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Theorem lautcvr 39011
Description: Covering property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautcvr.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lautcvr.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
lautcvr.i 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lautcvr ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘‹)𝐢(πΉβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem lautcvr
Dummy variables 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lautcvr.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . . 4 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
3 lautcvr.i . . . 4 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
41, 2, 3lautlt 39010 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
5 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ 𝐴)
6 simplr1 1216 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
7 simplr2 1217 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
91, 2, 3lautlt 39010 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€)))
105, 6, 7, 8, 9syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€)))
11 simplr3 1218 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
121, 2, 3lautlt 39010 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
135, 6, 8, 11, 12syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
1410, 13anbi12d 632 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
151, 3lautcl 39006 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
165, 6, 8, 15syl21anc 837 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
17 breq2 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€)))
18 breq1 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
1917, 18anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
2019rspcev 3613 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
2120ex 414 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 β†’ (((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
2216, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
2314, 22sylbid 239 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
2423rexlimdva 3156 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
25 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ 𝐴)
26 simplr1 1216 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
27 simplr2 1217 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
281, 3laut1o 39004 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
2925, 26, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
30 f1ocnvdm 7283 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
3129, 30sylancom 589 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
321, 2, 3lautlt 39010 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§))))
3325, 26, 27, 31, 32syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§))))
34 f1ocnvfv2 7275 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§)) = 𝑧)
3529, 34sylancom 589 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§)) = 𝑧)
3635breq2d 5161 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§)) ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧))
3733, 36bitr2d 280 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ↔ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§)))
38 simplr3 1218 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
391, 2, 3lautlt 39010 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§))(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
4025, 26, 31, 38, 39syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§))(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
4135breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘§))(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
4240, 41bitr2d 280 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
4337, 42anbi12d 632 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
44 breq2 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (β—‘πΉβ€˜π‘§) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ↔ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§)))
45 breq1 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (β—‘πΉβ€˜π‘§) β†’ (𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
4644, 45anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (β—‘πΉβ€˜π‘§) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
4746rspcev 3613 . . . . . . . . 9 (((β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
4847ex 414 . . . . . . . 8 ((β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡 β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
4931, 48syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜π‘§) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
5043, 49sylbid 239 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
5150rexlimdva 3156 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)))
5224, 51impbid 211 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
5352notbid 318 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))))
544, 53anbi12d 632 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ Β¬ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ∧ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))))
55 lautcvr.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
561, 2, 55cvrval 38187 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ Β¬ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))))
57563adant3r1 1183 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ Β¬ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑀 ∧ 𝑀(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))))
58 simpl 484 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ 𝐴)
59 simpr1 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
60 simpr2 1196 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
611, 3lautcl 39006 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
6258, 59, 60, 61syl21anc 837 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
63 simpr3 1197 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
641, 3lautcl 39006 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
6558, 59, 63, 64syl21anc 837 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
661, 2, 55cvrval 38187 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐢(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ∧ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))))
6758, 62, 65, 66syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐢(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ∧ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘‹)(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))))
6854, 57, 673bitr4d 311 1 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘‹)𝐢(πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  ltcplt 18261   β‹– ccvr 38180  LAutclaut 38904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-plt 18283  df-covers 38184  df-laut 38908
This theorem is referenced by:  ltrncvr  39052
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