Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repr0 34626
Description: There is exactly one representation with no elements (an empty sum), only for 𝑀 = 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
repr0 (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))

Proof of Theorem repr0
Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprval.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
2 reprval.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 0nn0 12541 . . . 4 0 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
51, 2, 4reprval 34625 . 2 (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
6 fzo0 13723 . . . . . . . . 9 (0..^0) = ∅
76sumeq1i 15733 . . . . . . . 8 Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐𝑎)
8 sum0 15757 . . . . . . . 8 Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐𝑎) = 0
97, 8eqtri 2765 . . . . . . 7 Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 0
109eqeq1i 2742 . . . . . 6 𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → (Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀))
12 0ex 5307 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
1312snid 4662 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
14 nnex 12272 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℕ ∈ V)
1615, 1ssexd 5324 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ V)
17 mapdm0 8882 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝐴m ∅) = {∅})
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴m ∅) = {∅})
1913, 18eleqtrrid 2848 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴m ∅))
206oveq2i 7442 . . . . . . 7 (𝐴m (0..^0)) = (𝐴m ∅)
2119, 20eleqtrrdi 2852 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴m (0..^0)))
2221adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑀 = 0) → ∅ ∈ (𝐴m (0..^0)))
23 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
2423eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝜑𝑀 = 0) → 0 = 𝑀)
2520, 18eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴m (0..^0)) = {∅})
2625eleq2d 2827 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ↔ 𝑐 ∈ {∅}))
2726biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → 𝑐 ∈ {∅})
28 elsni 4643 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ {∅} → 𝑐 = ∅)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → 𝑐 = ∅)
3029ad4ant13 751 . . . . 5 ((((𝜑𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀) → 𝑐 = ∅)
3111, 22, 24, 30rabeqsnd 4669 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀} = {∅})
3231eqcomd 2743 . . 3 ((𝜑𝑀 = 0) → {∅} = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
339a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 0)
34 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → ¬ 𝑀 = 0)
3534neqned 2947 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → 𝑀 ≠ 0)
3635necomd 2996 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → 0 ≠ 𝑀)
3733, 36eqnetrd 3008 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) ≠ 𝑀)
3837neneqd 2945 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀)
3938ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∀𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀)
40 rabeq0 4388 . . . . 5 ({𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀)
4139, 40sylibr 234 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅)
4241eqcomd 2743 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∅ = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
4332, 42ifeqda 4562 . 2 (𝜑 → if(𝑀 = 0, {∅}, ∅) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐𝑎) = 𝑀})
445, 43eqtr4d 2780 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  0cc0 11155  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  ..^cfzo 13694  Σcsu 15722  reprcrepr 34623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-repr 34624
This theorem is referenced by:  breprexp  34648
  Copyright terms: Public domain W3C validator