Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp3l 1202 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΄) |
2 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
3 | | ltrnel.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
4 | 2, 3 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
5 | 4 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β π β (BaseβπΎ)) |
6 | | ltrnel.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | ltrnel.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
8 | 2, 3, 6, 7 | ltrnatb 38646 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β π΄ β (πΉβπ) β π΄)) |
9 | 5, 8 | syl3an3 1166 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β π΄ β (πΉβπ) β π΄)) |
10 | 1, 9 | mpbid 231 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) β π΄) |
11 | | simp3r 1203 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β Β¬ π β€ π) |
12 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
13 | | simp2 1138 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΉ β π) |
14 | 1, 4 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β (BaseβπΎ)) |
15 | | simp1r 1199 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π») |
16 | 2, 6 | lhpbase 38507 |
. . . . . 6
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
17 | 15, 16 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β (BaseβπΎ)) |
18 | | ltrnel.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
19 | 2, 18, 6, 7 | ltrnle 38638 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (π β€ π β (πΉβπ) β€ (πΉβπ))) |
20 | 12, 13, 14, 17, 19 | syl112anc 1375 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β€ π β (πΉβπ) β€ (πΉβπ))) |
21 | | simp1l 1198 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β HL) |
22 | 21 | hllatd 37872 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
23 | 2, 18 | latref 18335 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ)) β π β€ π) |
24 | 22, 17, 23 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β€ π) |
25 | 2, 18, 6, 7 | ltrnval1 38643 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β€ π)) β (πΉβπ) = π) |
26 | 12, 13, 17, 24, 25 | syl112anc 1375 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) = π) |
27 | 26 | breq2d 5118 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β€ (πΉβπ) β (πΉβπ) β€ π)) |
28 | 20, 27 | bitrd 279 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β€ π β (πΉβπ) β€ π)) |
29 | 11, 28 | mtbid 324 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β Β¬ (πΉβπ) β€ π) |
30 | 10, 29 | jca 513 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |