Theorem ltrnel 40913

Description: The lattice translation of an atom not under the fiducial co-atom is also an atom not under the fiducial co-atom. Remark below Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 22-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnel	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))

Proof of Theorem ltrnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1220	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		ltrnel.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 40063	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
6		ltrnel.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		ltrnel.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8	2, 3, 6, 7	ltrnatb 40911	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
9	5, 8	syl3an3 1183	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
10	1, 9	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
11		simp3r 1221	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
12		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
14	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
15		simp1r 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
16	2, 6	lhpbase 40772	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
17	15, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
18		ltrnel.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
19	2, 18, 6, 7	ltrnle 40903	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑊)))
20	12, 13, 14, 17, 19	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑊)))
21		simp1l 1216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
22	21	hllatd 40138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
23	2, 18	latref 18492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊 ≤ 𝑊)
24	22, 17, 23	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ≤ 𝑊)
25	2, 18, 6, 7	ltrnval1 40908	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑊) = 𝑊)
26	12, 13, 17, 24, 25	syl112anc 1401	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑊) = 𝑊)
27	26	breq2d 5121	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑊) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
28	20, 27	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
29	11, 28	mtbid 327	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊)
30	10, 29	jca 520	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  lecple 17312  Latclat 18482  Atomscatm 40037  HLchlt 40124  LHypclh 40758  LTrncltrn 40875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8822  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-glb 18396  df-p0 18474  df-lat 18483  df-oposet 39950  df-ol 39952  df-oml 39953  df-covers 40040  df-ats 40041  df-atl 40072  df-cvlat 40096  df-hlat 40125  df-lhyp 40762  df-laut 40763  df-ldil 40878  df-ltrn 40879

This theorem is referenced by:  ltrncoelN  40917  ltrnmw  40925  trlcnv  40939  trljat2  40941  cdlemc3  40967  cdlemc5  40969  cdlemd9  40980  cdlemeiota  41359  cdlemg1cex  41362  cdlemg2l  41377  cdlemg2m  41378  cdlemg7fvbwN  41381  cdlemg4a  41382  cdlemg4b1  41383  cdlemg4b2  41384  cdlemg4d  41387  cdlemg4e  41388  cdlemg4  41391  cdlemg6e  41396  cdlemg7fvN  41398  cdlemg8b  41402  cdlemg8c  41403  cdlemg10bALTN  41410  cdlemg10a  41414  cdlemg12d  41420  cdlemg13a  41425  cdlemg13  41426  cdlemg14f  41427  cdlemg17b  41436  cdlemg17f  41440  cdlemg17i  41443  trlcoabs  41495  trlcoabs2N  41496  trlcolem  41500  cdlemg43  41504  cdlemg44b  41506  cdlemi2  41593  cdlemi  41594  cdlemk2  41606  cdlemk3  41607  cdlemk4  41608  cdlemk8  41612  cdlemk9  41613  cdlemk9bN  41614  cdlemki  41615  cdlemksv2  41621  cdlemk12  41624  cdlemkoatnle  41625  cdlemk12u  41646  cdlemkfid1N  41695  cdlemk47  41723  dia2dimlem1  41838  dia2dimlem2  41839  dia2dimlem3  41840  dia2dimlem6  41843  cdlemm10N  41892  dih1dimatlem0  42102  dih1dimatlem  42103