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Theorem lautcvr 38951
Description: Covering property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautcvr.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lautcvr.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
lautcvr.i 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lautcvr ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘‹)𝐢(πΉβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem lautcvr
Dummy variables 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lautcvr.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . . . 4 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
3 lautcvr.i . . . 4 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
41, 2, 3lautlt 38950 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
5 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ 𝐴)
6 simplr1 1215 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
7 simplr2 1216 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
91, 2, 3lautlt 38950 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€)))
105, 6, 7, 8, 9syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€)))
11 simplr3 1217 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
121, 2, 3lautlt 38950 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
135, 6, 8, 11, 12syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
1410, 13anbi12d 631 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
151, 3lautcl 38946 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
165, 6, 8, 15syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
17 breq2 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€)))
18 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
1917, 18anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
2019rspcev 3612 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
2120ex 413 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 β†’ (((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
2216, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
2314, 22sylbid 239 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
2423rexlimdva 3155 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
25 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ 𝐴)
26 simplr1 1215 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
27 simplr2 1216 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
281, 3laut1o 38944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
2925, 26, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
30 f1ocnvdm 7279 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
3129, 30sylancom 588 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
321, 2, 3lautlt 38950 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§))))
3325, 26, 27, 31, 32syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§))))
34 f1ocnvfv2 7271 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§)) = 𝑧)
3529, 34sylancom 588 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§)) = 𝑧)
3635breq2d 5159 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§)) ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧))
3733, 36bitr2d 279 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ↔ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§)))
38 simplr3 1217 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
391, 2, 3lautlt 38950 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§))(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
4025, 26, 31, 38, 39syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§))(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
4135breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§))(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
4240, 41bitr2d 279 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
4337, 42anbi12d 631 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
44 breq2 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (β—‘πΉβ€˜π‘§) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ↔ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§)))
45 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (β—‘πΉβ€˜π‘§) β†’ (𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
4644, 45anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (β—‘πΉβ€˜π‘§) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
4746rspcev 3612 . . . . . . . . 9 (((β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
4847ex 413 . . . . . . . 8 ((β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡 β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
4931, 48syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
5043, 49sylbid 239 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
5150rexlimdva 3155 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
5224, 51impbid 211 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
5352notbid 317 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
544, 53anbi12d 631 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ Β¬ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ∧ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))))
55 lautcvr.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
561, 2, 55cvrval 38127 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ Β¬ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))))
57563adant3r1 1182 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ Β¬ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))))
58 simpl 483 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ 𝐴)
59 simpr1 1194 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
60 simpr2 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
611, 3lautcl 38946 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
6258, 59, 60, 61syl21anc 836 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
63 simpr3 1196 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
641, 3lautcl 38946 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
6558, 59, 63, 64syl21anc 836 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
661, 2, 55cvrval 38127 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐢(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ∧ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))))
6758, 62, 65, 66syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐢(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ∧ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))))
6854, 57, 673bitr4d 310 1 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘‹)𝐢(πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  ltcplt 18257   β‹– ccvr 38120  LAutclaut 38844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8818  df-plt 18279  df-covers 38124  df-laut 38848
This theorem is referenced by:  ltrncvr  38992
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