Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncl 36274
Description: Closure of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn1o.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncl (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ltrncl
StepHypRef Expression
1 simp1l 1211 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝐵) → 𝐾𝑉)
2 ltrn1o.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2777 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ltrn1o.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrnlaut 36272 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
653adant3 1123 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝐵) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7 simp3 1129 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
8 ltrn1o.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
98, 3lautcl 36236 . 2 (((𝐾𝑉𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
101, 6, 7, 9syl21anc 828 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  cfv 6135  Basecbs 16255  LHypclh 36133  LAutclaut 36134  LTrncltrn 36250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-map 8142  df-laut 36138  df-ldil 36253  df-ltrn 36254
This theorem is referenced by:  ltrnatb  36286  ltrneq2  36297  trlval2  36312  trlcl  36313  trljat1  36315  trljat2  36316  trlle  36333  cdlemc4  36343  cdlemc5  36344  cdlemd7  36353  cdlemg4c  36761  cdlemg7N  36775  cdlemg8b  36777  cdlemg11b  36791  trlcolem  36875  cdlemg44a  36880  cdlemi1  36967  cdlemi  36969  cdlemkvcl  36991  cdlemkid1  37071  cdlemm10N  37267  dih1dimatlem  37478
  Copyright terms: Public domain W3C validator