Theorem rrxtopn0 46828

Description: The topology of the zero-dimensional real Euclidean space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rrxtopn0	⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = 𝒫 {∅}

Proof of Theorem rrxtopn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9017	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = (TopOpen‘(ℝ^‘∅))
3	2	rrxtoponfi 46826	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m ∅)))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m ∅))
5		reex 11158	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
6		mapdm0 8817	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑m ∅) = {∅}
8	7	fveq2i 6865	. . 3 ⊢ (TopOn‘(ℝ ↑m ∅)) = (TopOn‘{∅})
9	4, 8	eleqtri 2859	. 2 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) ∈ (TopOn‘{∅})
10		topsn 22979	. 2 ⊢ ((TopOpen‘(ℝ^‘∅)) ∈ (TopOn‘{∅}) → (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = 𝒫 {∅})
11	9, 10	ax-mp 5	1 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = 𝒫 {∅}

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  {csn 4579  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  ℝcr 11066  TopOpenctopn 17441  TopOnctopon 22958  ℝ^crrx 25433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146  ax-mulf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-tpos 8200  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ico 13349  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15506  df-sum 15705  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-prds 17467  df-pws 17469  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-subg 19156  df-ghm 19245  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-cring 20273  df-oppr 20373  df-dvdsr 20393  df-unit 20394  df-invr 20424  df-dvr 20437  df-rhm 20508  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-drng 20768  df-field 20769  df-abv 20846  df-staf 20876  df-srng 20877  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-lmhm 21077  df-lvec 21158  df-sra 21228  df-rgmod 21229  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-cnfld 21413  df-refld 21645  df-phl 21666  df-dsmm 21772  df-frlm 21787  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-xms 24368  df-ms 24369  df-nm 24630  df-ngp 24631  df-tng 24632  df-nrg 24633  df-nlm 24634  df-clm 25113  df-cph 25218  df-tcph 25219  df-rrx 25435

This theorem is referenced by:  rrxtopn0b  46831