Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrnbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrnbl 44080
Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrnbl.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnbl.x (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
qndenserrnbl.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnbl.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
qndenserrnbl (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem qndenserrnbl
StepHypRef Expression
1 0ex 5244 . . . . . 6 ∅ ∈ V
21snid 4605 . . . . 5 ∅ ∈ {∅}
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ ∈ {∅})
4 oveq2 7321 . . . . . 6 (𝐼 = ∅ → (ℚ ↑m 𝐼) = (ℚ ↑m ∅))
5 qex 12771 . . . . . . . 8 ℚ ∈ V
6 mapdm0 8676 . . . . . . . 8 (ℚ ∈ V → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℚ ↑m ∅) = {∅}
87a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 = ∅ → (ℚ ↑m ∅) = {∅})
94, 8eqtr2d 2778 . . . . 5 (𝐼 = ∅ → {∅} = (ℚ ↑m 𝐼))
109adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐼 = ∅) → {∅} = (ℚ ↑m 𝐼))
113, 10eleqtrd 2840 . . 3 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (ℚ ↑m 𝐼))
12 qndenserrnbl.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
13 qndenserrnbl.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
1413rrxmetfi 24647 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
16 metxmet 23558 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
1817adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐼 = ∅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
19 qndenserrnbl.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
2019adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
21 oveq2 7321 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m ∅))
22 reex 11032 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
23 mapdm0 8676 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ↑m ∅) = {∅}
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
2621, 25eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑m 𝐼) = {∅})
2726adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = ∅) → (ℝ ↑m 𝐼) = {∅})
2820, 27eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ {∅})
29 elsng 4583 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
3019, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
3130adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = ∅) → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
3228, 31mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 = ∅) → 𝑋 = ∅)
3332eqcomd 2743 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ = 𝑋)
3433, 20eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
35 qndenserrnbl.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3635rpxrd 12843 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
3735rpgt0d 12845 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐸)
3836, 37jca 512 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸))
3938adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐼 = ∅) → (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸))
40 xblcntr 23635 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ∅ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸)) → ∅ ∈ (∅(ball‘𝐷)𝐸))
4118, 34, 39, 40syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (∅(ball‘𝐷)𝐸))
4233oveq1d 7328 . . . 4 ((𝜑𝐼 = ∅) → (∅(ball‘𝐷)𝐸) = (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
4341, 42eleqtrd 2840 . . 3 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
44 eleq1 2825 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
4544rspcev 3570 . . 3 ((∅ ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
4611, 43, 45syl2anc 584 . 2 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
4712adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ∈ Fin)
48 neqne 2949 . . . 4 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
4948adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
5019adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5135adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
5247, 49, 50, 13, 51qndenserrnbllem 44079 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
5346, 52pm2.61dan 810 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  wrex 3071  Vcvv 3441  c0 4266  {csn 4569   class class class wbr 5085  cfv 6463  (class class class)co 7313  m cmap 8661  Fincfn 8779  cr 10940  0cc0 10941  *cxr 11078   < clt 11079  cq 12758  +crp 12800  distcds 17038  ∞Metcxmet 20653  Metcmet 20654  ballcbl 20655  ℝ^crrx 24618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-inf2 9467  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019  ax-addf 11020  ax-mulf 11021
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-se 5561  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-isom 6472  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-of 7571  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-supp 8023  df-tpos 8087  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-map 8663  df-ixp 8732  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-fsupp 9197  df-sup 9269  df-inf 9270  df-oi 9337  df-card 9765  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-n0 12304  df-z 12390  df-dec 12508  df-uz 12653  df-q 12759  df-rp 12801  df-xadd 12919  df-ioo 13153  df-ico 13155  df-fz 13310  df-fzo 13453  df-seq 13792  df-exp 13853  df-hash 14115  df-cj 14879  df-re 14880  df-im 14881  df-sqrt 15015  df-abs 15016  df-clim 15266  df-sum 15467  df-struct 16915  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-starv 17044  df-sca 17045  df-vsca 17046  df-ip 17047  df-tset 17048  df-ple 17049  df-ds 17051  df-unif 17052  df-hom 17053  df-cco 17054  df-0g 17219  df-gsum 17220  df-prds 17225  df-pws 17227  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-mhm 18497  df-grp 18647  df-minusg 18648  df-sbg 18649  df-subg 18819  df-ghm 18899  df-cntz 18990  df-cmn 19455  df-abl 19456  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-ring 19852  df-cring 19853  df-oppr 19929  df-dvdsr 19950  df-unit 19951  df-invr 19981  df-dvr 19992  df-rnghom 20026  df-drng 20064  df-field 20065  df-subrg 20093  df-staf 20176  df-srng 20177  df-lmod 20196  df-lss 20265  df-sra 20505  df-rgmod 20506  df-psmet 20660  df-xmet 20661  df-met 20662  df-bl 20663  df-cnfld 20669  df-refld 20881  df-dsmm 21010  df-frlm 21025  df-nm 23809  df-tng 23811  df-tcph 24404  df-rrx 24620
This theorem is referenced by:  qndenserrnopnlem  44082
  Copyright terms: Public domain W3C validator