HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubid 30856
Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubid (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = 0โ„Ž)

Proof of Theorem hvsubid
StepHypRef Expression
1 ax-hvmulid 30836 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ด) = ๐ด)
21oveq1d 7441 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
3 ax-1cn 11204 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
4 neg1cn 12364 . . . . 5 -1 โˆˆ โ„‚
5 ax-hvdistr2 30839 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 + -1) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
63, 4, 5mp3an12 1447 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((1 + -1) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
7 hvsubval 30846 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
87anidms 565 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
92, 6, 83eqtr4rd 2779 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = ((1 + -1) ยทโ„Ž ๐ด))
10 1pneg1e0 12369 . . . 4 (1 + -1) = 0
1110oveq1i 7436 . . 3 ((1 + -1) ยทโ„Ž ๐ด) = (0 ยทโ„Ž ๐ด)
129, 11eqtrdi 2784 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = (0 ยทโ„Ž ๐ด))
13 ax-hvmul0 30840 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 ยทโ„Ž ๐ด) = 0โ„Ž)
1412, 13eqtrd 2768 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = 0โ„Ž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  -cneg 11483   โ„‹chba 30749   +โ„Ž cva 30750   ยทโ„Ž csm 30751  0โ„Žc0v 30754   โˆ’โ„Ž cmv 30755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-hvmulid 30836  ax-hvdistr2 30839  ax-hvmul0 30840
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485  df-hvsub 30801
This theorem is referenced by:  hvnegid  30857  hvsubeq0i  30893  hvaddsub4  30908  norm3difi  30977  5oalem1  31484  5oalem2  31485  5oalem3  31486  5oalem5  31488  3oalem2  31493  pjsslem  31509  ho0val  31580  lnop0  31796  0cnop  31809  pjclem4  32029  pj3si  32037
  Copyright terms: Public domain W3C validator