MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashmap 14342
Description: The size of the set exponential of two finite sets is the exponential of their sizes. (This is the original motivation behind the notation for set exponentiation.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.) (Proof shortened by AV, 18-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashmap ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem hashmap
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7370 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘m ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘m โˆ…))
21fveq2d 6851 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฅ)) = (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m โˆ…)))
3 fveq2 6847 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
43oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜โˆ…)))
52, 4eqeq12d 2753 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฅ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m โˆ…)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜โˆ…))))
65imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฅ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†” (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m โˆ…)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜โˆ…)))))
7 oveq2 7370 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘m ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘m ๐‘ฆ))
87fveq2d 6851 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฅ)) = (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฆ)))
9 fveq2 6847 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))
109oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)))
118, 10eqeq12d 2753 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฅ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฆ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))))
1211imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฅ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†” (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฆ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)))))
13 oveq2 7370 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐ด โ†‘m ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})))
1413fveq2d 6851 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฅ)) = (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))))
15 fveq2 6847 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})))
1615oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))))
1714, 16eqeq12d 2753 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฅ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})))))
1817imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฅ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†” (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))))))
19 oveq2 7370 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘m ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘m ๐ต))
2019fveq2d 6851 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฅ)) = (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐ต)))
21 fveq2 6847 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜๐ต))
2221oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐ต)))
2320, 22eqeq12d 2753 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฅ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐ต))))
2423imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฅ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†” (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐ต)))))
25 hashcl 14263 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
2625nn0cnd 12482 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
2726exp0d 14052 . . . 4 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘0) = 1)
28 hash0 14274 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
2928oveq2i 7373 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜โˆ…)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘0)
3029a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜โˆ…)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘0))
31 mapdm0 8787 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐ด โ†‘m โˆ…) = {โˆ…})
3231fveq2d 6851 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m โˆ…)) = (โ™ฏโ€˜{โˆ…}))
33 0ex 5269 . . . . . 6 โˆ… โˆˆ V
34 hashsng 14276 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ V โ†’ (โ™ฏโ€˜{โˆ…}) = 1)
3533, 34mp1i 13 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{โˆ…}) = 1)
3632, 35eqtrd 2777 . . . 4 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m โˆ…)) = 1)
3727, 30, 363eqtr4rd 2788 . . 3 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m โˆ…)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜โˆ…)))
38 oveq1 7369 . . . . . 6 ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฆ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฆ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐ด)) = (((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐ด)))
39 vex 3452 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ฆ โˆˆ V
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ V)
41 vsnex 5391 . . . . . . . . . . 11 {๐‘ง} โˆˆ V
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ {๐‘ง} โˆˆ V)
43 elex 3466 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ ๐ด โˆˆ V)
4443adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ด โˆˆ V)
45 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
46 disjsn 4677 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
4745, 46sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…)
48 mapunen 9097 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ V โˆง {๐‘ง} โˆˆ V โˆง ๐ด โˆˆ V) โˆง (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ‰ˆ ((๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) ร— (๐ด โ†‘m {๐‘ง})))
4940, 42, 44, 47, 48syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ‰ˆ ((๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) ร— (๐ด โ†‘m {๐‘ง})))
50 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
51 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
52 snfi 8995 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘ง} โˆˆ Fin
53 unfi 9123 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง {๐‘ง} โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
5451, 52, 53sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
55 mapfi 9299 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin) โ†’ (๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โˆˆ Fin)
5650, 54, 55syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โˆˆ Fin)
57 mapfi 9299 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โ†’ (๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) โˆˆ Fin)
5857adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) โˆˆ Fin)
59 mapfi 9299 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง {๐‘ง} โˆˆ Fin) โ†’ (๐ด โ†‘m {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
6050, 52, 59sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โ†‘m {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
61 xpfi 9268 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) โˆˆ Fin โˆง (๐ด โ†‘m {๐‘ง}) โˆˆ Fin) โ†’ ((๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) ร— (๐ด โ†‘m {๐‘ง})) โˆˆ Fin)
6258, 60, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) ร— (๐ด โ†‘m {๐‘ง})) โˆˆ Fin)
63 hashen 14254 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โˆˆ Fin โˆง ((๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) ร— (๐ด โ†‘m {๐‘ง})) โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) = (โ™ฏโ€˜((๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) ร— (๐ด โ†‘m {๐‘ง}))) โ†” (๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ‰ˆ ((๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) ร— (๐ด โ†‘m {๐‘ง}))))
6456, 62, 63syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) = (โ™ฏโ€˜((๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) ร— (๐ด โ†‘m {๐‘ง}))) โ†” (๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ‰ˆ ((๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) ร— (๐ด โ†‘m {๐‘ง}))))
6549, 64mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) = (โ™ฏโ€˜((๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) ร— (๐ด โ†‘m {๐‘ง}))))
66 hashxp 14341 . . . . . . . . 9 (((๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) โˆˆ Fin โˆง (๐ด โ†‘m {๐‘ง}) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) ร— (๐ด โ†‘m {๐‘ง}))) = ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฆ)) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m {๐‘ง}))))
6758, 60, 66syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐ด โ†‘m ๐‘ฆ) ร— (๐ด โ†‘m {๐‘ง}))) = ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฆ)) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m {๐‘ง}))))
68 vex 3452 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘ง โˆˆ V
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ V)
7050, 69mapsnend 8987 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โ†‘m {๐‘ง}) โ‰ˆ ๐ด)
71 hashen 14254 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โ†‘m {๐‘ง}) โˆˆ Fin โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m {๐‘ง})) = (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†” (๐ด โ†‘m {๐‘ง}) โ‰ˆ ๐ด))
7260, 50, 71syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m {๐‘ง})) = (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†” (๐ด โ†‘m {๐‘ง}) โ‰ˆ ๐ด))
7370, 72mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m {๐‘ง})) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
7473oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฆ)) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m {๐‘ง}))) = ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฆ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐ด)))
7565, 67, 743eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) = ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฆ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐ด)))
76 hashunsng 14299 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1)))
7776elv 3454 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1))
7877adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1))
7978oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1)))
8026adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
81 hashcl 14263 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
8281ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
8380, 82expp1d 14059 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1)) = (((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐ด)))
8479, 83eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) = (((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐ด)))
8575, 84eqeq12d 2753 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) โ†” ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฆ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐ด)) = (((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐ด))))
8638, 85syl5ibr 246 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฆ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})))))
8786expcom 415 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฆ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))))))
8887a2d 29 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐‘ฆ)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))))))
896, 12, 18, 24, 37, 88findcard2s 9116 . 2 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐ต))))
9089impcom 409 1 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โ†‘m ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3448   โˆช cun 3913   โˆฉ cin 3914  โˆ…c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110   ร— cxp 5636  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โ†‘m cmap 8772   โ‰ˆ cen 8887  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„•0cn0 12420  โ†‘cexp 13974  โ™ฏchash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  hashpw  14343  hashwrdn  14442  prmreclem2  16796  efmndhash  18693  birthdaylem2  26318
  Copyright terms: Public domain W3C validator