Theorem qndenserrnbl 46333

Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qndenserrnbl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
qndenserrnbl.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnbl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
qndenserrnbl	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem qndenserrnbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5240	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	snid 4610	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ {∅})
4		oveq2 7349	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℚ ↑m 𝐼) = (ℚ ↑m ∅))
5		qex 12854	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ∈ V
6		mapdm0 8761	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∈ V → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ ↑m ∅) = {∅}
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
9	4, 8	eqtr2d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → {∅} = (ℚ ↑m 𝐼))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → {∅} = (ℚ ↑m 𝐼))
11	3, 10	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (ℚ ↑m 𝐼))
12		qndenserrnbl.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
13		qndenserrnbl.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
14	13	rrxmetfi 25334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
16		metxmet 24244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
19		qndenserrnbl.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
21		oveq2 7349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m ∅))
22		reex 11092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ V
23		mapdm0 8761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ ↑m ∅) = {∅}
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
26	21, 25	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m 𝐼) = {∅})
27	26	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (ℝ ↑m 𝐼) = {∅})
28	20, 27	eleqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ {∅})
29		elsng 4585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
30	19, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
32	28, 31	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝑋 = ∅)
33	32	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ = 𝑋)
34	33, 20	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
35		qndenserrnbl.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
36	35	rpxrd 12930	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
37	35	rpgt0d 12932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
38	36, 37	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸))
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸))
40		xblcntr 24321	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ∅ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸)) → ∅ ∈ (∅(ball‘𝐷)𝐸))
41	18, 34, 39, 40	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (∅(ball‘𝐷)𝐸))
42	33	oveq1d 7356	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → (∅(ball‘𝐷)𝐸) = (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
43	41, 42	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
44		eleq1 2819	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
45	44	rspcev 3572	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
46	11, 43, 45	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = ∅) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
47	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ∈ Fin)
48		neqne 2936	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
49	48	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
50	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51	35	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
52	47, 49, 50, 13, 51	qndenserrnbllem 46332	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
53	46, 52	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  Vcvv 3436  ∅c0 4278  {csn 4571   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ↑_m cmap 8745  Fincfn 8864  ℝcr 11000  0cc0 11001  ℝ^*cxr 11140   < clt 11141  ℚcq 12841  ℝ⁺crp 12885  distcds 17165  ∞Metcxmet 21271  Metcmet 21272  ballcbl 21273  ℝ^crrx 25305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080  ax-mulf 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xadd 13007  df-ioo 13244  df-ico 13246  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-sum 15589  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-prds 17346  df-pws 17348  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-cring 20149  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-invr 20301  df-dvr 20314  df-rhm 20385  df-subrng 20456  df-subrg 20480  df-drng 20641  df-field 20642  df-staf 20749  df-srng 20750  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-sra 21102  df-rgmod 21103  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-cnfld 21287  df-refld 21537  df-dsmm 21664  df-frlm 21679  df-nm 24492  df-tng 24494  df-tcph 25091  df-rrx 25307

This theorem is referenced by:  qndenserrnopnlem  46335