Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbl 45019
Description: A n-dimensional ball contains a nonempty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbl.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbl.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
hoiqssbl (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   π‘Œ,𝑐,𝑑,𝑖   πœ‘,𝑐,𝑑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbl
StepHypRef Expression
1 0ex 5284 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
21snid 4642 . . . . . 6 βˆ… ∈ {βˆ…}
32a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ {βˆ…})
4 hoiqssbl.y . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6 oveq2 7385 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m βˆ…))
7 reex 11166 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
8 mapdm0 8802 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∈ V β†’ (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…}
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…})
116, 10eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = {βˆ…})
1211adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = {βˆ…})
135, 12eleqtrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ {βˆ…})
14 0fin 9137 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ… ∈ Fin
15 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) = (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…))
1615rrxmetfi 24828 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ… ∈ Fin β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…)))
1714, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…))
18 metxmet 23739 . . . . . . . . . . . 12 ((distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…)) β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…)))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…))
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…)))
213, 9eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ (ℝ ↑m βˆ…))
22 hoiqssbl.e . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
2322adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
24 blcntr 23818 . . . . . . . . . 10 (((distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…)) ∧ βˆ… ∈ (ℝ ↑m βˆ…) ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) β†’ βˆ… ∈ (βˆ…(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ (βˆ…(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
26 elsni 4623 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ {βˆ…} β†’ π‘Œ = βˆ…)
2713, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘Œ = βˆ…)
2827eqcomd 2737 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… = π‘Œ)
2928oveq1d 7392 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (βˆ…(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸) = (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
3025, 29eleqtrd 2834 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
3130snssd 4789 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
3213, 31jca 512 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
33 biidd 261 . . . . . . 7 (𝑑 = βˆ… β†’ ((π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)) ↔ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
3433rspcev 3595 . . . . . 6 ((βˆ… ∈ {βˆ…} ∧ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
353, 32, 34syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
36 biidd 261 . . . . . 6 (𝑐 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
3736rspcev 3595 . . . . 5 ((βˆ… ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ {βˆ…}βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
383, 35, 37syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ {βˆ…}βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
39 oveq2 7385 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ (β„š ↑m 𝑋) = (β„š ↑m βˆ…))
40 qex 12910 . . . . . . . . . . . 12 β„š ∈ V
41 mapdm0 8802 . . . . . . . . . . . 12 (β„š ∈ V β†’ (β„š ↑m βˆ…) = {βˆ…})
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (β„š ↑m βˆ…) = {βˆ…}
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ (β„š ↑m βˆ…) = {βˆ…})
4439, 43eqtr2d 2772 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ {βˆ…} = (β„š ↑m 𝑋))
4544eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ (β„š ↑m 𝑋) = {βˆ…})
4645eleq2d 2818 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑐 ∈ {βˆ…}))
4745eleq2d 2818 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑑 ∈ {βˆ…}))
4847anbi1d 630 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ ((𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))) ↔ (𝑑 ∈ {βˆ…} ∧ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))))
4948rexbidv2 3173 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
5046, 49anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))) ↔ (𝑐 ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))))
5150rexbidv2 3173 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ {βˆ…}βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
5251adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ {βˆ…}βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
5338, 52mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
54 ixpeq1 8868 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) = X𝑖 ∈ βˆ… ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)))
55 ixp0x 8886 . . . . . . . . . 10 X𝑖 ∈ βˆ… ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) = {βˆ…}
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ βˆ… ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) = {βˆ…})
5754, 56eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) = {βˆ…})
5857eleq2d 2818 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ↔ π‘Œ ∈ {βˆ…}))
59 2fveq3 6867 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))
6059fveq2d 6866 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ (ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) = (ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…))))
6160oveqd 7394 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸) = (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
6257, 61sseq12d 3995 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸) ↔ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
6358, 62anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ ((π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)) ↔ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
6463rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
6564rexbidv 3177 . . . 4 (𝑋 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
6665adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
6753, 66mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
68 hoiqssbl.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
6968adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
70 neqne 2947 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
7170adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
724adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
7322adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
7469, 71, 72, 73hoiqssbllem3 45018 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
7567, 74pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3459   βŠ† wss 3928  βˆ…c0 4302  {csn 4606  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   ↑m cmap 8787  Xcixp 8857  Fincfn 8905  β„cr 11074  β„šcq 12897  β„+crp 12939  [,)cico 13291  distcds 17171  βˆžMetcxmet 20833  Metcmet 20834  ballcbl 20835  β„^crrx 24799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-supp 8113  df-tpos 8177  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-fsupp 9328  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-xadd 13058  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-seq 13932  df-exp 13993  df-hash 14256  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-clim 15397  df-sum 15598  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-starv 17177  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-ip 17180  df-tset 17181  df-ple 17182  df-ds 17184  df-unif 17185  df-hom 17186  df-cco 17187  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-mhm 18630  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-sbg 18782  df-subg 18954  df-ghm 19035  df-cntz 19126  df-cmn 19593  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-cring 19996  df-oppr 20078  df-dvdsr 20099  df-unit 20100  df-invr 20130  df-dvr 20141  df-rnghom 20177  df-drng 20242  df-field 20243  df-subrg 20283  df-staf 20375  df-srng 20376  df-lmod 20395  df-lss 20465  df-sra 20707  df-rgmod 20708  df-psmet 20840  df-xmet 20841  df-met 20842  df-bl 20843  df-cnfld 20849  df-refld 21061  df-dsmm 21190  df-frlm 21205  df-nm 23990  df-tng 23992  df-tcph 24585  df-rrx 24801
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  45027
  Copyright terms: Public domain W3C validator