Theorem ovn02 47781

Description: For the zero-dimensional space, voln* assigns zero to every subset. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ovn02	⊢ (voln*‘∅) = (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} ↦ 0)

Proof of Theorem ovn02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1574	. . 3 ⊢ ⊤
2		0fi 9095	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ Fin)
4	3	ovnf 47776	. . . 4 ⊢ (⊤ → (voln*‘∅):𝒫 (ℝ ↑m ∅)⟶(0[,]+∞))
5	4	feqmptd 6973	. . 3 ⊢ (⊤ → (voln*‘∅) = (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m ∅) ↦ ((voln*‘∅)‘𝑥)))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (voln*‘∅) = (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m ∅) ↦ ((voln*‘∅)‘𝑥))
7		reex 11315	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
8		mapdm0 8887	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑m ∅) = {∅}
10	9	pweqi 4576	. . 3 ⊢ 𝒫 (ℝ ↑m ∅) = 𝒫 {∅}
11		mpteq1 5197	. . 3 ⊢ (𝒫 (ℝ ↑m ∅) = 𝒫 {∅} → (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m ∅) ↦ ((voln*‘∅)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} ↦ ((voln*‘∅)‘𝑥)))
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m ∅) ↦ ((voln*‘∅)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} ↦ ((voln*‘∅)‘𝑥))
13		elpwi 4567	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} → 𝑥 ⊆ {∅})
14	9	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ {∅} = (ℝ ↑m ∅)
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} → {∅} = (ℝ ↑m ∅))
16	13, 15	sseqtrd 3949	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
17	16	ovn0val 47763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} → ((voln*‘∅)‘𝑥) = 0)
18	17	mpteq2ia 5203	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} ↦ ((voln*‘∅)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} ↦ 0)
19	6, 12, 18	3eqtri 2790	1 ⊢ (voln*‘∅) = (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} ↦ 0)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872  Fincfn 8998  ℝcr 11223  0cc0 11224  +∞cpnf 11364  [,]cicc 13503  voln*covoln 47749

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-prod 16099  df-rest 17619  df-topgen 17640  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-top 23239  df-topon 23256  df-bases 23291  df-cmp 23732  df-ovol 25812  df-vol 25813  df-sumge0 47576  df-ovoln 47750

This theorem is used by: (None)