Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncl 40127
Description: Closure of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn1o.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncl (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ltrncl
StepHypRef Expression
1 simp1l 1198 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝐵) → 𝐾𝑉)
2 ltrn1o.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2737 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ltrn1o.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrnlaut 40125 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
653adant3 1133 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝐵) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7 simp3 1139 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
8 ltrn1o.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
98, 3lautcl 40089 . 2 (((𝐾𝑉𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
101, 6, 7, 9syl21anc 838 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  Basecbs 17247  LHypclh 39986  LAutclaut 39987  LTrncltrn 40103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107
This theorem is referenced by:  ltrnatb  40139  ltrneq2  40150  trlval2  40165  trlcl  40166  trljat1  40168  trljat2  40169  trlle  40186  cdlemc4  40196  cdlemc5  40197  cdlemd7  40206  cdlemg4c  40614  cdlemg7N  40628  cdlemg8b  40630  cdlemg11b  40644  trlcolem  40728  cdlemg44a  40733  cdlemi1  40820  cdlemi  40822  cdlemkvcl  40844  cdlemkid1  40924  cdlemm10N  41120  dih1dimatlem  41331
  Copyright terms: Public domain W3C validator