Theorem hvsubid 31634

Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubid	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = 0ℎ)

Proof of Theorem hvsubid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvmulid 31614	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐴) = 𝐴)
2	1	oveq1d 7436	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴)) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴)))
3		ax-1cn 11262	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		neg1cn 12309	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		ax-hvdistr2 31617	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 + -1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴)))
6	3, 4, 5	mp3an12 1480	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((1 + -1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴)))
7		hvsubval 31624	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴)))
8	7	anidms 577	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴)))
9	2, 6, 8	3eqtr4rd 2806	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = ((1 + -1) ·ℎ 𝐴))
10		1pneg1e0 12464	. . . 4 ⊢ (1 + -1) = 0
11	10	oveq1i 7431	. . 3 ⊢ ((1 + -1) ·ℎ 𝐴) = (0 ·ℎ 𝐴)
12	9, 11	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = (0 ·ℎ 𝐴))
13		ax-hvmul0 31618	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐴) = 0ℎ)
14	12, 13	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 𝐴) = 0ℎ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   -cneg 11546   ℋchba 31527   +_ℎ cva 31528   ·_ℎ csm 31529  0_ℎc0v 31532   −_ℎ cmv 31533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-hvmulid 31614  ax-hvdistr2 31617  ax-hvmul0 31618

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-sub 11547  df-neg 11548  df-hvsub 31579

This theorem is used by:  hvnegid  31635  hvsubeq0i  31671  hvaddsub4  31686  norm3difi  31755  5oalem1  32262  5oalem2  32263  5oalem3  32264  5oalem5  32266  3oalem2  32271  pjsslem  32287  ho0val  32358  lnop0  32574  0cnop  32587  pjclem4  32807  pj3si  32815