Theorem repr0 33611

Description: There is exactly one representation with no elements (an empty sum), only for 𝑀 = 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
repr0	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))

Proof of Theorem repr0

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		0nn0 12483	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 4	reprval 33610	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
6		fzo0 13652	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^0) = ∅
7	6	sumeq1i 15640	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐‘𝑎)
8		sum0 15663	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐‘𝑎) = 0
9	7, 8	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 0
10	9	eqeq1i 2737	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ∅ → (Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀))
12		0ex 5306	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
13	12	snid 4663	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅}
14		nnex 12214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
16	15, 1	ssexd 5323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
17		mapdm0 8832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
19	13, 18	eleqtrrid 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴 ↑m ∅))
20	6	oveq2i 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ↑m (0..^0)) = (𝐴 ↑m ∅)
21	19, 20	eleqtrrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)))
22	21	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → ∅ ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)))
23		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
24	23	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → 0 = 𝑀)
25	20, 18	eqtrid 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m (0..^0)) = {∅})
26	25	eleq2d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ↔ 𝑐 ∈ {∅}))
27	26	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → 𝑐 ∈ {∅})
28		elsni 4644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ {∅} → 𝑐 = ∅)
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → 𝑐 = ∅)
30	29	ad4ant13 749	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀) → 𝑐 = ∅)
31	11, 22, 24, 30	rabeqsnd 4670	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = {∅})
32	31	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → {∅} = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
33	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 0)
34		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → ¬ 𝑀 = 0)
35	34	neqned 2947	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → 𝑀 ≠ 0)
36	35	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → 0 ≠ 𝑀)
37	33, 36	eqnetrd 3008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑀)
38	37	neneqd 2945	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
39	38	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
40		rabeq0 4383	. . . . 5 ⊢ ({𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
41	39, 40	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅)
42	41	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∅ = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
43	32, 42	ifeqda 4563	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 = 0, {∅}, ∅) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
44	5, 43	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8816  0cc0 11106  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ..^cfzo 13623  Σcsu 15628  reprcrepr 33608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-repr 33609

This theorem is referenced by:  breprexp  33633