Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repr0 34142
Description: There is exactly one representation with no elements (an empty sum), only for 𝑀 = 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
reprval.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
reprval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
repr0 (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {βˆ…}, βˆ…))

Proof of Theorem repr0
Dummy variables 𝑐 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprval.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
2 reprval.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 0nn0 12486 . . . 4 0 ∈ β„•0
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
51, 2, 4reprval 34141 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜0)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀})
6 fzo0 13657 . . . . . . . . 9 (0..^0) = βˆ…
76sumeq1i 15646 . . . . . . . 8 Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ βˆ… (π‘β€˜π‘Ž)
8 sum0 15669 . . . . . . . 8 Ξ£π‘Ž ∈ βˆ… (π‘β€˜π‘Ž) = 0
97, 8eqtri 2752 . . . . . . 7 Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 0
109eqeq1i 2729 . . . . . 6 (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑐 = βˆ… β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀))
12 0ex 5298 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ V
1312snid 4657 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ {βˆ…}
14 nnex 12217 . . . . . . . . . . 11 β„• ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
1615, 1ssexd 5315 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
17 mapdm0 8833 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ↑m βˆ…) = {βˆ…})
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ↑m βˆ…) = {βˆ…})
1913, 18eleqtrrid 2832 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (𝐴 ↑m βˆ…))
206oveq2i 7413 . . . . . . 7 (𝐴 ↑m (0..^0)) = (𝐴 ↑m βˆ…)
2119, 20eleqtrrdi 2836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)))
2221adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = 0) β†’ βˆ… ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)))
23 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = 0) β†’ 𝑀 = 0)
2423eqcomd 2730 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = 0) β†’ 0 = 𝑀)
2520, 18eqtrid 2776 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ↑m (0..^0)) = {βˆ…})
2625eleq2d 2811 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ↔ 𝑐 ∈ {βˆ…}))
2726biimpa 476 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ 𝑐 ∈ {βˆ…})
28 elsni 4638 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ {βˆ…} β†’ 𝑐 = βˆ…)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ 𝑐 = βˆ…)
3029ad4ant13 748 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ 𝑐 = βˆ…)
3111, 22, 24, 30rabeqsnd 4664 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = 0) β†’ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} = {βˆ…})
3231eqcomd 2730 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = 0) β†’ {βˆ…} = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀})
339a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 0)
34 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ Β¬ 𝑀 = 0)
3534neqned 2939 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ 𝑀 β‰  0)
3635necomd 2988 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ 0 β‰  𝑀)
3733, 36eqnetrd 3000 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) β‰  𝑀)
3837neneqd 2937 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ Β¬ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀)
3938ralrimiva 3138 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) Β¬ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀)
40 rabeq0 4377 . . . . 5 ({𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} = βˆ… ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) Β¬ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀)
4139, 40sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} = βˆ…)
4241eqcomd 2730 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ βˆ… = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀})
4332, 42ifeqda 4557 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝑀 = 0, {βˆ…}, βˆ…) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀})
445, 43eqtr4d 2767 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {βˆ…}, βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  ifcif 4521  {csn 4621  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑m cmap 8817  0cc0 11107  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  ..^cfzo 13628  Ξ£csu 15634  reprcrepr 34139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-repr 34140
This theorem is referenced by:  breprexp  34164
  Copyright terms: Public domain W3C validator