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Theorem ltrnid 37769
Description: A lattice translation is the identity function iff all atoms not under the fiducial co-atom 𝑊 are equal to their values. (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrneq.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrneq.l = (le‘𝐾)
ltrneq.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrneq.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrneq.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝) ↔ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐹,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑇,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem ltrnid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp-4l 783 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
2 ltrneq.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ltrneq.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrnlaut 37757 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
65ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7 simpr 488 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
8 simplll 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝 𝑊) → 𝐹𝑇)
10 ltrneq.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝐾)
11 ltrneq.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1210, 11atbase 36923 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
1312ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝 𝑊) → 𝑝𝐵)
14 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝 𝑊) → 𝑝 𝑊)
15 ltrneq.l . . . . . . . . . . . . . 14 = (le‘𝐾)
1610, 15, 2, 4ltrnval1 37768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑝𝐵𝑝 𝑊)) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
178, 9, 13, 14, 16syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝 𝑊) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
1817ex 416 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝))
19 pm2.61 195 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝) → ((¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝐹𝑝) = 𝑝))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝐹𝑝) = 𝑝))
2120ralimdva 3091 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝) → ∀𝑝𝐴 (𝐹𝑝) = 𝑝))
2221imp 410 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝)) → ∀𝑝𝐴 (𝐹𝑝) = 𝑝)
2322adantr 484 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝)) ∧ 𝑥𝐵) → ∀𝑝𝐴 (𝐹𝑝) = 𝑝)
2410, 11, 3lauteq 37729 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑝𝐴 (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
251, 6, 7, 23, 24syl31anc 1374 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
26 fvresi 6946 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
2726adantl 485 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝)) ∧ 𝑥𝐵) → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
2825, 27eqtr4d 2776 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) = (( I ↾ 𝐵)‘𝑥))
2928ralrimiva 3096 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝)) → ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = (( I ↾ 𝐵)‘𝑥))
3010, 2, 4ltrn1o 37758 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
3130adantr 484 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
32 f1ofn 6620 . . . . . 6 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝐵)
3331, 32syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝)) → 𝐹 Fn 𝐵)
34 fnresi 6466 . . . . 5 ( I ↾ 𝐵) Fn 𝐵
35 eqfnfv 6810 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) Fn 𝐵) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)))
3633, 34, 35sylancl 589 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)))
3729, 36mpbird 260 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
3837ex 416 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
3912adantl 485 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
40 fvresi 6946 . . . . . 6 (𝑝𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝)
4139, 40syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝)
42 fveq1 6674 . . . . . 6 (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → (𝐹𝑝) = (( I ↾ 𝐵)‘𝑝))
4342eqeq1d 2740 . . . . 5 (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝐹𝑝) = 𝑝 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝))
4441, 43syl5ibrcom 250 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → (𝐹𝑝) = 𝑝))
4544a1dd 50 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → (¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝)))
4645ralrimdva 3101 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝)))
4738, 46impbid 215 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝) ↔ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053   class class class wbr 5031   I cid 5429  cres 5528   Fn wfn 6335  1-1-ontowf1o 6339  cfv 6340  Basecbs 16587  lecple 16676  Atomscatm 36897  HLchlt 36984  LHypclh 37618  LAutclaut 37619  LTrncltrn 37735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-map 8440  df-proset 17655  df-poset 17673  df-plt 17685  df-lub 17701  df-glb 17702  df-join 17703  df-meet 17704  df-p0 17766  df-lat 17773  df-clat 17835  df-oposet 36810  df-ol 36812  df-oml 36813  df-covers 36900  df-ats 36901  df-atl 36932  df-cvlat 36956  df-hlat 36985  df-laut 37623  df-ldil 37738  df-ltrn 37739
This theorem is referenced by:  ltrnnid  37770
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