Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbl 46282
Description: A n-dimensional ball contains a nonempty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbl.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbl.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbl.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
hoiqssbl (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   𝑌,𝑐,𝑑,𝑖   𝜑,𝑐,𝑑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbl
StepHypRef Expression
1 0ex 5304 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
21snid 4659 . . . . . 6 ∅ ∈ {∅}
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ {∅})
4 hoiqssbl.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
54adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6 oveq2 7424 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
7 reex 11240 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
8 mapdm0 8863 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ↑m ∅) = {∅}
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
116, 10eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = {∅})
1211adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) = {∅})
135, 12eleqtrd 2828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ {∅})
14 0fi 9072 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
15 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘(ℝ^‘∅)) = (dist‘(ℝ^‘∅))
1615rrxmetfi 25428 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m ∅)))
1714, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m ∅))
18 metxmet 24328 . . . . . . . . . . . 12 ((dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m ∅)) → (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅)))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅))
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅)))
213, 9eleqtrrdi 2837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ (ℝ ↑m ∅))
22 hoiqssbl.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2322adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
24 blcntr 24407 . . . . . . . . . 10 (((dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅)) ∧ ∅ ∈ (ℝ ↑m ∅) ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ (∅(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ (∅(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
26 elsni 4640 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ {∅} → 𝑌 = ∅)
2713, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑌 = ∅)
2827eqcomd 2732 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ = 𝑌)
2928oveq1d 7431 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∅(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸) = (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
3025, 29eleqtrd 2828 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
3130snssd 4808 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
3213, 31jca 510 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
33 biidd 261 . . . . . . 7 (𝑑 = ∅ → ((𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
3433rspcev 3607 . . . . . 6 ((∅ ∈ {∅} ∧ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) → ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
353, 32, 34syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
36 biidd 261 . . . . . 6 (𝑐 = ∅ → (∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
3736rspcev 3607 . . . . 5 ((∅ ∈ {∅} ∧ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) → ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
383, 35, 37syl2anc 582 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
39 oveq2 7424 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℚ ↑m 𝑋) = (ℚ ↑m ∅))
40 qex 12991 . . . . . . . . . . . 12 ℚ ∈ V
41 mapdm0 8863 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ ∈ V → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℚ ↑m ∅) = {∅}
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
4439, 43eqtr2d 2767 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → {∅} = (ℚ ↑m 𝑋))
4544eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → (ℚ ↑m 𝑋) = {∅})
4645eleq2d 2812 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑐 ∈ {∅}))
4745eleq2d 2812 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑑 ∈ {∅}))
4847anbi1d 629 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → ((𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) ↔ (𝑑 ∈ {∅} ∧ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))))
4948rexbidv2 3165 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
5046, 49anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → ((𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) ↔ (𝑐 ∈ {∅} ∧ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))))
5150rexbidv2 3165 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
5251adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
5338, 52mpbird 256 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
54 ixpeq1 8929 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)))
55 ixp0x 8947 . . . . . . . . . 10 X𝑖 ∈ ∅ ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = {∅}
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = {∅})
5754, 56eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = {∅})
5857eleq2d 2812 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ↔ 𝑌 ∈ {∅}))
59 2fveq3 6898 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘∅)))
6059fveq2d 6897 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → (ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))) = (ball‘(dist‘(ℝ^‘∅))))
6160oveqd 7433 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) = (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
6257, 61sseq12d 4012 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
6358, 62anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → ((𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6463rexbidv 3169 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6564rexbidv 3169 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6665adantl 480 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6753, 66mpbird 256 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
68 hoiqssbl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6968adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
70 neqne 2938 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
7170adantl 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
724adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
7322adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
7469, 71, 72, 73hoiqssbllem3 46281 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
7567, 74pm2.61dan 811 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  Vcvv 3462  wss 3946  c0 4322  {csn 4623  cfv 6546  (class class class)co 7416  m cmap 8847  Xcixp 8918  Fincfn 8966  cr 11148  cq 12978  +crp 13022  [,)cico 13374  distcds 17270  ∞Metcxmet 21324  Metcmet 21325  ballcbl 21326  ℝ^crrx 25399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xadd 13141  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-sum 15686  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-prds 17457  df-pws 17459  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19113  df-ghm 19203  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20312  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-rhm 20450  df-subrng 20524  df-subrg 20549  df-drng 20705  df-field 20706  df-staf 20814  df-srng 20815  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-sra 21147  df-rgmod 21148  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-cnfld 21340  df-refld 21597  df-dsmm 21726  df-frlm 21741  df-nm 24579  df-tng 24581  df-tcph 25185  df-rrx 25401
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  46290
  Copyright terms: Public domain W3C validator