Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnel 36160
Description: The lattice translation of an atom not under the fiducial co-atom is also an atom not under the fiducial co-atom. Remark below Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 22-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l = (le‘𝐾)
ltrnel.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnel (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))

Proof of Theorem ltrnel
StepHypRef Expression
1 simp3l 1259 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
2 eqid 2799 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 ltrnel.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 35310 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
54adantr 473 . . . 4 ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
6 ltrnel.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 ltrnel.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
82, 3, 6, 7ltrnatb 36158 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
95, 8syl3an3 1206 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
101, 9mpbid 224 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
11 simp3r 1260 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ 𝑃 𝑊)
12 simp1 1167 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 simp2 1168 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
141, 4syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
15 simp1r 1256 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
162, 6lhpbase 36019 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
18 ltrnel.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
192, 18, 6, 7ltrnle 36150 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 𝑊 ↔ (𝐹𝑃) (𝐹𝑊)))
2012, 13, 14, 17, 19syl112anc 1494 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊 ↔ (𝐹𝑃) (𝐹𝑊)))
21 simp1l 1255 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2221hllatd 35385 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
232, 18latref 17368 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊 𝑊)
2422, 17, 23syl2anc 580 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊 𝑊)
252, 18, 6, 7ltrnval1 36155 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 𝑊)) → (𝐹𝑊) = 𝑊)
2612, 13, 17, 24, 25syl112anc 1494 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑊) = 𝑊)
2726breq2d 4855 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝐹𝑊) ↔ (𝐹𝑃) 𝑊))
2820, 27bitrd 271 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊 ↔ (𝐹𝑃) 𝑊))
2911, 28mtbid 316 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)
3010, 29jca 508 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4843  cfv 6101  Basecbs 16184  lecple 16274  Latclat 17360  Atomscatm 35284  HLchlt 35371  LHypclh 36005  LTrncltrn 36122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-map 8097  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-glb 17290  df-p0 17354  df-lat 17361  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372  df-lhyp 36009  df-laut 36010  df-ldil 36125  df-ltrn 36126
This theorem is referenced by:  ltrncoelN  36164  ltrnmw  36172  trlcnv  36186  trljat2  36188  cdlemc3  36214  cdlemc5  36216  cdlemd9  36227  cdlemeiota  36606  cdlemg1cex  36609  cdlemg2l  36624  cdlemg2m  36625  cdlemg7fvbwN  36628  cdlemg4a  36629  cdlemg4b1  36630  cdlemg4b2  36631  cdlemg4d  36634  cdlemg4e  36635  cdlemg4  36638  cdlemg6e  36643  cdlemg7fvN  36645  cdlemg8b  36649  cdlemg8c  36650  cdlemg10bALTN  36657  cdlemg10a  36661  cdlemg12d  36667  cdlemg13a  36672  cdlemg13  36673  cdlemg14f  36674  cdlemg17b  36683  cdlemg17f  36687  cdlemg17i  36690  trlcoabs  36742  trlcoabs2N  36743  trlcolem  36747  cdlemg43  36751  cdlemg44b  36753  cdlemi2  36840  cdlemi  36841  cdlemk2  36853  cdlemk3  36854  cdlemk4  36855  cdlemk8  36859  cdlemk9  36860  cdlemk9bN  36861  cdlemki  36862  cdlemksv2  36868  cdlemk12  36871  cdlemkoatnle  36872  cdlemk12u  36893  cdlemkfid1N  36942  cdlemk47  36970  dia2dimlem1  37085  dia2dimlem2  37086  dia2dimlem3  37087  dia2dimlem6  37090  cdlemm10N  37139  dih1dimatlem0  37349  dih1dimatlem  37350
  Copyright terms: Public domain W3C validator