Theorem qndenserrnbl 46398

Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qndenserrnbl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
qndenserrnbl.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnbl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
qndenserrnbl	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem qndenserrnbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5247	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	snid 4614	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ {∅})
4		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℚ ↑m 𝐼) = (ℚ ↑m ∅))
5		qex 12865	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ∈ V
6		mapdm0 8772	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∈ V → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ ↑m ∅) = {∅}
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
9	4, 8	eqtr2d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → {∅} = (ℚ ↑m 𝐼))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → {∅} = (ℚ ↑m 𝐼))
11	3, 10	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (ℚ ↑m 𝐼))
12		qndenserrnbl.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
13		qndenserrnbl.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
14	13	rrxmetfi 25345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
16		metxmet 24255	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
19		qndenserrnbl.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
21		oveq2 7360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m ∅))
22		reex 11103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ V
23		mapdm0 8772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ ↑m ∅) = {∅}
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
26	21, 25	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m 𝐼) = {∅})
27	26	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (ℝ ↑m 𝐼) = {∅})
28	20, 27	eleqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ {∅})
29		elsng 4589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
30	19, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
32	28, 31	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝑋 = ∅)
33	32	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ = 𝑋)
34	33, 20	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
35		qndenserrnbl.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
36	35	rpxrd 12941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
37	35	rpgt0d 12943	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
38	36, 37	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸))
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸))
40		xblcntr 24332	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ∅ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸)) → ∅ ∈ (∅(ball‘𝐷)𝐸))
41	18, 34, 39, 40	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (∅(ball‘𝐷)𝐸))
42	33	oveq1d 7367	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (∅(ball‘𝐷)𝐸) = (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
43	41, 42	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
44		eleq1 2819	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
45	44	rspcev 3572	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
46	11, 43, 45	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
47	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ∈ Fin)
48		neqne 2936	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
49	48	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
50	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51	35	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
52	47, 49, 50, 13, 51	qndenserrnbllem 46397	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
53	46, 52	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  Vcvv 3436  ∅c0 4282  {csn 4575   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  Fincfn 8875  ℝcr 11011  0cc0 11012  ℝ^*cxr 11151   < clt 11152  ℚcq 12852  ℝ⁺crp 12896  distcds 17176  ∞Metcxmet 21282  Metcmet 21283  ballcbl 21284  ℝ^crrx 25316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-addf 11091  ax-mulf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-xadd 13018  df-ioo 13255  df-ico 13257  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-exp 13975  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-clim 15401  df-sum 15600  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-hom 17191  df-cco 17192  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-prds 17357  df-pws 17359  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-mhm 18697  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20261  df-dvdsr 20281  df-unit 20282  df-invr 20312  df-dvr 20325  df-rhm 20396  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-drng 20652  df-field 20653  df-staf 20760  df-srng 20761  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-cnfld 21298  df-refld 21548  df-dsmm 21675  df-frlm 21690  df-nm 24503  df-tng 24505  df-tcph 25102  df-rrx 25318

This theorem is referenced by:  qndenserrnopnlem  46400