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Theorem cdlemd2 39065
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 29-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemd2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemd2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemd2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemd2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemd2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemd2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
Proof of Theorem cdlemd2
StepHypRef Expression
1 simp3l 1201 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
2 simp11 1203 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp12l 1286 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 simp11l 1284 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
54hllatd 38229 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
6 simp21l 1290 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
7 simp13 1205 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
8 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
9 cdlemd2.j . . . . . . . . . . 11 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
10 cdlemd2.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
118, 9, 10hlatjcl 38232 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
124, 6, 7, 11syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
13 simp11r 1285 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
14 cdlemd2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
158, 14lhpbase 38864 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
188, 17latmcl 18392 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
195, 12, 16, 18syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 cdlemd2.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
218, 20, 17latmle2 18417 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)
225, 12, 16, 21syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)
23 cdlemd2.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
248, 20, 14, 23ltrnval1 39000 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
252, 3, 19, 22, 24syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
26 simp12r 1287 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
278, 20, 14, 23ltrnval1 39000 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
282, 26, 19, 22, 27syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
2925, 28eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (πΊβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
301, 29oveq12d 7426 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
318, 10atbase 38154 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
326, 31syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
338, 9, 14, 23ltrnj 38998 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (πΉβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
342, 3, 32, 19, 33syl112anc 1374 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
358, 9, 14, 23ltrnj 38998 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (πΊβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
362, 26, 32, 19, 35syl112anc 1374 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
3730, 34, 363eqtr4d 2782 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = (πΊβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
38 simp3r 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))
39 simp22l 1292 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
408, 9, 10hlatjcl 38232 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
414, 39, 7, 40syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
428, 17latmcl 18392 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
435, 41, 16, 42syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
448, 20, 17latmle2 18417 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)
455, 41, 16, 44syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)
468, 20, 14, 23ltrnval1 39000 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
472, 3, 43, 45, 46syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
488, 20, 14, 23ltrnval1 39000 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
492, 26, 43, 45, 48syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
5047, 49eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (πΊβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
5138, 50oveq12d 7426 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΊβ€˜π‘„) ∨ (πΊβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
528, 10atbase 38154 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5339, 52syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
548, 9, 14, 23ltrnj 38998 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (πΉβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
552, 3, 53, 43, 54syl112anc 1374 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
568, 9, 14, 23ltrnj 38998 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (πΊβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΊβ€˜π‘„) ∨ (πΊβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
572, 26, 53, 43, 56syl112anc 1374 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΊβ€˜π‘„) ∨ (πΊβ€˜((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
5851, 55, 573eqtr4d 2782 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = (πΊβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
5937, 58oveq12d 7426 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))) = ((πΊβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)(πΊβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
608, 9latjcl 18391 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
615, 32, 19, 60syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
628, 9latjcl 18391 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
635, 53, 43, 62syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
648, 17, 14, 23ltrnm 38997 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))) = ((πΉβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
652, 3, 61, 63, 64syl112anc 1374 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))) = ((πΉβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
668, 17, 14, 23ltrnm 38997 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (πΊβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))) = ((πΊβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)(πΊβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
672, 26, 61, 63, 66syl112anc 1374 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))) = ((πΊβ€˜(𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)(πΊβ€˜(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
6859, 65, 673eqtr4d 2782 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))) = (πΊβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
69 simp21 1206 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
70 simp22 1207 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
71 simp23l 1294 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
72 simp23r 1295 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
737, 71, 723jca 1128 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
7420, 9, 17, 10, 14cdlemd1 39064 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑅 = ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
752, 69, 70, 73, 74syl13anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑅 = ((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
7675fveq2d 6895 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΉβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
7775fveq2d 6895 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜((𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅)(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
7868, 76, 773eqtr4d 2782 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) = (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = (πΊβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18263  meetcmee 18264  Latclat 18383  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971
This theorem is referenced by:  cdlemd4  39067  cdlemd5  39068
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