Theorem repr0 35310

Description: There is exactly one representation with no elements (an empty sum), only for 𝑀 = 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
repr0	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))

Proof of Theorem repr0

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		0nn0 12648	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 4	reprval 35309	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
6		fzo0 13845	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^0) = ∅
7	6	sumeq1i 15893	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐‘𝑎)
8		sum0 15916	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑎 ∈ ∅ (𝑐‘𝑎) = 0
9	7, 8	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 0
10	9	eqeq1i 2768	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ∅ → (Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀 ↔ 0 = 𝑀))
12		0ex 5264	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
13	12	snid 4623	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅}
14		nnex 12368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
16	15, 1	ssexd 5290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
17		mapdm0 8890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
19	13, 18	eleqtrrid 2871	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴 ↑m ∅))
20	6	oveq2i 7454	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ↑m (0..^0)) = (𝐴 ↑m ∅)
21	19, 20	eleqtrrdi 2875	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)))
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → ∅ ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)))
23		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
24	23	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → 0 = 𝑀)
25	20, 18	eqtrid 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m (0..^0)) = {∅})
26	25	eleq2d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ↔ 𝑐 ∈ {∅}))
27	26	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → 𝑐 ∈ {∅})
28		elsni 4601	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ {∅} → 𝑐 = ∅)
29	27, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → 𝑐 = ∅)
30	29	ad4ant13 764	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀) → 𝑐 = ∅)
31	11, 22, 24, 30	rabeqsnd 4630	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = {∅})
32	31	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = 0) → {∅} = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
33	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 0)
34		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → ¬ 𝑀 = 0)
35	34	neqned 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → 𝑀 ≠ 0)
36	35	necomd 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → 0 ≠ 𝑀)
37	33, 36	eqnetrd 3026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑀)
38	37	neneqd 2964	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
39	38	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
40		rabeq0 4341	. . . . 5 ⊢ ({𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
41	39, 40	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅)
42	41	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → ∅ = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
43	32, 42	ifeqda 4522	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 = 0, {∅}, ∅) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^0)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^0)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
44	5, 43	eqtr4d 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘0)𝑀) = if(𝑀 = 0, {∅}, ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ifcif 4485  {csn 4588  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  0cc0 11227  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ..^cfzo 13815  Σcsu 15882  reprcrepr 35307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883  df-repr 35308

This theorem is used by:  breprexp  35332