Theorem hoiqssbl 47200

Description: A n-dimensional ball contains a nonempty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiqssbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
hoiqssbl	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   𝑌,𝑐,𝑑,𝑖   𝜑,𝑐,𝑑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5258	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	snid 4622	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ {∅}
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ {∅})
4		hoiqssbl.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
5	4	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6		oveq2 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
7		reex 11165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
8		mapdm0 8824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ↑m ∅) = {∅}
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
11	6, 10	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = {∅})
12	11	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) = {∅})
13	5, 12	eleqtrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ {∅})
14		0fi 9024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ Fin
15		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dist‘(ℝ^‘∅)) = (dist‘(ℝ^‘∅))
16	15	rrxmetfi 25475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m ∅)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m ∅))
18		metxmet 24395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m ∅)) → (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅)))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅))
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅)))
21	3, 9	eleqtrrdi 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ (ℝ ↑m ∅))
22		hoiqssbl.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
23	22	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
24		blcntr 24474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅)) ∧ ∅ ∈ (ℝ ↑m ∅) ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ (∅(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
25	20, 21, 23, 24	syl3anc 1391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ (∅(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
26		elsni 4600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ {∅} → 𝑌 = ∅)
27	13, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑌 = ∅)
28	27	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ = 𝑌)
29	28	oveq1d 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (∅(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸) = (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
30	25, 29	eleqtrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
31	30	snssd 4746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
32	13, 31	jca 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
33		biidd 264	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = ∅ → ((𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
34	33	rspcev 3582	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ {∅} ∧ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) → ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
35	3, 32, 34	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
36		biidd 264	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = ∅ → (∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
37	36	rspcev 3582	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ {∅} ∧ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) → ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
38	3, 35, 37	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
39		oveq2 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = ∅ → (ℚ ↑m 𝑋) = (ℚ ↑m ∅))
40		qex 12963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ ∈ V
41		mapdm0 8824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ ∈ V → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℚ ↑m ∅) = {∅}
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = ∅ → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
44	39, 43	eqtr2d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = ∅ → {∅} = (ℚ ↑m 𝑋))
45	44	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = ∅ → (ℚ ↑m 𝑋) = {∅})
46	45	eleq2d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑐 ∈ {∅}))
47	45	eleq2d 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑑 ∈ {∅}))
48	47	anbi1d 640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) ↔ (𝑑 ∈ {∅} ∧ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))))
49	48	rexbidv2 3183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
50	46, 49	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) ↔ (𝑐 ∈ {∅} ∧ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))))
51	50	rexbidv2 3183	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
52	51	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
53	38, 52	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
54		ixpeq1 8891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)))
55		ixp0x 8909	. . . . . . . . . 10 ⊢ X𝑖 ∈ ∅ ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) = {∅}
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) = {∅})
57	54, 56	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) = {∅})
58	57	eleq2d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ↔ 𝑌 ∈ {∅}))
59		2fveq3 6873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = ∅ → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘∅)))
60	59	fveq2d 6872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = ∅ → (ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))) = (ball‘(dist‘(ℝ^‘∅))))
61	60	oveqd 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) = (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
62	57, 61	sseq12d 3970	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
63	58, 62	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
64	63	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
65	64	rexbidv 3187	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
66	65	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
67	53, 66	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
68		hoiqssbl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
69	68	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
70		neqne 2966	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
71	70	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
72	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
73	22	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
74	69, 71, 72, 73	hoiqssbllem3 47199	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
75	67, 74	pm2.61dan 822	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3087  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4583  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397   ↑_m cmap 8809  Xcixp 8880  Fincfn 8928  ℝcr 11073  ℚcq 12950  ℝ⁺crp 12994  [,)cico 13352  distcds 17296  ∞Metcxmet 21410  Metcmet 21411  ballcbl 21412  ℝ^crrx 25446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-inf2 9597  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153  ax-mulf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-of 7661  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-map 8811  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fsupp 9309  df-sup 9389  df-inf 9390  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-q 12951  df-rp 12995  df-xadd 13116  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14345  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-clim 15516  df-sum 15715  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-0g 17471  df-gsum 17472  df-prds 17477  df-pws 17479  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-mhm 18818  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-subg 19166  df-ghm 19255  df-cntz 19358  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-cring 20287  df-oppr 20387  df-dvdsr 20407  df-unit 20408  df-invr 20438  df-dvr 20451  df-rhm 20522  df-subrng 20597  df-subrg 20621  df-drng 20782  df-field 20783  df-staf 20889  df-srng 20890  df-lmod 20930  df-lss 21000  df-sra 21241  df-rgmod 21242  df-psmet 21417  df-xmet 21418  df-met 21419  df-bl 21420  df-cnfld 21426  df-refld 21658  df-dsmm 21785  df-frlm 21800  df-nm 24643  df-tng 24645  df-tcph 25232  df-rrx 25448

This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  47208