Theorem mpct 46158

Description: The exponentiation of a countable set to a finite set is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpct.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
mpct.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
mpct	⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mpct

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7420	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m ∅))
2	1	breq1d 5113	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m ∅) ≼ ω))
3		oveq2 7420	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m 𝑦))
4	3	breq1d 5113	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω))
5		oveq2 7420	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})))
6	5	breq1d 5113	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
7		oveq2 7420	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m 𝐵))
8	7	breq1d 5113	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ω))
9		mpct.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
10		ctex 8974	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
12		mapdm0 8846	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
14		snfi 9055	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ Fin
15		fict 9638	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ Fin → {∅} ≼ ω)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {∅} ≼ ω
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {∅} ≼ ω)
18	13, 17	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m ∅) ≼ ω)
19		vex 3455	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → 𝑦 ∈ V)
21		vsnex 5393	. . . . . 6 ⊢ {𝑧} ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → {𝑧} ∈ V)
23	11	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
24		eldifn 4079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
25		disjsn 4672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
26	24, 25	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
27	26	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
28	27	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
29		mapunen 9149	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ V ∧ {𝑧} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})))
30	20, 22, 23, 28, 29	syl31anc 1400	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})))
31		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω)
32		vex 3455	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 ∈ V
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ V)
34	11, 33	mapsnend 9048	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≈ 𝐴)
35		endomtr 9023	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ↑m {𝑧}) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω)
36	34, 9, 35	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω)
37	36	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω)
38		xpct 10076	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω ∧ (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω) → ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ≼ ω)
39	31, 37, 38	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ≼ ω)
40		endomtr 9023	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ∧ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ≼ ω) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
41	30, 39, 40	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
42	41	ex 418	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) → ((𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
43		mpct.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
44	2, 4, 6, 8, 18, 42, 43	findcard2d 9166	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ω)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5649  (class class class)co 7412  ωcom 7866   ↑_m cmap 8831   ≈ cen 8954   ≼ cdom 8955  Fincfn 8957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-oi 9488  df-card 10001

This theorem is used by:  opnvonmbllem2  47587  smfmullem4  47748