Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repr0 34276
Description: There is exactly one representation with no elements (an empty sum), only for 𝑀 = 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
repr0 (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))

Proof of Theorem repr0
Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprval.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
2 reprval.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 0nn0 12525 . . . 4 0 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
51, 2, 4reprval 34275 . 2 (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
6 fzo0 13696 . . . . . . . . 9 (0..^0) = ∅
76sumeq1i 15684 . . . . . . . 8 Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐𝑎)
8 sum0 15707 . . . . . . . 8 Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐𝑎) = 0
97, 8eqtri 2756 . . . . . . 7 Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 0
109eqeq1i 2733 . . . . . 6 𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → (Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀))
12 0ex 5311 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
1312snid 4669 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
14 nnex 12256 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℕ ∈ V)
1615, 1ssexd 5328 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ V)
17 mapdm0 8867 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝐴m ∅) = {∅})
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴m ∅) = {∅})
1913, 18eleqtrrid 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴m ∅))
206oveq2i 7437 . . . . . . 7 (𝐴m (0..^0)) = (𝐴m ∅)
2119, 20eleqtrrdi 2840 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴m (0..^0)))
2221adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑀 = 0) → ∅ ∈ (𝐴m (0..^0)))
23 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
2423eqcomd 2734 . . . . 5 ((𝜑𝑀 = 0) → 0 = 𝑀)
2520, 18eqtrid 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴m (0..^0)) = {∅})
2625eleq2d 2815 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ↔ 𝑐 ∈ {∅}))
2726biimpa 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → 𝑐 ∈ {∅})
28 elsni 4649 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ {∅} → 𝑐 = ∅)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → 𝑐 = ∅)
3029ad4ant13 749 . . . . 5 ((((𝜑𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀) → 𝑐 = ∅)
3111, 22, 24, 30rabeqsnd 4676 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀} = {∅})
3231eqcomd 2734 . . 3 ((𝜑𝑀 = 0) → {∅} = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
339a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 0)
34 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → ¬ 𝑀 = 0)
3534neqned 2944 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → 𝑀 ≠ 0)
3635necomd 2993 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → 0 ≠ 𝑀)
3733, 36eqnetrd 3005 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) ≠ 𝑀)
3837neneqd 2942 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀)
3938ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∀𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀)
40 rabeq0 4388 . . . . 5 ({𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀)
4139, 40sylibr 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅)
4241eqcomd 2734 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∅ = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
4332, 42ifeqda 4568 . 2 (𝜑 → if(𝑀 = 0, {∅}, ∅) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
445, 43eqtr4d 2771 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473  wss 3949  c0 4326  ifcif 4532  {csn 4632  cfv 6553  (class class class)co 7426  m cmap 8851  0cc0 11146  cn 12250  0cn0 12510  cz 12596  ..^cfzo 13667  Σcsu 15672  reprcrepr 34273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-repr 34274
This theorem is referenced by:  breprexp  34298
  Copyright terms: Public domain W3C validator