Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrneq 37345
Description: The equality of two translations is determined by their equality at atoms not under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrne.l = (le‘𝐾)
ltrne.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrne.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrne.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrneq (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑇,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem ltrneq
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1201 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝐹𝑇)
3 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 ltrne.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4atbase 36485 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
653ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
7 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝑝 𝑊)
8 ltrne.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
9 ltrne.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 ltrne.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
113, 8, 9, 10ltrnval1 37330 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 𝑊)) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
121, 2, 6, 7, 11syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
13 simp13 1202 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝐺𝑇)
143, 8, 9, 10ltrnval1 37330 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 𝑊)) → (𝐺𝑝) = 𝑝)
151, 13, 6, 7, 14syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐺𝑝) = 𝑝)
1612, 15eqtr4d 2862 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝))
17163expia 1118 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
18 pm2.61 195 . . . . 5 ((𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) → ((¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
1917, 18syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
20 re1tbw2 1748 . . . 4 ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) → (¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
2119, 20impbid1 228 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
2221ralbidva 3190 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ ∀𝑝𝐴 (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
234, 9, 10ltrneq2 37344 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴 (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ 𝐹 = 𝐺))
2422, 23bitrd 282 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3132   class class class wbr 5047  cfv 6336  Basecbs 16472  lecple 16561  Atomscatm 36459  HLchlt 36546  LHypclh 37180  LTrncltrn 37297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-map 8391  df-proset 17527  df-poset 17545  df-plt 17557  df-lub 17573  df-glb 17574  df-join 17575  df-meet 17576  df-p0 17638  df-lat 17645  df-clat 17707  df-oposet 36372  df-ol 36374  df-oml 36375  df-covers 36462  df-ats 36463  df-atl 36494  df-cvlat 36518  df-hlat 36547  df-lhyp 37184  df-laut 37185  df-ldil 37300  df-ltrn 37301
This theorem is referenced by:  cdlemj2  38018
  Copyright terms: Public domain W3C validator