HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubid 30908
Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubid (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 𝐴) = 0)

Proof of Theorem hvsubid
StepHypRef Expression
1 ax-hvmulid 30888 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21oveq1d 7434 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → ((1 · 𝐴) + (-1 · 𝐴)) = (𝐴 + (-1 · 𝐴)))
3 ax-1cn 11198 . . . . 5 1 ∈ ℂ
4 neg1cn 12359 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
5 ax-hvdistr2 30891 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 + -1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (-1 · 𝐴)))
63, 4, 5mp3an12 1447 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → ((1 + -1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (-1 · 𝐴)))
7 hvsubval 30898 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐴) = (𝐴 + (-1 · 𝐴)))
87anidms 565 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 𝐴) = (𝐴 + (-1 · 𝐴)))
92, 6, 83eqtr4rd 2776 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 𝐴) = ((1 + -1) · 𝐴))
10 1pneg1e0 12364 . . . 4 (1 + -1) = 0
1110oveq1i 7429 . . 3 ((1 + -1) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
129, 11eqtrdi 2781 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 𝐴) = (0 · 𝐴))
13 ax-hvmul0 30892 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 · 𝐴) = 0)
1412, 13eqtrd 2765 1 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143  -cneg 11477  chba 30801   + cva 30802   · csm 30803  0c0v 30806   cmv 30807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-hvmulid 30888  ax-hvdistr2 30891  ax-hvmul0 30892
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-ltxr 11285  df-sub 11478  df-neg 11479  df-hvsub 30853
This theorem is referenced by:  hvnegid  30909  hvsubeq0i  30945  hvaddsub4  30960  norm3difi  31029  5oalem1  31536  5oalem2  31537  5oalem3  31538  5oalem5  31540  3oalem2  31545  pjsslem  31561  ho0val  31632  lnop0  31848  0cnop  31861  pjclem4  32081  pj3si  32089
  Copyright terms: Public domain W3C validator