Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1194 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΎ β HL) |
2 | | simp3ll 1241 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π΄) |
3 | | simp3rl 1243 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π΄) |
4 | | cdlemc2.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
5 | | cdlemc2.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
6 | | cdlemc2.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | 4, 5, 6 | hlatlej2 38758 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
8 | 1, 2, 3, 7 | syl3anc 1368 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
9 | | simp1 1133 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
10 | | eqid 2726 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
11 | 10, 6 | atbase 38671 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
12 | 3, 11 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
13 | | simp3l 1198 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
14 | | cdlemc2.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
15 | | cdlemc2.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
16 | 10, 4, 5, 14, 6, 15 | cdlemc1 39574 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) = (π β¨ π)) |
17 | 9, 12, 13, 16 | syl3anc 1368 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) = (π β¨ π)) |
18 | 8, 17 | breqtrrd 5169 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β€ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
19 | | simp2 1134 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΉ β π) |
20 | 1 | hllatd 38746 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΎ β Lat) |
21 | 10, 6 | atbase 38671 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
22 | 2, 21 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
23 | 10, 5 | latjcl 18401 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
24 | 20, 22, 12, 23 | syl3anc 1368 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
25 | | simp1r 1195 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π») |
26 | 10, 15 | lhpbase 39381 |
. . . . . . 7
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
28 | 10, 14 | latmcl 18402 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
29 | 20, 24, 27, 28 | syl3anc 1368 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
30 | 10, 5 | latjcl 18401 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
31 | 20, 22, 29, 30 | syl3anc 1368 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
32 | | cdlemc2.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
33 | 10, 4, 15, 32 | ltrnle 39512 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ))) β (π β€ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (πΉβπ) β€ (πΉβ(π β¨ ((π β¨ π) β§ π))))) |
34 | 9, 19, 12, 31, 33 | syl112anc 1371 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β€ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (πΉβπ) β€ (πΉβ(π β¨ ((π β¨ π) β§ π))))) |
35 | 18, 34 | mpbid 231 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉβπ) β€ (πΉβ(π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
36 | 10, 5, 15, 32 | ltrnj 39515 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ))) β (πΉβ(π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) = ((πΉβπ) β¨ (πΉβ((π β¨ π) β§ π)))) |
37 | 9, 19, 22, 29, 36 | syl112anc 1371 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉβ(π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) = ((πΉβπ) β¨ (πΉβ((π β¨ π) β§ π)))) |
38 | 10, 4, 14 | latmle2 18427 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
39 | 20, 24, 27, 38 | syl3anc 1368 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
40 | 10, 4, 15, 32 | ltrnval1 39517 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β§ π) β€ π)) β (πΉβ((π β¨ π) β§ π)) = ((π β¨ π) β§ π)) |
41 | 9, 19, 29, 39, 40 | syl112anc 1371 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉβ((π β¨ π) β§ π)) = ((π β¨ π) β§ π)) |
42 | 41 | oveq2d 7420 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πΉβπ) β¨ (πΉβ((π β¨ π) β§ π))) = ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
43 | 37, 42 | eqtrd 2766 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉβ(π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) = ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
44 | 35, 43 | breqtrd 5167 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |