Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrnbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrnbl 43836
Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrnbl.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnbl.x (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
qndenserrnbl.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnbl.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
qndenserrnbl (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem qndenserrnbl
StepHypRef Expression
1 0ex 5231 . . . . . 6 ∅ ∈ V
21snid 4597 . . . . 5 ∅ ∈ {∅}
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ ∈ {∅})
4 oveq2 7283 . . . . . 6 (𝐼 = ∅ → (ℚ ↑m 𝐼) = (ℚ ↑m ∅))
5 qex 12701 . . . . . . . 8 ℚ ∈ V
6 mapdm0 8630 . . . . . . . 8 (ℚ ∈ V → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℚ ↑m ∅) = {∅}
87a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 = ∅ → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
94, 8eqtr2d 2779 . . . . 5 (𝐼 = ∅ → {∅} = (ℚ ↑m 𝐼))
109adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐼 = ∅) → {∅} = (ℚ ↑m 𝐼))
113, 10eleqtrd 2841 . . 3 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (ℚ ↑m 𝐼))
12 qndenserrnbl.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
13 qndenserrnbl.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
1413rrxmetfi 24576 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
16 metxmet 23487 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
1817adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐼 = ∅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
19 qndenserrnbl.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
2019adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
21 oveq2 7283 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m ∅))
22 reex 10962 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
23 mapdm0 8630 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ↑m ∅) = {∅}
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
2621, 25eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m 𝐼) = {∅})
2726adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = ∅) → (ℝ ↑m 𝐼) = {∅})
2820, 27eleqtrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ {∅})
29 elsng 4575 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
3019, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
3130adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = ∅) → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
3228, 31mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 = ∅) → 𝑋 = ∅)
3332eqcomd 2744 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ = 𝑋)
3433, 20eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
35 qndenserrnbl.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3635rpxrd 12773 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
3735rpgt0d 12775 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐸)
3836, 37jca 512 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸))
3938adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐼 = ∅) → (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸))
40 xblcntr 23564 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ∅ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸)) → ∅ ∈ (∅(ball‘𝐷)𝐸))
4118, 34, 39, 40syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (∅(ball‘𝐷)𝐸))
4233oveq1d 7290 . . . 4 ((𝜑𝐼 = ∅) → (∅(ball‘𝐷)𝐸) = (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
4341, 42eleqtrd 2841 . . 3 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
44 eleq1 2826 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
4544rspcev 3561 . . 3 ((∅ ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
4611, 43, 45syl2anc 584 . 2 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
4712adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ∈ Fin)
48 neqne 2951 . . . 4 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
4948adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
5019adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5135adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
5247, 49, 50, 13, 51qndenserrnbllem 43835 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
5346, 52pm2.61dan 810 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  Vcvv 3432  c0 4256  {csn 4561   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  m cmap 8615  Fincfn 8733  cr 10870  0cc0 10871  *cxr 11008   < clt 11009  cq 12688  +crp 12730  distcds 16971  ∞Metcxmet 20582  Metcmet 20583  ballcbl 20584  ℝ^crrx 24547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-field 19994  df-subrg 20022  df-staf 20105  df-srng 20106  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-cnfld 20598  df-refld 20810  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-nm 23738  df-tng 23740  df-tcph 24333  df-rrx 24549
This theorem is referenced by:  qndenserrnopnlem  43838
  Copyright terms: Public domain W3C validator