Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg7N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg7N 36514
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg7.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg7.l = (le‘𝐾)
cdlemg7.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg7.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg7.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg7N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) → (𝐹‘(𝐺𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem cdlemg7N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1242 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl31 1341 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝐹𝑇)
3 simpl32 1343 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝐺𝑇)
4 simpl2r 1299 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑋𝐵)
5 cdlemg7.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cdlemg7.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdlemg7.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
85, 6, 7ltrncl 36013 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑋𝐵) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐵)
91, 3, 4, 8syl3anc 1490 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐵)
10 simpr 477 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑋 𝑊)
11 cdlemg7.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
125, 11, 6, 7ltrnval1 36022 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐺𝑋) = 𝑋)
131, 3, 4, 10, 12syl112anc 1493 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝐺𝑋) = 𝑋)
1413, 10eqbrtrd 4830 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝐺𝑋) 𝑊)
155, 11, 6, 7ltrnval1 36022 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝐺𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑋) 𝑊)) → (𝐹‘(𝐺𝑋)) = (𝐺𝑋))
161, 2, 9, 14, 15syl112anc 1493 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝐹‘(𝐺𝑋)) = (𝐺𝑋))
1716, 13eqtrd 2798 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝐹‘(𝐺𝑋)) = 𝑋)
18 simpl1 1242 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ ¬ 𝑋 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simpl2l 1297 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ ¬ 𝑋 𝑊) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
20 simpl2r 1299 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ ¬ 𝑋 𝑊) → 𝑋𝐵)
21 simpr 477 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ ¬ 𝑋 𝑊) → ¬ 𝑋 𝑊)
2220, 21jca 507 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ ¬ 𝑋 𝑊) → (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊))
23 simpl31 1341 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ ¬ 𝑋 𝑊) → 𝐹𝑇)
24 simpl32 1343 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ ¬ 𝑋 𝑊) → 𝐺𝑇)
25 simpl33 1345 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ ¬ 𝑋 𝑊) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)
26 cdlemg7.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
275, 11, 26, 6, 7cdlemg7aN 36513 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) → (𝐹‘(𝐺𝑋)) = 𝑋)
2818, 19, 22, 23, 24, 25, 27syl123anc 1506 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) ∧ ¬ 𝑋 𝑊) → (𝐹‘(𝐺𝑋)) = 𝑋)
2917, 28pm2.61dan 847 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) → (𝐹‘(𝐺𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4808  cfv 6067  Basecbs 16131  lecple 16222  Atomscatm 35151  HLchlt 35238  LHypclh 35872  LTrncltrn 35989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-riotaBAD 34841
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-id 5184  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-undef 7601  df-map 8061  df-proset 17195  df-poset 17213  df-plt 17225  df-lub 17241  df-glb 17242  df-join 17243  df-meet 17244  df-p0 17306  df-p1 17307  df-lat 17313  df-clat 17375  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-llines 35386  df-lplanes 35387  df-lvols 35388  df-lines 35389  df-psubsp 35391  df-pmap 35392  df-padd 35684  df-lhyp 35876  df-laut 35877  df-ldil 35992  df-ltrn 35993  df-trl 36047
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator