Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbl 44856
Description: A n-dimensional ball contains a nonempty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbl.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbl.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbl.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
hoiqssbl (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   𝑌,𝑐,𝑑,𝑖   𝜑,𝑐,𝑑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbl
StepHypRef Expression
1 0ex 5264 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
21snid 4622 . . . . . 6 ∅ ∈ {∅}
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ {∅})
4 hoiqssbl.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
7 reex 11142 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
8 mapdm0 8780 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ↑m ∅) = {∅}
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
116, 10eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑m 𝑋) = {∅})
1211adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) = {∅})
135, 12eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ {∅})
14 0fin 9115 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
15 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘(ℝ^‘∅)) = (dist‘(ℝ^‘∅))
1615rrxmetfi 24776 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m ∅)))
1714, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m ∅))
18 metxmet 23687 . . . . . . . . . . . 12 ((dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m ∅)) → (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅)))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅))
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → (dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅)))
213, 9eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ (ℝ ↑m ∅))
22 hoiqssbl.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2322adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
24 blcntr 23766 . . . . . . . . . 10 (((dist‘(ℝ^‘∅)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m ∅)) ∧ ∅ ∈ (ℝ ↑m ∅) ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ (∅(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ (∅(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
26 elsni 4603 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ {∅} → 𝑌 = ∅)
2713, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑌 = ∅)
2827eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ = 𝑌)
2928oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∅(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸) = (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
3025, 29eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
3130snssd 4769 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
3213, 31jca 512 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
33 biidd 261 . . . . . . 7 (𝑑 = ∅ → ((𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
3433rspcev 3581 . . . . . 6 ((∅ ∈ {∅} ∧ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) → ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
353, 32, 34syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
36 biidd 261 . . . . . 6 (𝑐 = ∅ → (∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
3736rspcev 3581 . . . . 5 ((∅ ∈ {∅} ∧ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) → ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
383, 35, 37syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
39 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℚ ↑m 𝑋) = (ℚ ↑m ∅))
40 qex 12886 . . . . . . . . . . . 12 ℚ ∈ V
41 mapdm0 8780 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ ∈ V → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℚ ↑m ∅) = {∅}
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
4439, 43eqtr2d 2777 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → {∅} = (ℚ ↑m 𝑋))
4544eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → (ℚ ↑m 𝑋) = {∅})
4645eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑐 ∈ {∅}))
4745eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑑 ∈ {∅}))
4847anbi1d 630 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → ((𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) ↔ (𝑑 ∈ {∅} ∧ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))))
4948rexbidv2 3171 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
5046, 49anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → ((𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))) ↔ (𝑐 ∈ {∅} ∧ ∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))))
5150rexbidv2 3171 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
5251adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ {∅}∃𝑑 ∈ {∅} (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
5338, 52mpbird 256 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
54 ixpeq1 8846 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)))
55 ixp0x 8864 . . . . . . . . . 10 X𝑖 ∈ ∅ ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = {∅}
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = {∅})
5754, 56eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) = {∅})
5857eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ↔ 𝑌 ∈ {∅}))
59 2fveq3 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = ∅ → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘∅)))
6059fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → (ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))) = (ball‘(dist‘(ℝ^‘∅))))
6160oveqd 7374 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) = (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))
6257, 61sseq12d 3977 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸) ↔ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸)))
6358, 62anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → ((𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ (𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6463rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6564rexbidv 3175 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6665adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)) ↔ ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌 ∈ {∅} ∧ {∅} ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘∅)))𝐸))))
6753, 66mpbird 256 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
68 hoiqssbl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6968adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
70 neqne 2951 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
7170adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
724adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
7322adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
7469, 71, 72, 73hoiqssbllem3 44855 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
7567, 74pm2.61dan 811 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Xcixp 8835  Fincfn 8883  cr 11050  cq 12873  +crp 12915  [,)cico 13266  distcds 17142  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  ballcbl 20783  ℝ^crrx 24747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-field 20188  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-cnfld 20797  df-refld 21009  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-nm 23938  df-tng 23940  df-tcph 24533  df-rrx 24749
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  44864
  Copyright terms: Public domain W3C validator