Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbl 45341
Description: A n-dimensional ball contains a nonempty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbl.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbl.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
hoiqssbl (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   π‘Œ,𝑐,𝑑,𝑖   πœ‘,𝑐,𝑑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbl
StepHypRef Expression
1 0ex 5308 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
21snid 4665 . . . . . 6 βˆ… ∈ {βˆ…}
32a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ {βˆ…})
4 hoiqssbl.y . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
54adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m βˆ…))
7 reex 11201 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
8 mapdm0 8836 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∈ V β†’ (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…}
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…})
116, 10eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = {βˆ…})
1211adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (ℝ ↑m 𝑋) = {βˆ…})
135, 12eleqtrd 2836 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ {βˆ…})
14 0fin 9171 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ… ∈ Fin
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) = (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…))
1615rrxmetfi 24929 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ… ∈ Fin β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…)))
1714, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…))
18 metxmet 23840 . . . . . . . . . . . 12 ((distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…)) β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…)))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…))
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…)))
213, 9eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ (ℝ ↑m βˆ…))
22 hoiqssbl.e . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
2322adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
24 blcntr 23919 . . . . . . . . . 10 (((distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m βˆ…)) ∧ βˆ… ∈ (ℝ ↑m βˆ…) ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) β†’ βˆ… ∈ (βˆ…(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ (βˆ…(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
26 elsni 4646 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ {βˆ…} β†’ π‘Œ = βˆ…)
2713, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘Œ = βˆ…)
2827eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… = π‘Œ)
2928oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (βˆ…(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸) = (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
3025, 29eleqtrd 2836 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
3130snssd 4813 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
3213, 31jca 513 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
33 biidd 262 . . . . . . 7 (𝑑 = βˆ… β†’ ((π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)) ↔ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
3433rspcev 3613 . . . . . 6 ((βˆ… ∈ {βˆ…} ∧ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
353, 32, 34syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
36 biidd 262 . . . . . 6 (𝑐 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
3736rspcev 3613 . . . . 5 ((βˆ… ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ {βˆ…}βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
383, 35, 37syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ {βˆ…}βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
39 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ (β„š ↑m 𝑋) = (β„š ↑m βˆ…))
40 qex 12945 . . . . . . . . . . . 12 β„š ∈ V
41 mapdm0 8836 . . . . . . . . . . . 12 (β„š ∈ V β†’ (β„š ↑m βˆ…) = {βˆ…})
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (β„š ↑m βˆ…) = {βˆ…}
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ (β„š ↑m βˆ…) = {βˆ…})
4439, 43eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ {βˆ…} = (β„š ↑m 𝑋))
4544eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ (β„š ↑m 𝑋) = {βˆ…})
4645eleq2d 2820 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑐 ∈ {βˆ…}))
4745eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑑 ∈ {βˆ…}))
4847anbi1d 631 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ ((𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))) ↔ (𝑑 ∈ {βˆ…} ∧ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))))
4948rexbidv2 3175 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
5046, 49anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))) ↔ (𝑐 ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))))
5150rexbidv2 3175 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ {βˆ…}βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
5251adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ {βˆ…}βˆƒπ‘‘ ∈ {βˆ…} (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
5338, 52mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
54 ixpeq1 8902 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) = X𝑖 ∈ βˆ… ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)))
55 ixp0x 8920 . . . . . . . . . 10 X𝑖 ∈ βˆ… ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) = {βˆ…}
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ βˆ… ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) = {βˆ…})
5754, 56eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) = {βˆ…})
5857eleq2d 2820 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ↔ π‘Œ ∈ {βˆ…}))
59 2fveq3 6897 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))
6059fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ (ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) = (ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…))))
6160oveqd 7426 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸) = (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))
6257, 61sseq12d 4016 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸) ↔ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸)))
6358, 62anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ ((π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)) ↔ (π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
6463rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
6564rexbidv 3179 . . . 4 (𝑋 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
6665adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ {βˆ…} ∧ {βˆ…} βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜βˆ…)))𝐸))))
6753, 66mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
68 hoiqssbl.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
6968adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
70 neqne 2949 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
7170adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
724adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
7322adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
7469, 71, 72, 73hoiqssbllem3 45340 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
7567, 74pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Xcixp 8891  Fincfn 8939  β„cr 11109  β„šcq 12932  β„+crp 12974  [,)cico 13326  distcds 17206  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  ballcbl 20931  β„^crrx 24900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-staf 20453  df-srng 20454  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-cnfld 20945  df-refld 21158  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-nm 24091  df-tng 24093  df-tcph 24686  df-rrx 24902
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  45349
  Copyright terms: Public domain W3C validator