Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mpct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpct 43509
Description: The exponentiation of a countable set to a finite set is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mpct.a (𝜑𝐴 ≼ ω)
mpct.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
mpct (𝜑 → (𝐴m 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mpct
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7366 . . 3 (𝑥 = ∅ → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m ∅))
21breq1d 5116 . 2 (𝑥 = ∅ → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m ∅) ≼ ω))
3 oveq2 7366 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m 𝑦))
43breq1d 5116 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m 𝑦) ≼ ω))
5 oveq2 7366 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})))
65breq1d 5116 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
7 oveq2 7366 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m 𝐵))
87breq1d 5116 . 2 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m 𝐵) ≼ ω))
9 mpct.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ≼ ω)
10 ctex 8906 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
12 mapdm0 8783 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴m ∅) = {∅})
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴m ∅) = {∅})
14 snfi 8991 . . . . 5 {∅} ∈ Fin
15 fict 9594 . . . . 5 ({∅} ∈ Fin → {∅} ≼ ω)
1614, 15ax-mp 5 . . . 4 {∅} ≼ ω
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → {∅} ≼ ω)
1813, 17eqbrtrd 5128 . 2 (𝜑 → (𝐴m ∅) ≼ ω)
19 vex 3448 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → 𝑦 ∈ V)
21 vsnex 5387 . . . . . 6 {𝑧} ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → {𝑧} ∈ V)
2311ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
24 eldifn 4088 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐵𝑦) → ¬ 𝑧𝑦)
25 disjsn 4673 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
2624, 25sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐵𝑦) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
2726adantl 483 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
2827ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
29 mapunen 9093 . . . . 5 (((𝑦 ∈ V ∧ {𝑧} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})))
3020, 22, 23, 28, 29syl31anc 1374 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})))
31 simpr 486 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m 𝑦) ≼ ω)
32 vex 3448 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑧 ∈ V)
3411, 33mapsnend 8983 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴m {𝑧}) ≈ 𝐴)
35 endomtr 8955 . . . . . . 7 (((𝐴m {𝑧}) ≈ 𝐴𝐴 ≼ ω) → (𝐴m {𝑧}) ≼ ω)
3634, 9, 35syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴m {𝑧}) ≼ ω)
3736ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m {𝑧}) ≼ ω)
38 xpct 9957 . . . . 5 (((𝐴m 𝑦) ≼ ω ∧ (𝐴m {𝑧}) ≼ ω) → ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ≼ ω)
3931, 37, 38syl2anc 585 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ≼ ω)
40 endomtr 8955 . . . 4 (((𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ∧ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ≼ ω) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
4130, 39, 40syl2anc 585 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
4241ex 414 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) → ((𝐴m 𝑦) ≼ ω → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
43 mpct.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
442, 4, 6, 8, 18, 42, 43findcard2d 9113 1 (𝜑 → (𝐴m 𝐵) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  cdif 3908  cun 3909  cin 3910  wss 3911  c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106   × cxp 5632  (class class class)co 7358  ωcom 7803  m cmap 8768  cen 8883  cdom 8884  Fincfn 8886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9451  df-card 9880
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  44960  smfmullem4  45121
  Copyright terms: Public domain W3C validator