Theorem ltrneq 40106

Description: The equality of two translations is determined by their equality at atoms not under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrne.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrne.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrne.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrne.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrneq	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑇,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑝)

Proof of Theorem ltrneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1203	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp12 1204	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		ltrne.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 39245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
7		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝑝 ≤ 𝑊)
8		ltrne.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		ltrne.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		ltrne.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11	3, 8, 9, 10	ltrnval1 40091	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
12	1, 2, 6, 7, 11	syl112anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
13		simp13 1205	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → 𝐺 ∈ 𝑇)
14	3, 8, 9, 10	ltrnval1 40091	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑝) = 𝑝)
15	1, 13, 6, 7, 14	syl112anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑝) = 𝑝)
16	12, 15	eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝))
17	16	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
18		pm2.61 192	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
20		re1tbw2 1744	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
21	19, 20	impbid1 225	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
22	21	ralbidva 3182	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)))
23	4, 9, 10	ltrneq2 40105	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝) ↔ 𝐹 = 𝐺))
24	22, 23	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → (𝐹‘𝑝) = (𝐺‘𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  LHypclh 39941  LTrncltrn 40058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062

This theorem is referenced by:  cdlemj2  40779