Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrneq 39323
Description: The equality of two translations is determined by their equality at atoms not under co-atom π‘Š. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrne.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
ltrne.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
ltrne.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ltrne.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ltrneq (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑇,𝑝   π‘Š,𝑝
Allowed substitution hint:   ≀ (𝑝)

Proof of Theorem ltrneq
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp12 1204 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
3 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 ltrne.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
53, 4atbase 38462 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
653ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ 𝑝 ≀ π‘Š)
8 ltrne.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 ltrne.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 ltrne.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
113, 8, 9, 10ltrnval1 39308 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = 𝑝)
121, 2, 6, 7, 11syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘) = 𝑝)
13 simp13 1205 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
143, 8, 9, 10ltrnval1 39308 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘) = 𝑝)
151, 13, 6, 7, 14syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘) = 𝑝)
1612, 15eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘))
17163expia 1121 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)))
18 pm2.61 191 . . . . 5 ((𝑝 ≀ π‘Š β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)))
1917, 18syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)))
20 re1tbw2 1748 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)))
2119, 20impbid1 224 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)))
2221ralbidva 3175 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)))
234, 9, 10ltrneq2 39322 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘) ↔ 𝐹 = 𝐺))
2422, 23bitrd 278 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΊβ€˜π‘)) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17148  lecple 17208  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279
This theorem is referenced by:  cdlemj2  39996
  Copyright terms: Public domain W3C validator