Theorem repr0 34276

Description: There is exactly one representation with no elements (an empty sum), only for 𝑀 = 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
repr0	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))

Proof of Theorem repr0

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		0nn0 12525	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 4	reprval 34275	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
6		fzo0 13696	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^0) = ∅
7	6	sumeq1i 15684	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐‘𝑎)
8		sum0 15707	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐‘𝑎) = 0
9	7, 8	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 0
10	9	eqeq1i 2733	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ∅ → (Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀))
12		0ex 5311	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
13	12	snid 4669	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅}
14		nnex 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
16	15, 1	ssexd 5328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
17		mapdm0 8867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
19	13, 18	eleqtrrid 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴 ↑m ∅))
20	6	oveq2i 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ↑m (0..^0)) = (𝐴 ↑m ∅)
21	19, 20	eleqtrrdi 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)))
22	21	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → ∅ ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)))
23		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
24	23	eqcomd 2734	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → 0 = 𝑀)
25	20, 18	eqtrid 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m (0..^0)) = {∅})
26	25	eleq2d 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ↔ 𝑐 ∈ {∅}))
27	26	biimpa 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → 𝑐 ∈ {∅})
28		elsni 4649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ {∅} → 𝑐 = ∅)
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → 𝑐 = ∅)
30	29	ad4ant13 749	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀) → 𝑐 = ∅)
31	11, 22, 24, 30	rabeqsnd 4676	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = {∅})
32	31	eqcomd 2734	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → {∅} = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
33	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 0)
34		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → ¬ 𝑀 = 0)
35	34	neqned 2944	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → 𝑀 ≠ 0)
36	35	necomd 2993	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → 0 ≠ 𝑀)
37	33, 36	eqnetrd 3005	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑀)
38	37	neneqd 2942	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
39	38	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
40		rabeq0 4388	. . . . 5 ⊢ ({𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
41	39, 40	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅)
42	41	eqcomd 2734	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∅ = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
43	32, 42	ifeqda 4568	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 = 0, {∅}, ∅) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
44	5, 43	eqtr4d 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  ifcif 4532  {csn 4632  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑_m cmap 8851  0cc0 11146  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  ..^cfzo 13667  Σcsu 15672  reprcrepr 34273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-repr 34274

This theorem is referenced by:  breprexp  34298