Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemc2 39797
Description: Part of proof of Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemc2.l = (le‘𝐾)
cdlemc2.j = (join‘𝐾)
cdlemc2.m = (meet‘𝐾)
cdlemc2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemc2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemc2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemc2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝐹𝑄) ((𝐹𝑃) ((𝑃 𝑄) 𝑊)))

Proof of Theorem cdlemc2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp3ll 1241 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → 𝑃𝐴)
3 simp3rl 1243 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → 𝑄𝐴)
4 cdlemc2.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
5 cdlemc2.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
6 cdlemc2.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
74, 5, 6hlatlej2 38980 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄 (𝑃 𝑄))
81, 2, 3, 7syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → 𝑄 (𝑃 𝑄))
9 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 eqid 2725 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1110, 6atbase 38893 . . . . . 6 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
123, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
13 simp3l 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
14 cdlemc2.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
15 cdlemc2.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
1610, 4, 5, 14, 6, 15cdlemc1 39796 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = (𝑃 𝑄))
179, 12, 13, 16syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = (𝑃 𝑄))
188, 17breqtrrd 5177 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → 𝑄 (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
19 simp2 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → 𝐹𝑇)
201hllatd 38968 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
2110, 6atbase 38893 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
222, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2310, 5latjcl 18439 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2420, 22, 12, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
25 simp1r 1195 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → 𝑊𝐻)
2610, 15lhpbase 39603 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2810, 14latmcl 18440 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
2920, 24, 27, 28syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
3010, 5latjcl 18439 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
3120, 22, 29, 30syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
32 cdlemc2.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3310, 4, 15, 32ltrnle 39734 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑄 (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ↔ (𝐹𝑄) (𝐹‘(𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))))
349, 19, 12, 31, 33syl112anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝑄 (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ↔ (𝐹𝑄) (𝐹‘(𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))))
3518, 34mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝐹𝑄) (𝐹‘(𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊))))
3610, 5, 15, 32ltrnj 39737 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝐹‘(𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊))) = ((𝐹𝑃) (𝐹‘((𝑃 𝑄) 𝑊))))
379, 19, 22, 29, 36syl112anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝐹‘(𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊))) = ((𝐹𝑃) (𝐹‘((𝑃 𝑄) 𝑊))))
3810, 4, 14latmle2 18465 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
3920, 24, 27, 38syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
4010, 4, 15, 32ltrnval1 39739 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)) → (𝐹‘((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
419, 19, 29, 39, 40syl112anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝐹‘((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
4241oveq2d 7435 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → ((𝐹𝑃) (𝐹‘((𝑃 𝑄) 𝑊))) = ((𝐹𝑃) ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
4337, 42eqtrd 2765 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝐹‘(𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊))) = ((𝐹𝑃) ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
4435, 43breqtrd 5175 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝐹𝑄) ((𝐹𝑃) ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17188  lecple 17248  joincjn 18311  meetcmee 18312  Latclat 18431  Atomscatm 38867  HLchlt 38954  LHypclh 39589  LTrncltrn 39706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-map 8847  df-proset 18295  df-poset 18313  df-plt 18330  df-lub 18346  df-glb 18347  df-join 18348  df-meet 18349  df-p0 18425  df-p1 18426  df-lat 18432  df-clat 18499  df-oposet 38780  df-ol 38782  df-oml 38783  df-covers 38870  df-ats 38871  df-atl 38902  df-cvlat 38926  df-hlat 38955  df-psubsp 39108  df-pmap 39109  df-padd 39401  df-lhyp 39593  df-laut 39594  df-ldil 39709  df-ltrn 39710
This theorem is referenced by:  cdlemc5  39800
  Copyright terms: Public domain W3C validator