Theorem ltrncl 37276

Description: Closure of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrn1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncl	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ltrncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1193	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ 𝑉)
2		ltrn1o.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4		ltrn1o.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrnlaut 37274	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6	5	3adant3 1128	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7		simp3 1134	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		ltrn1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9	8, 3	lautcl 37238	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	1, 6, 7, 9	syl21anc 835	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  LHypclh 37135  LAutclaut 37136  LTrncltrn 37252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-map 8408  df-laut 37140  df-ldil 37255  df-ltrn 37256

This theorem is referenced by:  ltrnatb  37288  ltrneq2  37299  trlval2  37314  trlcl  37315  trljat1  37317  trljat2  37318  trlle  37335  cdlemc4  37345  cdlemc5  37346  cdlemd7  37355  cdlemg4c  37763  cdlemg7N  37777  cdlemg8b  37779  cdlemg11b  37793  trlcolem  37877  cdlemg44a  37882  cdlemi1  37969  cdlemi  37971  cdlemkvcl  37993  cdlemkid1  38073  cdlemm10N  38269  dih1dimatlem  38480