Theorem ltrneq 38160

Description: The equality of two translations is determined by their equality at atoms not under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrne.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrne.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrne.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrne.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrneq	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑇,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑝)

Proof of Theorem ltrneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1202	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp12 1203	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		ltrne.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 37300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
7		simp3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝑝 ≤ 𝑊)
8		ltrne.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		ltrne.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		ltrne.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11	3, 8, 9, 10	ltrnval1 38145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
12	1, 2, 6, 7, 11	syl112anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
13		simp13 1204	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝐺 ∈ 𝑇)
14	3, 8, 9, 10	ltrnval1 38145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑝) = 𝑝)
15	1, 13, 6, 7, 14	syl112anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑝) = 𝑝)
16	12, 15	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝))
17	16	3expia 1120	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
18		pm2.61 191	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
20		re1tbw2 1749	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
21	19, 20	impbid1 224	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
22	21	ralbidva 3117	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
23	4, 9, 10	ltrneq2 38159	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ 𝐹 = 𝐺))
24	22, 23	bitrd 278	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5076  ‘cfv 6435  Basecbs 16910  lecple 16967  Atomscatm 37274  HLchlt 37361  LHypclh 37995  LTrncltrn 38112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-map 8615  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-lat 18148  df-clat 18215  df-oposet 37187  df-ol 37189  df-oml 37190  df-covers 37277  df-ats 37278  df-atl 37309  df-cvlat 37333  df-hlat 37362  df-lhyp 37999  df-laut 38000  df-ldil 38115  df-ltrn 38116

This theorem is referenced by:  cdlemj2  38833