Theorem ltrnel 40121

Description: The lattice translation of an atom not under the fiducial co-atom is also an atom not under the fiducial co-atom. Remark below Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 22-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnel	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))

Proof of Theorem ltrnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1200	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
2		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		ltrnel.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39270	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
6		ltrnel.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		ltrnel.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8	2, 3, 6, 7	ltrnatb 40119	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
9	5, 8	syl3an3 1164	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
10	1, 9	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
11		simp3r 1201	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
12		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
14	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
15		simp1r 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
16	2, 6	lhpbase 39980	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
18		ltrnel.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
19	2, 18, 6, 7	ltrnle 40111	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑊)))
20	12, 13, 14, 17, 19	syl112anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑊)))
21		simp1l 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
22	21	hllatd 39345	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
23	2, 18	latref 18498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊 ≤ 𝑊)
24	22, 17, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ≤ 𝑊)
25	2, 18, 6, 7	ltrnval1 40116	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑊) = 𝑊)
26	12, 13, 17, 24, 25	syl112anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑊) = 𝑊)
27	26	breq2d 5159	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑊) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
28	20, 27	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
29	11, 28	mtbid 324	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊)
30	10, 29	jca 511	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  Basecbs 17244  lecple 17304  Latclat 18488  Atomscatm 39244  HLchlt 39331  LHypclh 39966  LTrncltrn 40083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-map 8866  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-glb 18404  df-p0 18482  df-lat 18489  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-lhyp 39970  df-laut 39971  df-ldil 40086  df-ltrn 40087

This theorem is referenced by:  ltrncoelN  40125  ltrnmw  40133  trlcnv  40147  trljat2  40149  cdlemc3  40175  cdlemc5  40177  cdlemd9  40188  cdlemeiota  40567  cdlemg1cex  40570  cdlemg2l  40585  cdlemg2m  40586  cdlemg7fvbwN  40589  cdlemg4a  40590  cdlemg4b1  40591  cdlemg4b2  40592  cdlemg4d  40595  cdlemg4e  40596  cdlemg4  40599  cdlemg6e  40604  cdlemg7fvN  40606  cdlemg8b  40610  cdlemg8c  40611  cdlemg10bALTN  40618  cdlemg10a  40622  cdlemg12d  40628  cdlemg13a  40633  cdlemg13  40634  cdlemg14f  40635  cdlemg17b  40644  cdlemg17f  40648  cdlemg17i  40651  trlcoabs  40703  trlcoabs2N  40704  trlcolem  40708  cdlemg43  40712  cdlemg44b  40714  cdlemi2  40801  cdlemi  40802  cdlemk2  40814  cdlemk3  40815  cdlemk4  40816  cdlemk8  40820  cdlemk9  40821  cdlemk9bN  40822  cdlemki  40823  cdlemksv2  40829  cdlemk12  40832  cdlemkoatnle  40833  cdlemk12u  40854  cdlemkfid1N  40903  cdlemk47  40931  dia2dimlem1  41046  dia2dimlem2  41047  dia2dimlem3  41048  dia2dimlem6  41051  cdlemm10N  41100  dih1dimatlem0  41310  dih1dimatlem  41311