![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > hvsubid | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
hvsubid | โข (๐ด โ โ โ (๐ด โโ ๐ด) = 0โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-hvmulid 29990 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (1 ยทโ ๐ด) = ๐ด) | |
2 | 1 | oveq1d 7373 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((1 ยทโ ๐ด) +โ (-1 ยทโ ๐ด)) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ด))) |
3 | ax-1cn 11114 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
4 | neg1cn 12272 | . . . . 5 โข -1 โ โ | |
5 | ax-hvdistr2 29993 | . . . . 5 โข ((1 โ โ โง -1 โ โ โง ๐ด โ โ) โ ((1 + -1) ยทโ ๐ด) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (-1 ยทโ ๐ด))) | |
6 | 3, 4, 5 | mp3an12 1452 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((1 + -1) ยทโ ๐ด) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (-1 ยทโ ๐ด))) |
7 | hvsubval 30000 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ด โโ ๐ด) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ด))) | |
8 | 7 | anidms 568 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โโ ๐ด) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ด))) |
9 | 2, 6, 8 | 3eqtr4rd 2784 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โโ ๐ด) = ((1 + -1) ยทโ ๐ด)) |
10 | 1pneg1e0 12277 | . . . 4 โข (1 + -1) = 0 | |
11 | 10 | oveq1i 7368 | . . 3 โข ((1 + -1) ยทโ ๐ด) = (0 ยทโ ๐ด) |
12 | 9, 11 | eqtrdi 2789 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โโ ๐ด) = (0 ยทโ ๐ด)) |
13 | ax-hvmul0 29994 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (0 ยทโ ๐ด) = 0โ) | |
14 | 12, 13 | eqtrd 2773 | 1 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โโ ๐ด) = 0โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7358 โcc 11054 0cc0 11056 1c1 11057 + caddc 11059 -cneg 11391 โchba 29903 +โ cva 29904 ยทโ csm 29905 0โc0v 29908 โโ cmv 29909 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-hvmulid 29990 ax-hvdistr2 29993 ax-hvmul0 29994 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-po 5546 df-so 5547 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-ltxr 11199 df-sub 11392 df-neg 11393 df-hvsub 29955 |
This theorem is referenced by: hvnegid 30011 hvsubeq0i 30047 hvaddsub4 30062 norm3difi 30131 5oalem1 30638 5oalem2 30639 5oalem3 30640 5oalem5 30642 3oalem2 30647 pjsslem 30663 ho0val 30734 lnop0 30950 0cnop 30963 pjclem4 31183 pj3si 31191 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |