![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > hvsubid | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
hvsubid | โข (๐ด โ โ โ (๐ด โโ ๐ด) = 0โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-hvmulid 30763 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (1 ยทโ ๐ด) = ๐ด) | |
2 | 1 | oveq1d 7419 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((1 ยทโ ๐ด) +โ (-1 ยทโ ๐ด)) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ด))) |
3 | ax-1cn 11167 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
4 | neg1cn 12327 | . . . . 5 โข -1 โ โ | |
5 | ax-hvdistr2 30766 | . . . . 5 โข ((1 โ โ โง -1 โ โ โง ๐ด โ โ) โ ((1 + -1) ยทโ ๐ด) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (-1 ยทโ ๐ด))) | |
6 | 3, 4, 5 | mp3an12 1447 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((1 + -1) ยทโ ๐ด) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (-1 ยทโ ๐ด))) |
7 | hvsubval 30773 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ด โโ ๐ด) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ด))) | |
8 | 7 | anidms 566 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โโ ๐ด) = (๐ด +โ (-1 ยทโ ๐ด))) |
9 | 2, 6, 8 | 3eqtr4rd 2777 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โโ ๐ด) = ((1 + -1) ยทโ ๐ด)) |
10 | 1pneg1e0 12332 | . . . 4 โข (1 + -1) = 0 | |
11 | 10 | oveq1i 7414 | . . 3 โข ((1 + -1) ยทโ ๐ด) = (0 ยทโ ๐ด) |
12 | 9, 11 | eqtrdi 2782 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โโ ๐ด) = (0 ยทโ ๐ด)) |
13 | ax-hvmul0 30767 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (0 ยทโ ๐ด) = 0โ) | |
14 | 12, 13 | eqtrd 2766 | 1 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โโ ๐ด) = 0โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7404 โcc 11107 0cc0 11109 1c1 11110 + caddc 11112 -cneg 11446 โchba 30676 +โ cva 30677 ยทโ csm 30678 0โc0v 30681 โโ cmv 30682 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-hvmulid 30763 ax-hvdistr2 30766 ax-hvmul0 30767 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-ltxr 11254 df-sub 11447 df-neg 11448 df-hvsub 30728 |
This theorem is referenced by: hvnegid 30784 hvsubeq0i 30820 hvaddsub4 30835 norm3difi 30904 5oalem1 31411 5oalem2 31412 5oalem3 31413 5oalem5 31415 3oalem2 31420 pjsslem 31436 ho0val 31507 lnop0 31723 0cnop 31736 pjclem4 31956 pj3si 31964 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |