Theorem ovn02 45271

Description: For the zero-dimensional space, voln* assigns zero to every subset. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ovn02	⊢ (voln*‘∅) = (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} ↦ 0)

Proof of Theorem ovn02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1546	. . 3 ⊢ ⊤
2		0fin 9168	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ Fin)
4	3	ovnf 45266	. . . 4 ⊢ (⊤ → (voln*‘∅):𝒫 (ℝ ↑m ∅)⟶(0[,]+∞))
5	4	feqmptd 6958	. . 3 ⊢ (⊤ → (voln*‘∅) = (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m ∅) ↦ ((voln*‘∅)‘𝑥)))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (voln*‘∅) = (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m ∅) ↦ ((voln*‘∅)‘𝑥))
7		reex 11198	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
8		mapdm0 8833	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑m ∅) = {∅}
10	9	pweqi 4618	. . 3 ⊢ 𝒫 (ℝ ↑m ∅) = 𝒫 {∅}
11		mpteq1 5241	. . 3 ⊢ (𝒫 (ℝ ↑m ∅) = 𝒫 {∅} → (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m ∅) ↦ ((voln*‘∅)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} ↦ ((voln*‘∅)‘𝑥)))
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m ∅) ↦ ((voln*‘∅)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} ↦ ((voln*‘∅)‘𝑥))
13		elpwi 4609	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} → 𝑥 ⊆ {∅})
14	9	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ {∅} = (ℝ ↑m ∅)
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} → {∅} = (ℝ ↑m ∅))
16	13, 15	sseqtrd 4022	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
17	16	ovn0val 45253	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} → ((voln*‘∅)‘𝑥) = 0)
18	17	mpteq2ia 5251	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} ↦ ((voln*‘∅)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} ↦ 0)
19	6, 12, 18	3eqtri 2765	1 ⊢ (voln*‘∅) = (𝑥 ∈ 𝒫 {∅} ↦ 0)

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406   ↑_m cmap 8817  Fincfn 8936  ℝcr 11106  0cc0 11107  +∞cpnf 11242  [,]cicc 13324  voln*covoln 45239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-prod 15847  df-rest 17365  df-topgen 17386  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-top 22388  df-topon 22405  df-bases 22441  df-cmp 22883  df-ovol 24973  df-vol 24974  df-sumge0 45066  df-ovoln 45240

This theorem is referenced by: (None)