Theorem ltrneq 39020

Description: The equality of two translations is determined by their equality at atoms not under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrne.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrne.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrne.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrne.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrneq	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑇,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑝)

Proof of Theorem ltrneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1204	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp12 1205	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		ltrne.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 38159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
7		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝑝 ≤ 𝑊)
8		ltrne.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		ltrne.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		ltrne.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11	3, 8, 9, 10	ltrnval1 39005	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
12	1, 2, 6, 7, 11	syl112anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
13		simp13 1206	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝐺 ∈ 𝑇)
14	3, 8, 9, 10	ltrnval1 39005	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑝) = 𝑝)
15	1, 13, 6, 7, 14	syl112anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑝) = 𝑝)
16	12, 15	eqtr4d 2776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝))
17	16	3expia 1122	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
18		pm2.61 191	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
20		re1tbw2 1749	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
21	19, 20	impbid1 224	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
22	21	ralbidva 3176	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
23	4, 9, 10	ltrneq2 39019	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ 𝐹 = 𝐺))
24	22, 23	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  Basecbs 17144  lecple 17204  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976

This theorem is referenced by:  cdlemj2  39693