Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repr0 33224
Description: There is exactly one representation with no elements (an empty sum), only for 𝑀 = 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
repr0 (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))

Proof of Theorem repr0
Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprval.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
2 reprval.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 0nn0 12428 . . . 4 0 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
51, 2, 4reprval 33223 . 2 (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
6 fzo0 13596 . . . . . . . . 9 (0..^0) = ∅
76sumeq1i 15583 . . . . . . . 8 Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐𝑎)
8 sum0 15606 . . . . . . . 8 Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐𝑎) = 0
97, 8eqtri 2764 . . . . . . 7 Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 0
109eqeq1i 2741 . . . . . 6 𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → (Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀))
12 0ex 5264 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
1312snid 4622 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
14 nnex 12159 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℕ ∈ V)
1615, 1ssexd 5281 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ V)
17 mapdm0 8780 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝐴m ∅) = {∅})
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴m ∅) = {∅})
1913, 18eleqtrrid 2845 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴m ∅))
206oveq2i 7368 . . . . . . 7 (𝐴m (0..^0)) = (𝐴m ∅)
2119, 20eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴m (0..^0)))
2221adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑀 = 0) → ∅ ∈ (𝐴m (0..^0)))
23 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
2423eqcomd 2742 . . . . 5 ((𝜑𝑀 = 0) → 0 = 𝑀)
2520, 18eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴m (0..^0)) = {∅})
2625eleq2d 2823 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ↔ 𝑐 ∈ {∅}))
2726biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → 𝑐 ∈ {∅})
28 elsni 4603 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ {∅} → 𝑐 = ∅)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → 𝑐 = ∅)
3029ad4ant13 749 . . . . 5 ((((𝜑𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀) → 𝑐 = ∅)
3111, 22, 24, 30rabeqsnd 31429 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀} = {∅})
3231eqcomd 2742 . . 3 ((𝜑𝑀 = 0) → {∅} = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
339a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 0)
34 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → ¬ 𝑀 = 0)
3534neqned 2950 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → 𝑀 ≠ 0)
3635necomd 2999 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → 0 ≠ 𝑀)
3733, 36eqnetrd 3011 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) ≠ 𝑀)
3837neneqd 2948 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀)
3938ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∀𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀)
40 rabeq0 4344 . . . . 5 ({𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀)
4139, 40sylibr 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅)
4241eqcomd 2742 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∅ = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
4332, 42ifeqda 4522 . 2 (𝜑 → if(𝑀 = 0, {∅}, ∅) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
445, 43eqtr4d 2779 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  0cc0 11051  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  ..^cfzo 13567  Σcsu 15570  reprcrepr 33221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-repr 33222
This theorem is referenced by:  breprexp  33246
  Copyright terms: Public domain W3C validator