Theorem ltrneq 39749

Description: The equality of two translations is determined by their equality at atoms not under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrne.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrne.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrne.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrne.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrneq	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑇,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑝)

Proof of Theorem ltrneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1200	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp12 1201	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		ltrne.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 38888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	3ad2ant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
7		simp3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝑝 ≤ 𝑊)
8		ltrne.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		ltrne.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		ltrne.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11	3, 8, 9, 10	ltrnval1 39734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
12	1, 2, 6, 7, 11	syl112anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
13		simp13 1202	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝐺 ∈ 𝑇)
14	3, 8, 9, 10	ltrnval1 39734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑝) = 𝑝)
15	1, 13, 6, 7, 14	syl112anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑝) = 𝑝)
16	12, 15	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝))
17	16	3expia 1118	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
18		pm2.61 191	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
20		re1tbw2 1740	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
21	19, 20	impbid1 224	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
22	21	ralbidva 3165	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
23	4, 9, 10	ltrneq2 39748	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ 𝐹 = 𝐺))
24	22, 23	bitrd 278	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  lecple 17243  Atomscatm 38862  HLchlt 38949  LHypclh 39584  LTrncltrn 39701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8847  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 38775  df-ol 38777  df-oml 38778  df-covers 38865  df-ats 38866  df-atl 38897  df-cvlat 38921  df-hlat 38950  df-lhyp 39588  df-laut 39589  df-ldil 39704  df-ltrn 39705

This theorem is referenced by:  cdlemj2  40422