Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncvr 36296
Description: Covering property of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrncvr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrncvr.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
ltrncvr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrncvr.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncvr (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝐹𝑋)𝐶(𝐹𝑌)))

Proof of Theorem ltrncvr
StepHypRef Expression
1 simp1l 1211 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾𝑉)
2 ltrncvr.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2778 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ltrncvr.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrnlaut 36286 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
653adant3 1123 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7 simp3l 1215 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
8 simp3r 1216 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
9 ltrncvr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 ltrncvr.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
119, 10, 3lautcvr 36255 . 2 ((𝐾𝑉 ∧ (𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝐹𝑋)𝐶(𝐹𝑌)))
121, 6, 7, 8, 11syl13anc 1440 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝐹𝑋)𝐶(𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4888  cfv 6137  Basecbs 16266  ccvr 35425  LHypclh 36147  LAutclaut 36148  LTrncltrn 36264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-map 8144  df-plt 17355  df-covers 35429  df-laut 36152  df-ldil 36267  df-ltrn 36268
This theorem is referenced by:  ltrnatb  36300
  Copyright terms: Public domain W3C validator