Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbl 44552
Description: A n-dimensional ball contains a nonempty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbl.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbl.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbl.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
hoiqssbl (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   𝑌,𝑐,𝑑,𝑖   𝜑,𝑐,𝑑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbl
StepHypRef Expression
1 0ex 5255 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
21snid 4613 . . . . . 6 ∅ ∈ {∅}
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ {∅})
4 hoiqssbl.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
54adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6 oveq2 7349 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
7 reex 11067 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
8 mapdm0 8705 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ↑m ∅) = {∅}
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
116, 10eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = {∅})
1211adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) = {∅})
135, 12eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ {∅})
14 0fin 9040 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
15 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘(ℝ^‘∅)) = (dist‘(ℝ^‘∅))
1615rrxmetfi 24681 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m ∅)))
1714, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m ∅))
18 metxmet 23592 . . . . . . . . . . . 12 ((dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m ∅)) → (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅)))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅))
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅)))
213, 9eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ (ℝ ↑m ∅))
22 hoiqssbl.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2322adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
24 blcntr 23671 . . . . . . . . . 10 (((dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅)) ∧ ∅ ∈ (ℝ ↑m ∅) ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ (∅(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ (∅(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
26 elsni 4594 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ {∅} → 𝑌 = ∅)
2713, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑌 = ∅)
2827eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ = 𝑌)
2928oveq1d 7356 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∅(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸) = (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
3025, 29eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
3130snssd 4760 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
3213, 31jca 513 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
33 biidd 262 . . . . . . 7 (𝑑 = ∅ → ((𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
3433rspcev 3573 . . . . . 6 ((∅ ∈ {∅} ∧ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) → ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
353, 32, 34syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
36 biidd 262 . . . . . 6 (𝑐 = ∅ → (∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
3736rspcev 3573 . . . . 5 ((∅ ∈ {∅} ∧ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) → ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
383, 35, 37syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
39 oveq2 7349 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℚ ↑m 𝑋) = (ℚ ↑m ∅))
40 qex 12806 . . . . . . . . . . . 12 ℚ ∈ V
41 mapdm0 8705 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ ∈ V → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℚ ↑m ∅) = {∅}
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
4439, 43eqtr2d 2778 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → {∅} = (ℚ ↑m 𝑋))
4544eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → (ℚ ↑m 𝑋) = {∅})
4645eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑐 ∈ {∅}))
4745eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑑 ∈ {∅}))
4847anbi1d 631 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → ((𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) ↔ (𝑑 ∈ {∅} ∧ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))))
4948rexbidv2 3168 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
5046, 49anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → ((𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) ↔ (𝑐 ∈ {∅} ∧ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))))
5150rexbidv2 3168 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
5251adantl 483 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
5338, 52mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
54 ixpeq1 8771 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)))
55 ixp0x 8789 . . . . . . . . . 10 X𝑖 ∈ ∅ ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = {∅}
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = {∅})
5754, 56eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = {∅})
5857eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ↔ 𝑌 ∈ {∅}))
59 2fveq3 6834 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘∅)))
6059fveq2d 6833 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → (ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))) = (ball‘(dist‘(ℝ^‘∅))))
6160oveqd 7358 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) = (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
6257, 61sseq12d 3968 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
6358, 62anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → ((𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6463rexbidv 3172 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6564rexbidv 3172 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6665adantl 483 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6753, 66mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
68 hoiqssbl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6968adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
70 neqne 2949 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
7170adantl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
724adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
7322adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
7469, 71, 72, 73hoiqssbllem3 44551 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
7567, 74pm2.61dan 811 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wrex 3071  Vcvv 3442  wss 3901  c0 4273  {csn 4577  cfv 6483  (class class class)co 7341  m cmap 8690  Xcixp 8760  Fincfn 8808  cr 10975  cq 12793  +crp 12835  [,)cico 13186  distcds 17068  ∞Metcxmet 20687  Metcmet 20688  ballcbl 20689  ℝ^crrx 24652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054  ax-addf 11055  ax-mulf 11056
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7599  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-supp 8052  df-tpos 8116  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-map 8692  df-ixp 8761  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-fsupp 9231  df-sup 9303  df-inf 9304  df-oi 9371  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-9 12148  df-n0 12339  df-z 12425  df-dec 12543  df-uz 12688  df-q 12794  df-rp 12836  df-xadd 12954  df-ioo 13188  df-ico 13190  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-seq 13827  df-exp 13888  df-hash 14150  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-prds 17255  df-pws 17257  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-mhm 18527  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-subg 18848  df-ghm 18928  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19815  df-ur 19832  df-ring 19879  df-cring 19880  df-oppr 19956  df-dvdsr 19977  df-unit 19978  df-invr 20008  df-dvr 20019  df-rnghom 20053  df-drng 20094  df-field 20095  df-subrg 20126  df-staf 20210  df-srng 20211  df-lmod 20230  df-lss 20299  df-sra 20539  df-rgmod 20540  df-psmet 20694  df-xmet 20695  df-met 20696  df-bl 20697  df-cnfld 20703  df-refld 20915  df-dsmm 21044  df-frlm 21059  df-nm 23843  df-tng 23845  df-tcph 24438  df-rrx 24654
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  44560
  Copyright terms: Public domain W3C validator