Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mpct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpct 43396
Description: The exponentiation of a countable set to a finite set is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mpct.a (𝜑𝐴 ≼ ω)
mpct.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
mpct (𝜑 → (𝐴m 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mpct
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7362 . . 3 (𝑥 = ∅ → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m ∅))
21breq1d 5114 . 2 (𝑥 = ∅ → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m ∅) ≼ ω))
3 oveq2 7362 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m 𝑦))
43breq1d 5114 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m 𝑦) ≼ ω))
5 oveq2 7362 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})))
65breq1d 5114 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
7 oveq2 7362 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m 𝐵))
87breq1d 5114 . 2 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m 𝐵) ≼ ω))
9 mpct.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ≼ ω)
10 ctex 8900 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
12 mapdm0 8777 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴m ∅) = {∅})
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴m ∅) = {∅})
14 snfi 8985 . . . . 5 {∅} ∈ Fin
15 fict 9586 . . . . 5 ({∅} ∈ Fin → {∅} ≼ ω)
1614, 15ax-mp 5 . . . 4 {∅} ≼ ω
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → {∅} ≼ ω)
1813, 17eqbrtrd 5126 . 2 (𝜑 → (𝐴m ∅) ≼ ω)
19 vex 3448 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → 𝑦 ∈ V)
21 vsnex 5385 . . . . . 6 {𝑧} ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → {𝑧} ∈ V)
2311ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
24 eldifn 4086 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐵𝑦) → ¬ 𝑧𝑦)
25 disjsn 4671 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
2624, 25sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐵𝑦) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
2726adantl 482 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
2827ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
29 mapunen 9087 . . . . 5 (((𝑦 ∈ V ∧ {𝑧} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})))
3020, 22, 23, 28, 29syl31anc 1373 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})))
31 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m 𝑦) ≼ ω)
32 vex 3448 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑧 ∈ V)
3411, 33mapsnend 8977 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴m {𝑧}) ≈ 𝐴)
35 endomtr 8949 . . . . . . 7 (((𝐴m {𝑧}) ≈ 𝐴𝐴 ≼ ω) → (𝐴m {𝑧}) ≼ ω)
3634, 9, 35syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴m {𝑧}) ≼ ω)
3736ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m {𝑧}) ≼ ω)
38 xpct 9949 . . . . 5 (((𝐴m 𝑦) ≼ ω ∧ (𝐴m {𝑧}) ≼ ω) → ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ≼ ω)
3931, 37, 38syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ≼ ω)
40 endomtr 8949 . . . 4 (((𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ∧ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ≼ ω) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
4130, 39, 40syl2anc 584 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
4241ex 413 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) → ((𝐴m 𝑦) ≼ ω → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
43 mpct.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
442, 4, 6, 8, 18, 42, 43findcard2d 9107 1 (𝜑 → (𝐴m 𝐵) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3444  cdif 3906  cun 3907  cin 3908  wss 3909  c0 4281  {csn 4585   class class class wbr 5104   × cxp 5630  (class class class)co 7354  ωcom 7799  m cmap 8762  cen 8877  cdom 8878  Fincfn 8880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-inf2 9574
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-map 8764  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-oi 9443  df-card 9872
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  44844  smfmullem4  45005
  Copyright terms: Public domain W3C validator