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Theorem cdlemd2 39704
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 29-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemd2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemd2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemd2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemd2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemd2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemd2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
Proof of Theorem cdlemd2
StepHypRef Expression
1 simp3l 1198 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
2 simp11 1200 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp12l 1283 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 simp11l 1281 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
54hllatd 38868 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
6 simp21l 1287 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
7 simp13 1202 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
8 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
9 cdlemd2.j . . . . . . . . . . 11 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
10 cdlemd2.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
118, 9, 10hlatjcl 38871 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
124, 6, 7, 11syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
13 simp11r 1282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
14 cdlemd2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
158, 14lhpbase 39503 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
188, 17latmcl 18439 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
195, 12, 16, 18syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 cdlemd2.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
218, 20, 17latmle2 18464 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)
225, 12, 16, 21syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)
23 cdlemd2.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
248, 20, 14, 23ltrnval1 39639 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
252, 3, 19, 22, 24syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
26 simp12r 1284 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
278, 20, 14, 23ltrnval1 39639 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
282, 26, 19, 22, 27syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
2925, 28eqtr4d 2771 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (πΊβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
301, 29oveq12d 7444 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
318, 10atbase 38793 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
326, 31syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
338, 9, 14, 23ltrnj 39637 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (πΉβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
342, 3, 32, 19, 33syl112anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
358, 9, 14, 23ltrnj 39637 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (πΊβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
362, 26, 32, 19, 35syl112anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
3730, 34, 363eqtr4d 2778 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = (πΊβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
38 simp3r 1199 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))
39 simp22l 1289 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
408, 9, 10hlatjcl 38871 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
414, 39, 7, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
428, 17latmcl 18439 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
435, 41, 16, 42syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
448, 20, 17latmle2 18464 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)
455, 41, 16, 44syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)
468, 20, 14, 23ltrnval1 39639 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
472, 3, 43, 45, 46syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
488, 20, 14, 23ltrnval1 39639 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
492, 26, 43, 45, 48syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
5047, 49eqtr4d 2771 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (πΊβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
5138, 50oveq12d 7444 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΊβ€˜π‘„) ∨ (πΊβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
528, 10atbase 38793 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5339, 52syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
548, 9, 14, 23ltrnj 39637 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (πΉβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
552, 3, 53, 43, 54syl112anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
568, 9, 14, 23ltrnj 39637 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (πΊβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΊβ€˜π‘„) ∨ (πΊβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
572, 26, 53, 43, 56syl112anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΊβ€˜π‘„) ∨ (πΊβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
5851, 55, 573eqtr4d 2778 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = (πΊβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
5937, 58oveq12d 7444 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))) = ((πΊβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)(πΊβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
608, 9latjcl 18438 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
615, 32, 19, 60syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
628, 9latjcl 18438 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
635, 53, 43, 62syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
648, 17, 14, 23ltrnm 39636 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))) = ((πΉβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
652, 3, 61, 63, 64syl112anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))) = ((πΉβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
668, 17, 14, 23ltrnm 39636 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (πΊβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))) = ((πΊβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)(πΊβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
672, 26, 61, 63, 66syl112anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))) = ((πΊβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)(πΊβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
6859, 65, 673eqtr4d 2778 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))) = (πΊβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
69 simp21 1203 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
70 simp22 1204 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
71 simp23l 1291 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
72 simp23r 1292 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
737, 71, 723jca 1125 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
7420, 9, 17, 10, 14cdlemd1 39703 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑅 = ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
752, 69, 70, 73, 74syl13anc 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑅 = ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
7675fveq2d 6906 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΉβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
7775fveq2d 6906 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
7868, 76, 773eqtr4d 2778 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  meetcmee 18311  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-map 8853  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610
This theorem is referenced by:  cdlemd4  39706  cdlemd5  39707
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