Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbl 45639
Description: A n-dimensional ball contains a nonempty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbl.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbl.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
hoiqssbl (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   π‘Œ,𝑐,𝑑,𝑖   πœ‘,𝑐,𝑑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbl
StepHypRef Expression
1 0ex 5306 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
21snid 4663 . . . . . 6 βˆ… ∈ {βˆ…}
32a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ {βˆ…})
4 hoiqssbl.y . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
54adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m βˆ…))
7 reex 11203 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
8 mapdm0 8838 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∈ V β†’ (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…}
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…})
116, 10eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = {βˆ…})
1211adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = {βˆ…})
135, 12eleqtrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ {βˆ…})
14 0fin 9173 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ… ∈ Fin
15 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) = (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…))
1615rrxmetfi 25160 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ… ∈ Fin β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…)))
1714, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…))
18 metxmet 24060 . . . . . . . . . . . 12 ((distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…)) β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…)))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…))
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…)))
213, 9eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ (ℝ ↑m βˆ…))
22 hoiqssbl.e . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
2322adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
24 blcntr 24139 . . . . . . . . . 10 (((distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…)) ∧ βˆ… ∈ (ℝ ↑m βˆ…) ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) β†’ βˆ… ∈ (βˆ…(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ (βˆ…(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
26 elsni 4644 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ {βˆ…} β†’ π‘Œ = βˆ…)
2713, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘Œ = βˆ…)
2827eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… = π‘Œ)
2928oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (βˆ…(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸) = (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
3025, 29eleqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
3130snssd 4811 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
3213, 31jca 510 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
33 biidd 261 . . . . . . 7 (𝑑 = βˆ… β†’ ((π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)) ↔ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
3433rspcev 3611 . . . . . 6 ((βˆ… ∈ {βˆ…} ∧ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
353, 32, 34syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
36 biidd 261 . . . . . 6 (𝑐 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
3736rspcev 3611 . . . . 5 ((βˆ… ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ {βˆ…}βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
383, 35, 37syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ {βˆ…}βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
39 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ (β„š ↑m 𝑋) = (β„š ↑m βˆ…))
40 qex 12949 . . . . . . . . . . . 12 β„š ∈ V
41 mapdm0 8838 . . . . . . . . . . . 12 (β„š ∈ V β†’ (β„š ↑m βˆ…) = {βˆ…})
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (β„š ↑m βˆ…) = {βˆ…}
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ (β„š ↑m βˆ…) = {βˆ…})
4439, 43eqtr2d 2771 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ {βˆ…} = (β„š ↑m 𝑋))
4544eqcomd 2736 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ (β„š ↑m 𝑋) = {βˆ…})
4645eleq2d 2817 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑐 ∈ {βˆ…}))
4745eleq2d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑑 ∈ {βˆ…}))
4847anbi1d 628 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ ((𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))) ↔ (𝑑 ∈ {βˆ…} ∧ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))))
4948rexbidv2 3172 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
5046, 49anbi12d 629 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))) ↔ (𝑐 ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))))
5150rexbidv2 3172 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ {βˆ…}βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
5251adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ {βˆ…}βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
5338, 52mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
54 ixpeq1 8904 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) = X𝑖 ∈ βˆ… ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)))
55 ixp0x 8922 . . . . . . . . . 10 X𝑖 ∈ βˆ… ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) = {βˆ…}
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ βˆ… ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) = {βˆ…})
5754, 56eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) = {βˆ…})
5857eleq2d 2817 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ↔ π‘Œ ∈ {βˆ…}))
59 2fveq3 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))
6059fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ (ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) = (ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…))))
6160oveqd 7428 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸) = (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
6257, 61sseq12d 4014 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸) ↔ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
6358, 62anbi12d 629 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ ((π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)) ↔ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
6463rexbidv 3176 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
6564rexbidv 3176 . . . 4 (𝑋 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
6665adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
6753, 66mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
68 hoiqssbl.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
6968adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
70 neqne 2946 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
7170adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
724adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
7322adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
7469, 71, 72, 73hoiqssbllem3 45638 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
7567, 74pm2.61dan 809 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  Xcixp 8893  Fincfn 8941  β„cr 11111  β„šcq 12936  β„+crp 12978  [,)cico 13330  distcds 17210  βˆžMetcxmet 21129  Metcmet 21130  ballcbl 21131  β„^crrx 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-cnfld 21145  df-refld 21377  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-nm 24311  df-tng 24313  df-tcph 24917  df-rrx 25133
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  45647
  Copyright terms: Public domain W3C validator