Theorem mpct 45648

Description: The exponentiation of a countable set to a finite set is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpct.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
mpct.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
mpct	⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mpct

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7368	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m ∅))
2	1	breq1d 5096	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m ∅) ≼ ω))
3		oveq2 7368	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m 𝑦))
4	3	breq1d 5096	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω))
5		oveq2 7368	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})))
6	5	breq1d 5096	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
7		oveq2 7368	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m 𝐵))
8	7	breq1d 5096	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ω))
9		mpct.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
10		ctex 8903	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
12		mapdm0 8782	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
14		snfi 8983	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ Fin
15		fict 9565	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ Fin → {∅} ≼ ω)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {∅} ≼ ω
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {∅} ≼ ω)
18	13, 17	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m ∅) ≼ ω)
19		vex 3434	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → 𝑦 ∈ V)
21		vsnex 5372	. . . . . 6 ⊢ {𝑧} ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → {𝑧} ∈ V)
23	11	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
24		eldifn 4073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
25		disjsn 4656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
26	24, 25	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
27	26	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
28	27	ad2antlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
29		mapunen 9077	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ V ∧ {𝑧} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})))
30	20, 22, 23, 28, 29	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})))
31		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω)
32		vex 3434	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 ∈ V
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ V)
34	11, 33	mapsnend 8976	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≈ 𝐴)
35		endomtr 8952	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ↑m {𝑧}) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω)
36	34, 9, 35	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω)
37	36	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω)
38		xpct 9929	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω ∧ (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω) → ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ≼ ω)
39	31, 37, 38	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ≼ ω)
40		endomtr 8952	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ∧ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ≼ ω) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
41	30, 39, 40	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
42	41	ex 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) → ((𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
43		mpct.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
44	2, 4, 6, 8, 18, 42, 43	findcard2d 9094	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086   × cxp 5622  (class class class)co 7360  ωcom 7810   ↑_m cmap 8766   ≈ cen 8883   ≼ cdom 8884  Fincfn 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9418  df-card 9854

This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  47079  smfmullem4  47240