Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repr0 34243
Description: There is exactly one representation with no elements (an empty sum), only for 𝑀 = 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
reprval.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
reprval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
repr0 (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {βˆ…}, βˆ…))

Proof of Theorem repr0
Dummy variables 𝑐 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprval.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
2 reprval.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 0nn0 12518 . . . 4 0 ∈ β„•0
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
51, 2, 4reprval 34242 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜0)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀})
6 fzo0 13689 . . . . . . . . 9 (0..^0) = βˆ…
76sumeq1i 15677 . . . . . . . 8 Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ βˆ… (π‘β€˜π‘Ž)
8 sum0 15700 . . . . . . . 8 Ξ£π‘Ž ∈ βˆ… (π‘β€˜π‘Ž) = 0
97, 8eqtri 2756 . . . . . . 7 Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 0
109eqeq1i 2733 . . . . . 6 (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑐 = βˆ… β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀))
12 0ex 5307 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ V
1312snid 4665 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ {βˆ…}
14 nnex 12249 . . . . . . . . . . 11 β„• ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
1615, 1ssexd 5324 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
17 mapdm0 8861 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ↑m βˆ…) = {βˆ…})
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ↑m βˆ…) = {βˆ…})
1913, 18eleqtrrid 2836 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (𝐴 ↑m βˆ…))
206oveq2i 7431 . . . . . . 7 (𝐴 ↑m (0..^0)) = (𝐴 ↑m βˆ…)
2119, 20eleqtrrdi 2840 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)))
2221adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = 0) β†’ βˆ… ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)))
23 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = 0) β†’ 𝑀 = 0)
2423eqcomd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = 0) β†’ 0 = 𝑀)
2520, 18eqtrid 2780 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ↑m (0..^0)) = {βˆ…})
2625eleq2d 2815 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ↔ 𝑐 ∈ {βˆ…}))
2726biimpa 476 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ 𝑐 ∈ {βˆ…})
28 elsni 4646 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ {βˆ…} β†’ 𝑐 = βˆ…)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ 𝑐 = βˆ…)
3029ad4ant13 750 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀) β†’ 𝑐 = βˆ…)
3111, 22, 24, 30rabeqsnd 4672 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = 0) β†’ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} = {βˆ…})
3231eqcomd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = 0) β†’ {βˆ…} = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀})
339a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 0)
34 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ Β¬ 𝑀 = 0)
3534neqned 2944 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ 𝑀 β‰  0)
3635necomd 2993 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ 0 β‰  𝑀)
3733, 36eqnetrd 3005 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) β‰  𝑀)
3837neneqd 2942 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) β†’ Β¬ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀)
3938ralrimiva 3143 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) Β¬ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀)
40 rabeq0 4385 . . . . 5 ({𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} = βˆ… ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) Β¬ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀)
4139, 40sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} = βˆ…)
4241eqcomd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ βˆ… = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀})
4332, 42ifeqda 4565 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝑀 = 0, {βˆ…}, βˆ…) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^0)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀})
445, 43eqtr4d 2771 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {βˆ…}, βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  {crab 3429  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8845  0cc0 11139  β„•cn 12243  β„•0cn0 12503  β„€cz 12589  ..^cfzo 13660  Ξ£csu 15665  reprcrepr 34240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-repr 34241
This theorem is referenced by:  breprexp  34265
  Copyright terms: Public domain W3C validator