Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp3l 1202 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβπ) = (πΊβπ)) |
2 | | simp11 1204 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
3 | | simp12l 1287 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β πΉ β π) |
4 | | simp11l 1285 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β πΎ β HL) |
5 | 4 | hllatd 37829 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β πΎ β Lat) |
6 | | simp21l 1291 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π β π΄) |
7 | | simp13 1206 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π
β π΄) |
8 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
9 | | cdlemd2.j |
. . . . . . . . . . 11
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
10 | | cdlemd2.a |
. . . . . . . . . . 11
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | 8, 9, 10 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
12 | 4, 6, 7, 11 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
13 | | simp11r 1286 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π β π») |
14 | | cdlemd2.h |
. . . . . . . . . . 11
β’ π» = (LHypβπΎ) |
15 | 8, 14 | lhpbase 38464 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
16 | 13, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π β (BaseβπΎ)) |
17 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
β’
(meetβπΎ) =
(meetβπΎ) |
18 | 8, 17 | latmcl 18330 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β (BaseβπΎ)) |
19 | 5, 12, 16, 18 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β (BaseβπΎ)) |
20 | | cdlemd2.l |
. . . . . . . . . 10
β’ β€ =
(leβπΎ) |
21 | 8, 20, 17 | latmle2 18355 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β€ π) |
22 | 5, 12, 16, 21 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β€ π) |
23 | | cdlemd2.t |
. . . . . . . . 9
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
24 | 8, 20, 14, 23 | ltrnval1 38600 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β€ π)) β (πΉβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) = ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) |
25 | 2, 3, 19, 22, 24 | syl112anc 1375 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) = ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) |
26 | | simp12r 1288 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β πΊ β π) |
27 | 8, 20, 14, 23 | ltrnval1 38600 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ (((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β€ π)) β (πΊβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) = ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) |
28 | 2, 26, 19, 22, 27 | syl112anc 1375 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΊβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) = ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) |
29 | 25, 28 | eqtr4d 2780 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) = (πΊβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))) |
30 | 1, 29 | oveq12d 7376 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β ((πΉβπ) β¨ (πΉβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))) = ((πΊβπ) β¨ (πΊβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) |
31 | 8, 10 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
32 | 6, 31 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π β (BaseβπΎ)) |
33 | 8, 9, 14, 23 | ltrnj 38598 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β (BaseβπΎ))) β (πΉβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))) = ((πΉβπ) β¨ (πΉβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) |
34 | 2, 3, 32, 19, 33 | syl112anc 1375 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))) = ((πΉβπ) β¨ (πΉβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) |
35 | 8, 9, 14, 23 | ltrnj 38598 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ (π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β (BaseβπΎ))) β (πΊβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))) = ((πΊβπ) β¨ (πΊβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) |
36 | 2, 26, 32, 19, 35 | syl112anc 1375 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΊβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))) = ((πΊβπ) β¨ (πΊβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) |
37 | 30, 34, 36 | 3eqtr4d 2787 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))) = (πΊβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) |
38 | | simp3r 1203 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβπ) = (πΊβπ)) |
39 | | simp22l 1293 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π β π΄) |
40 | 8, 9, 10 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
41 | 4, 39, 7, 40 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
42 | 8, 17 | latmcl 18330 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β (BaseβπΎ)) |
43 | 5, 41, 16, 42 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β (BaseβπΎ)) |
44 | 8, 20, 17 | latmle2 18355 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β€ π) |
45 | 5, 41, 16, 44 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β€ π) |
46 | 8, 20, 14, 23 | ltrnval1 38600 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β€ π)) β (πΉβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) = ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) |
47 | 2, 3, 43, 45, 46 | syl112anc 1375 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) = ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) |
48 | 8, 20, 14, 23 | ltrnval1 38600 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ (((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β€ π)) β (πΊβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) = ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) |
49 | 2, 26, 43, 45, 48 | syl112anc 1375 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΊβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) = ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) |
50 | 47, 49 | eqtr4d 2780 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) = (πΊβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))) |
51 | 38, 50 | oveq12d 7376 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β ((πΉβπ) β¨ (πΉβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))) = ((πΊβπ) β¨ (πΊβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) |
52 | 8, 10 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
53 | 39, 52 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π β (BaseβπΎ)) |
54 | 8, 9, 14, 23 | ltrnj 38598 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β (BaseβπΎ))) β (πΉβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))) = ((πΉβπ) β¨ (πΉβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) |
55 | 2, 3, 53, 43, 54 | syl112anc 1375 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))) = ((πΉβπ) β¨ (πΉβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) |
56 | 8, 9, 14, 23 | ltrnj 38598 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ (π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β (BaseβπΎ))) β (πΊβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))) = ((πΊβπ) β¨ (πΊβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) |
57 | 2, 26, 53, 43, 56 | syl112anc 1375 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΊβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))) = ((πΊβπ) β¨ (πΊβ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) |
58 | 51, 55, 57 | 3eqtr4d 2787 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))) = (πΊβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) |
59 | 37, 58 | oveq12d 7376 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β ((πΉβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))(meetβπΎ)(πΉβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) = ((πΊβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))(meetβπΎ)(πΊβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))))) |
60 | 8, 9 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β (BaseβπΎ)) β (π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) β (BaseβπΎ)) |
61 | 5, 32, 19, 60 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) β (BaseβπΎ)) |
62 | 8, 9 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π) β (BaseβπΎ)) β (π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) β (BaseβπΎ)) |
63 | 5, 53, 43, 62 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) β (BaseβπΎ)) |
64 | 8, 17, 14, 23 | ltrnm 38597 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) β (BaseβπΎ))) β (πΉβ((π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))(meetβπΎ)(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) = ((πΉβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))(meetβπΎ)(πΉβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))))) |
65 | 2, 3, 61, 63, 64 | syl112anc 1375 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβ((π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))(meetβπΎ)(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) = ((πΉβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))(meetβπΎ)(πΉβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))))) |
66 | 8, 17, 14, 23 | ltrnm 38597 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ ((π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)) β (BaseβπΎ))) β (πΊβ((π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))(meetβπΎ)(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) = ((πΊβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))(meetβπΎ)(πΊβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))))) |
67 | 2, 26, 61, 63, 66 | syl112anc 1375 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΊβ((π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))(meetβπΎ)(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) = ((πΊβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))(meetβπΎ)(πΊβ(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))))) |
68 | 59, 65, 67 | 3eqtr4d 2787 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβ((π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))(meetβπΎ)(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) = (πΊβ((π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))(meetβπΎ)(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))))) |
69 | | simp21 1207 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
70 | | simp22 1208 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
71 | | simp23l 1295 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π β π) |
72 | | simp23r 1296 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
73 | 7, 71, 72 | 3jca 1129 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) |
74 | 20, 9, 17, 10, 14 | cdlemd1 38664 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π
= ((π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))(meetβπΎ)(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) |
75 | 2, 69, 70, 73, 74 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β π
= ((π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))(meetβπΎ)(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π)))) |
76 | 75 | fveq2d 6847 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβπ
) = (πΉβ((π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))(meetβπΎ)(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))))) |
77 | 75 | fveq2d 6847 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΊβπ
) = (πΊβ((π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))(meetβπΎ)(π β¨ ((π β¨ π
)(meetβπΎ)π))))) |
78 | 68, 76, 77 | 3eqtr4d 2787 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β§ ((πΉβπ) = (πΊβπ) β§ (πΉβπ) = (πΊβπ))) β (πΉβπ
) = (πΊβπ
)) |