Theorem mpct 45776

Description: The exponentiation of a countable set to a finite set is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpct.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
mpct.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
mpct	⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mpct

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7408	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m ∅))
2	1	breq1d 5115	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m ∅) ≼ ω))
3		oveq2 7408	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m 𝑦))
4	3	breq1d 5115	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω))
5		oveq2 7408	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})))
6	5	breq1d 5115	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
7		oveq2 7408	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m 𝐵))
8	7	breq1d 5115	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ω))
9		mpct.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
10		ctex 8948	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
12		mapdm0 8827	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
14		snfi 9028	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ Fin
15		fict 9610	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ Fin → {∅} ≼ ω)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {∅} ≼ ω
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {∅} ≼ ω)
18	13, 17	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m ∅) ≼ ω)
19		vex 3461	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → 𝑦 ∈ V)
21		vsnex 5397	. . . . . 6 ⊢ {𝑧} ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → {𝑧} ∈ V)
23	11	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
24		eldifn 4088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
25		disjsn 4673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
26	24, 25	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
27	26	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
28	27	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
29		mapunen 9122	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ V ∧ {𝑧} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})))
30	20, 22, 23, 28, 29	syl31anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})))
31		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω)
32		vex 3461	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 ∈ V
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ V)
34	11, 33	mapsnend 9021	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≈ 𝐴)
35		endomtr 8997	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ↑m {𝑧}) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω)
36	34, 9, 35	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω)
37	36	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω)
38		xpct 9988	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω ∧ (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω) → ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ≼ ω)
39	31, 37, 38	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ≼ ω)
40		endomtr 8997	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ∧ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ≼ ω) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
41	30, 39, 40	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
42	41	ex 417	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) → ((𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
43		mpct.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
44	2, 4, 6, 8, 18, 42, 43	findcard2d 9139	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  {csn 4585   class class class wbr 5105   × cxp 5650  (class class class)co 7400  ωcom 7850   ↑_m cmap 8812   ≈ cen 8928   ≼ cdom 8929  Fincfn 8931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-oi 9460  df-card 9913

This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  47205  smfmullem4  47366