Theorem qndenserrnbl 47413

Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qndenserrnbl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
qndenserrnbl.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnbl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
qndenserrnbl	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem qndenserrnbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5260	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	snid 4619	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ {∅})
4		oveq2 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℚ ↑m 𝐼) = (ℚ ↑m ∅))
5		qex 13095	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ∈ V
6		mapdm0 8869	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∈ V → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ ↑m ∅) = {∅}
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
9	4, 8	eqtr2d 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → {∅} = (ℚ ↑m 𝐼))
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → {∅} = (ℚ ↑m 𝐼))
11	3, 10	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (ℚ ↑m 𝐼))
12		qndenserrnbl.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
13		qndenserrnbl.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
14	13	rrxmetfi 25742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
15	12, 14	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
16		metxmet 24662	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
17	15, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
19		qndenserrnbl.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
21		oveq2 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m ∅))
22		reex 11298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ V
23		mapdm0 8869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ ↑m ∅) = {∅}
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
26	21, 25	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m 𝐼) = {∅})
27	26	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (ℝ ↑m 𝐼) = {∅})
28	20, 27	eleqtrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ {∅})
29		elsng 4594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
30	19, 29	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
31	30	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
32	28, 31	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝑋 = ∅)
33	32	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ = 𝑋)
34	33, 20	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
35		qndenserrnbl.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
36	35	rpxrd 13172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
37	35	rpgt0d 13174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
38	36, 37	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸))
39	38	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸))
40		xblcntr 24739	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ∅ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸)) → ∅ ∈ (∅(ball‘𝐷)𝐸))
41	18, 34, 39, 40	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (∅(ball‘𝐷)𝐸))
42	33	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (∅(ball‘𝐷)𝐸) = (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
43	41, 42	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
44		eleq1 2848	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
45	44	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
46	11, 43, 45	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
47	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ∈ Fin)
48		neqne 2963	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
49	48	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
50	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51	35	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
52	47, 49, 50, 13, 51	qndenserrnbllem 47412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
53	46, 52	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  ∅c0 4277  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8854  Fincfn 8980  ℝcr 11206  0cc0 11207  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350  ℚcq 13082  ℝ⁺crp 13127  distcds 17446  ∞Metcxmet 21672  Metcmet 21673  ballcbl 21674  ℝ^crrx 25713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286  ax-mulf 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-tpos 8250  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-map 8856  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xadd 13249  df-ioo 13487  df-ico 13489  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-sum 15863  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-ghm 19437  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-cring 20471  df-oppr 20576  df-dvdsr 20596  df-unit 20597  df-invr 20627  df-dvr 20640  df-rhm 20711  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-drng 20991  df-field 20992  df-staf 21105  df-srng 21106  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-cnfld 21688  df-refld 21920  df-dsmm 22047  df-frlm 22062  df-nm 24910  df-tng 24912  df-tcph 25499  df-rrx 25715

This theorem is used by:  qndenserrnopnlem  47415