Theorem ltrncnvel 38951

Description: The converse of the lattice translation of an atom not under the fiducial co-atom. (Contributed by NM, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncnvel	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (◡𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))

Proof of Theorem ltrncnvel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrnel.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		ltrnel.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		ltrnel.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ltrnel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	ltrncnvat 38950	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
6	5	3adant3r 1182	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
7		simp3r 1203	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
8		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11	10, 2	atbase 38097	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 → (◡𝐹‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
12	6, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (◡𝐹‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
13		simp1r 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
14	10, 3	lhpbase 38807	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
16	10, 1, 3, 4	ltrnle 38938	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((◡𝐹‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((◡𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊 ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) ≤ (𝐹‘𝑊)))
17	8, 9, 12, 15, 16	syl112anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((◡𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊 ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) ≤ (𝐹‘𝑊)))
18	10, 3, 4	ltrn1o 38933	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
19	18	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
20		simp3l 1202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
21	10, 2	atbase 38097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
23		f1ocnvfv2 7270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) = 𝑃)
24	19, 22, 23	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) = 𝑃)
25		simp1l 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
26	25	hllatd 38172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
27	10, 1	latref 18390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊 ≤ 𝑊)
28	26, 15, 27	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ≤ 𝑊)
29	10, 1, 3, 4	ltrnval1 38943	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑊) = 𝑊)
30	8, 9, 15, 28, 29	syl112anc 1375	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑊) = 𝑊)
31	24, 30	breq12d 5160	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑃)) ≤ (𝐹‘𝑊) ↔ 𝑃 ≤ 𝑊))
32	17, 31	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((◡𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊 ↔ 𝑃 ≤ 𝑊))
33	7, 32	mtbird 325	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ (◡𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊)
34	6, 33	jca 513	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((◡𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (◡𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5147  ^◡ccnv 5674  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  Latclat 18380  Atomscatm 38071  HLchlt 38158  LHypclh 38793  LTrncltrn 38910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-glb 18296  df-p0 18374  df-lat 18381  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-lhyp 38797  df-laut 38798  df-ldil 38913  df-ltrn 38914

This theorem is referenced by:  ltrncnv  38955  cdlemg17h  39477