ·ℎ 𝐴))
13		ax-hvmul0 30996	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐴) = 0ℎ)
14	12, 13	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137  -cneg 11472   ℋchba 30905   +_ℎ cva 30906   ·_ℎ csm 30907  0_ℎc0v 30910   −_ℎ cmv 30911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-hvmulid 30992  ax-hvdistr2 30995  ax-hvmul0 30996

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473  df-neg 11474  df-hvsub 30957

This theorem is referenced by:  hvnegid  31013  hvsubeq0i  31049  hvaddsub4  31064  norm3difi  31133  5oalem1  31640  5oalem2  31641  5oalem3  31642  5oalem5  31644  3oalem2  31649  pjsslem  31665  ho0val  31736  lnop0  31952  0cnop  31965  pjclem4  32185  pj3si  32193