Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrneq 38160
Description: The equality of two translations is determined by their equality at atoms not under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrne.l = (le‘𝐾)
ltrne.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrne.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrne.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrneq (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑇,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem ltrneq
StepHypRef Expression
1 simp11 1202 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1203 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝐹𝑇)
3 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 ltrne.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4atbase 37300 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
653ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
7 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝑝 𝑊)
8 ltrne.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
9 ltrne.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 ltrne.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
113, 8, 9, 10ltrnval1 38145 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 𝑊)) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
121, 2, 6, 7, 11syl112anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
13 simp13 1204 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → 𝐺𝑇)
143, 8, 9, 10ltrnval1 38145 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 𝑊)) → (𝐺𝑝) = 𝑝)
151, 13, 6, 7, 14syl112anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐺𝑝) = 𝑝)
1612, 15eqtr4d 2781 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴𝑝 𝑊) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝))
17163expia 1120 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
18 pm2.61 191 . . . . 5 ((𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) → ((¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
1917, 18syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
20 re1tbw2 1749 . . . 4 ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) → (¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
2119, 20impbid1 224 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
2221ralbidva 3117 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ ∀𝑝𝐴 (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
234, 9, 10ltrneq2 38159 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴 (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ 𝐹 = 𝐺))
2422, 23bitrd 278 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064   class class class wbr 5076  cfv 6435  Basecbs 16910  lecple 16967  Atomscatm 37274  HLchlt 37361  LHypclh 37995  LTrncltrn 38112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-map 8615  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-lat 18148  df-clat 18215  df-oposet 37187  df-ol 37189  df-oml 37190  df-covers 37277  df-ats 37278  df-atl 37309  df-cvlat 37333  df-hlat 37362  df-lhyp 37999  df-laut 38000  df-ldil 38115  df-ltrn 38116
This theorem is referenced by:  cdlemj2  38833
  Copyright terms: Public domain W3C validator