Theorem mpct 45195

Description: The exponentiation of a countable set to a finite set is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpct.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
mpct.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
mpct	⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mpct

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7395	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m ∅))
2	1	breq1d 5117	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m ∅) ≼ ω))
3		oveq2 7395	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m 𝑦))
4	3	breq1d 5117	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω))
5		oveq2 7395	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})))
6	5	breq1d 5117	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
7		oveq2 7395	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ↑m 𝑥) = (𝐴 ↑m 𝐵))
8	7	breq1d 5117	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ↑m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ω))
9		mpct.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
10		ctex 8935	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
12		mapdm0 8815	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
14		snfi 9014	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ Fin
15		fict 9606	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ Fin → {∅} ≼ ω)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {∅} ≼ ω
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {∅} ≼ ω)
18	13, 17	eqbrtrd 5129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m ∅) ≼ ω)
19		vex 3451	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → 𝑦 ∈ V)
21		vsnex 5389	. . . . . 6 ⊢ {𝑧} ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → {𝑧} ∈ V)
23	11	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
24		eldifn 4095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
25		disjsn 4675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
26	24, 25	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
27	26	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
28	27	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
29		mapunen 9110	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ V ∧ {𝑧} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})))
30	20, 22, 23, 28, 29	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})))
31		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω)
32		vex 3451	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 ∈ V
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ V)
34	11, 33	mapsnend 9007	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≈ 𝐴)
35		endomtr 8983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ↑m {𝑧}) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω)
36	34, 9, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω)
37	36	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω)
38		xpct 9969	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω ∧ (𝐴 ↑m {𝑧}) ≼ ω) → ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ≼ ω)
39	31, 37, 38	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ≼ ω)
40		endomtr 8983	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ∧ ((𝐴 ↑m 𝑦) × (𝐴 ↑m {𝑧})) ≼ ω) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
41	30, 39, 40	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
42	41	ex 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) → ((𝐴 ↑m 𝑦) ≼ ω → (𝐴 ↑m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
43		mpct.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
44	2, 4, 6, 8, 18, 42, 43	findcard2d 9130	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107   × cxp 5636  (class class class)co 7387  ωcom 7842   ↑_m cmap 8799   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916  Fincfn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-oi 9463  df-card 9892

This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  46631  smfmullem4  46792