Theorem lautcvr 38106

Description: Covering property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautcvr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautcvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lautcvr.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautcvr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋)𝐶(𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem lautcvr

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lautcvr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3		lautcvr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
4	1, 2, 3	lautlt 38105	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
5		simpll 764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ 𝐴)
6		simplr1 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐼)
7		simplr2 1215	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3	lautlt 38105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ↔ (𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑤)))
10	5, 6, 7, 8, 9	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ↔ (𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑤)))
11		simplr3 1216	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3	lautlt 38105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑤(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘𝑤)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
13	5, 6, 8, 11, 12	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑤(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘𝑤)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
14	10, 13	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ∧ 𝑤(lt‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑤) ∧ (𝐹‘𝑤)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌))))
15	1, 3	lautcl 38101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
16	5, 6, 8, 15	syl21anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
17		breq2 5078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑤) → ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ↔ (𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑤)))
18		breq1 5077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑤) → (𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘𝑤)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
19	17, 18	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑤) → (((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑤) ∧ (𝐹‘𝑤)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌))))
20	19	rspcev 3561	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑤) ∧ (𝐹‘𝑤)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌))) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
21	20	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 → (((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑤) ∧ (𝐹‘𝑤)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌))))
22	16, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑤) ∧ (𝐹‘𝑤)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌))))
23	14, 22	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ∧ 𝑤(lt‘𝐾)𝑌) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌))))
24	23	rexlimdva 3213	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ∧ 𝑤(lt‘𝐾)𝑌) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌))))
25		simpll 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ 𝐴)
26		simplr1 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐼)
27		simplr2 1215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
28	1, 3	laut1o 38099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
29	25, 26, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
30		f1ocnvdm 7157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵)
31	29, 30	sylancom 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵)
32	1, 2, 3	lautlt 38105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵)) → (𝑋(lt‘𝐾)(◡𝐹‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)(𝐹‘(◡𝐹‘𝑧))))
33	25, 26, 27, 31, 32	syl13anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)(◡𝐹‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)(𝐹‘(◡𝐹‘𝑧))))
34		f1ocnvfv2 7149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑧)) = 𝑧)
35	29, 34	sylancom 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑧)) = 𝑧)
36	35	breq2d 5086	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)(𝐹‘(◡𝐹‘𝑧)) ↔ (𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧))
37	33, 36	bitr2d 279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑋(lt‘𝐾)(◡𝐹‘𝑧)))
38		simplr3 1216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
39	1, 2, 3	lautlt 38105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ (◡𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘𝑧)(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑧))(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
40	25, 26, 31, 38, 39	syl13anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((◡𝐹‘𝑧)(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑧))(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
41	35	breq1d 5084	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑧))(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ↔ 𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
42	40, 41	bitr2d 279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ↔ (◡𝐹‘𝑧)(lt‘𝐾)𝑌))
43	37, 42	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(◡𝐹‘𝑧) ∧ (◡𝐹‘𝑧)(lt‘𝐾)𝑌)))
44		breq2 5078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (◡𝐹‘𝑧) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ↔ 𝑋(lt‘𝐾)(◡𝐹‘𝑧)))
45		breq1 5077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (◡𝐹‘𝑧) → (𝑤(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑧)(lt‘𝐾)𝑌))
46	44, 45	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = (◡𝐹‘𝑧) → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ∧ 𝑤(lt‘𝐾)𝑌) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(◡𝐹‘𝑧) ∧ (◡𝐹‘𝑧)(lt‘𝐾)𝑌)))
47	46	rspcev 3561	. . . . . . . . 9 ⊢ (((◡𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋(lt‘𝐾)(◡𝐹‘𝑧) ∧ (◡𝐹‘𝑧)(lt‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ∧ 𝑤(lt‘𝐾)𝑌))
48	47	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑋(lt‘𝐾)(◡𝐹‘𝑧) ∧ (◡𝐹‘𝑧)(lt‘𝐾)𝑌) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ∧ 𝑤(lt‘𝐾)𝑌)))
49	31, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑋(lt‘𝐾)(◡𝐹‘𝑧) ∧ (◡𝐹‘𝑧)(lt‘𝐾)𝑌) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ∧ 𝑤(lt‘𝐾)𝑌)))
50	43, 49	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ∧ 𝑤(lt‘𝐾)𝑌)))
51	50	rexlimdva 3213	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ∧ 𝑤(lt‘𝐾)𝑌)))
52	24, 51	impbid 211	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ∧ 𝑤(lt‘𝐾)𝑌) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌))))
53	52	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ∧ 𝑤(lt‘𝐾)𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌))))
54	4, 53	anbi12d 631	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ∧ 𝑤(lt‘𝐾)𝑌)) ↔ ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))))
55		lautcvr.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
56	1, 2, 55	cvrval 37283	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋(lt‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ∧ 𝑤(lt‘𝐾)𝑌))))
57	56	3adant3r1 1181	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋(lt‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑤 ∧ 𝑤(lt‘𝐾)𝑌))))
58		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ 𝐴)
59		simpr1 1193	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐼)
60		simpr2 1194	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
61	1, 3	lautcl 38101	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
62	58, 59, 60, 61	syl21anc 835	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
63		simpr3 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
64	1, 3	lautcl 38101	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
65	58, 59, 63, 64	syl21anc 835	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
66	1, 2, 55	cvrval 37283	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋)𝐶(𝐹‘𝑌) ↔ ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))))
67	58, 62, 65, 66	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋)𝐶(𝐹‘𝑌) ↔ ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑋)(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧(lt‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))))
68	54, 57, 67	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋)𝐶(𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5588  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  ltcplt 18026   ⋖ ccvr 37276  LAutclaut 37999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-plt 18048  df-covers 37280  df-laut 38003

This theorem is referenced by:  ltrncvr  38147