Theorem ltrnel 41305

Description: The lattice translation of an atom not under the fiducial co-atom is also an atom not under the fiducial co-atom. Remark below Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 22-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnel	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))

Proof of Theorem ltrnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1220	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		ltrnel.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 40455	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
6		ltrnel.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		ltrnel.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8	2, 3, 6, 7	ltrnatb 41303	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
9	5, 8	syl3an3 1183	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
10	1, 9	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
11		simp3r 1221	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
12		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
14	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
15		simp1r 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
16	2, 6	lhpbase 41164	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
17	15, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
18		ltrnel.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
19	2, 18, 6, 7	ltrnle 41295	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑊)))
20	12, 13, 14, 17, 19	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑊)))
21		simp1l 1216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
22	21	hllatd 40530	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
23	2, 18	latref 18624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊 ≤ 𝑊)
24	22, 17, 23	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ≤ 𝑊)
25	2, 18, 6, 7	ltrnval1 41300	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑊) = 𝑊)
26	12, 13, 17, 24, 25	syl112anc 1401	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑊) = 𝑊)
27	26	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑊) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
28	20, 27	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
29	11, 28	mtbid 327	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊)
30	10, 29	jca 521	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  Basecbs 17396  lecple 17444  Latclat 18614  Atomscatm 40429  HLchlt 40516  LHypclh 41150  LTrncltrn 41267

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8856  df-proset 18477  df-poset 18496  df-plt 18511  df-glb 18528  df-p0 18606  df-lat 18615  df-oposet 40342  df-ol 40344  df-oml 40345  df-covers 40432  df-ats 40433  df-atl 40464  df-cvlat 40488  df-hlat 40517  df-lhyp 41154  df-laut 41155  df-ldil 41270  df-ltrn 41271

This theorem is used by:  ltrncoelN  41309  ltrnmw  41317  trlcnv  41331  trljat2  41333  cdlemc3  41359  cdlemc5  41361  cdlemd9  41372  cdlemeiota  41751  cdlemg1cex  41754  cdlemg2l  41769  cdlemg2m  41770  cdlemg7fvbwN  41773  cdlemg4a  41774  cdlemg4b1  41775  cdlemg4b2  41776  cdlemg4d  41779  cdlemg4e  41780  cdlemg4  41783  cdlemg6e  41788  cdlemg7fvN  41790  cdlemg8b  41794  cdlemg8c  41795  cdlemg10bALTN  41802  cdlemg10a  41806  cdlemg12d  41812  cdlemg13a  41817  cdlemg13  41818  cdlemg14f  41819  cdlemg17b  41828  cdlemg17f  41832  cdlemg17i  41835  trlcoabs  41887  trlcoabs2N  41888  trlcolem  41892  cdlemg43  41896  cdlemg44b  41898  cdlemi2  41985  cdlemi  41986  cdlemk2  41998  cdlemk3  41999  cdlemk4  42000  cdlemk8  42004  cdlemk9  42005  cdlemk9bN  42006  cdlemki  42007  cdlemksv2  42013  cdlemk12  42016  cdlemkoatnle  42017  cdlemk12u  42038  cdlemkfid1N  42087  cdlemk47  42115  dia2dimlem1  42230  dia2dimlem2  42231  dia2dimlem3  42232  dia2dimlem6  42235  cdlemm10N  42284  dih1dimatlem0  42494  dih1dimatlem  42495