![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > hvsubid | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
hvsubid | โข (๐ด โ โ โ (๐ด โโ ๐ด) = 0โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-hvmulid 30836 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (1 ยทโ ๐ด) = ๐ด) | |
2 | 1 | oveq1d 7441 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((1 ยทโ ๐ด) +โ (-1 ยทโ ๐ด)) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ด))) |
3 | ax-1cn 11204 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
4 | neg1cn 12364 | . . . . 5 โข -1 โ โ | |
5 | ax-hvdistr2 30839 | . . . . 5 โข ((1 โ โ โง -1 โ โ โง ๐ด โ โ) โ ((1 + -1) ยทโ ๐ด) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (-1 ยทโ ๐ด))) | |
6 | 3, 4, 5 | mp3an12 1447 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((1 + -1) ยทโ ๐ด) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (-1 ยทโ ๐ด))) |
7 | hvsubval 30846 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ด โโ ๐ด) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ด))) | |
8 | 7 | anidms 565 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โโ ๐ด) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ด))) |
9 | 2, 6, 8 | 3eqtr4rd 2779 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โโ ๐ด) = ((1 + -1) ยทโ ๐ด)) |
10 | 1pneg1e0 12369 | . . . 4 โข (1 + -1) = 0 | |
11 | 10 | oveq1i 7436 | . . 3 โข ((1 + -1) ยทโ ๐ด) = (0 ยทโ ๐ด) |
12 | 9, 11 | eqtrdi 2784 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โโ ๐ด) = (0 ยทโ ๐ด)) |
13 | ax-hvmul0 30840 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (0 ยทโ ๐ด) = 0โ) | |
14 | 12, 13 | eqtrd 2768 | 1 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โโ ๐ด) = 0โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7426 โcc 11144 0cc0 11146 1c1 11147 + caddc 11149 -cneg 11483 โchba 30749 +โ cva 30750 ยทโ csm 30751 0โc0v 30754 โโ cmv 30755 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-hvmulid 30836 ax-hvdistr2 30839 ax-hvmul0 30840 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-po 5594 df-so 5595 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-ltxr 11291 df-sub 11484 df-neg 11485 df-hvsub 30801 |
This theorem is referenced by: hvnegid 30857 hvsubeq0i 30893 hvaddsub4 30908 norm3difi 30977 5oalem1 31484 5oalem2 31485 5oalem3 31486 5oalem5 31488 3oalem2 31493 pjsslem 31509 ho0val 31580 lnop0 31796 0cnop 31809 pjclem4 32029 pj3si 32037 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |