HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubid 30783
Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubid (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = 0โ„Ž)

Proof of Theorem hvsubid
StepHypRef Expression
1 ax-hvmulid 30763 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ด) = ๐ด)
21oveq1d 7419 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
3 ax-1cn 11167 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
4 neg1cn 12327 . . . . 5 -1 โˆˆ โ„‚
5 ax-hvdistr2 30766 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 + -1) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
63, 4, 5mp3an12 1447 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((1 + -1) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
7 hvsubval 30773 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
87anidms 566 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ด)))
92, 6, 83eqtr4rd 2777 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = ((1 + -1) ยทโ„Ž ๐ด))
10 1pneg1e0 12332 . . . 4 (1 + -1) = 0
1110oveq1i 7414 . . 3 ((1 + -1) ยทโ„Ž ๐ด) = (0 ยทโ„Ž ๐ด)
129, 11eqtrdi 2782 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = (0 ยทโ„Ž ๐ด))
13 ax-hvmul0 30767 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 ยทโ„Ž ๐ด) = 0โ„Ž)
1412, 13eqtrd 2766 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ด) = 0โ„Ž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  -cneg 11446   โ„‹chba 30676   +โ„Ž cva 30677   ยทโ„Ž csm 30678  0โ„Žc0v 30681   โˆ’โ„Ž cmv 30682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hvmulid 30763  ax-hvdistr2 30766  ax-hvmul0 30767
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-hvsub 30728
This theorem is referenced by:  hvnegid  30784  hvsubeq0i  30820  hvaddsub4  30835  norm3difi  30904  5oalem1  31411  5oalem2  31412  5oalem3  31413  5oalem5  31415  3oalem2  31420  pjsslem  31436  ho0val  31507  lnop0  31723  0cnop  31736  pjclem4  31956  pj3si  31964
  Copyright terms: Public domain W3C validator