Theorem qndenserrnbl 46539

Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qndenserrnbl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
qndenserrnbl.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnbl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
qndenserrnbl	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem qndenserrnbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5252	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	snid 4619	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ {∅})
4		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℚ ↑m 𝐼) = (ℚ ↑m ∅))
5		qex 12874	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ∈ V
6		mapdm0 8779	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∈ V → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ ↑m ∅) = {∅}
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
9	4, 8	eqtr2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → {∅} = (ℚ ↑m 𝐼))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → {∅} = (ℚ ↑m 𝐼))
11	3, 10	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (ℚ ↑m 𝐼))
12		qndenserrnbl.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
13		qndenserrnbl.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
14	13	rrxmetfi 25368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
16		metxmet 24278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
19		qndenserrnbl.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
21		oveq2 7366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m ∅))
22		reex 11117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ V
23		mapdm0 8779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ ↑m ∅) = {∅}
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
26	21, 25	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m 𝐼) = {∅})
27	26	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (ℝ ↑m 𝐼) = {∅})
28	20, 27	eleqtrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ {∅})
29		elsng 4594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
30	19, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
32	28, 31	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝑋 = ∅)
33	32	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ = 𝑋)
34	33, 20	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
35		qndenserrnbl.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
36	35	rpxrd 12950	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
37	35	rpgt0d 12952	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
38	36, 37	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸))
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸))
40		xblcntr 24355	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ∅ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸)) → ∅ ∈ (∅(ball‘𝐷)𝐸))
41	18, 34, 39, 40	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (∅(ball‘𝐷)𝐸))
42	33	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (∅(ball‘𝐷)𝐸) = (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
43	41, 42	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
44		eleq1 2824	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
45	44	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
46	11, 43, 45	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
47	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ∈ Fin)
48		neqne 2940	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
49	48	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
50	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51	35	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
52	47, 49, 50, 13, 51	qndenserrnbllem 46538	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
53	46, 52	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  Vcvv 3440  ∅c0 4285  {csn 4580   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  ℝcr 11025  0cc0 11026  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166  ℚcq 12861  ℝ⁺crp 12905  distcds 17186  ∞Metcxmet 21294  Metcmet 21295  ballcbl 21296  ℝ^crrx 25339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xadd 13027  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-field 20665  df-staf 20772  df-srng 20773  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-cnfld 21310  df-refld 21560  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-nm 24526  df-tng 24528  df-tcph 25125  df-rrx 25341

This theorem is referenced by:  qndenserrnopnlem  46541