Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mpct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpct 44200
Description: The exponentiation of a countable set to a finite set is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mpct.a (𝜑𝐴 ≼ ω)
mpct.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
mpct (𝜑 → (𝐴m 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mpct
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7421 . . 3 (𝑥 = ∅ → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m ∅))
21breq1d 5159 . 2 (𝑥 = ∅ → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m ∅) ≼ ω))
3 oveq2 7421 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m 𝑦))
43breq1d 5159 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m 𝑦) ≼ ω))
5 oveq2 7421 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})))
65breq1d 5159 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
7 oveq2 7421 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m 𝐵))
87breq1d 5159 . 2 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m 𝐵) ≼ ω))
9 mpct.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ≼ ω)
10 ctex 8963 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
12 mapdm0 8840 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴m ∅) = {∅})
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴m ∅) = {∅})
14 snfi 9048 . . . . 5 {∅} ∈ Fin
15 fict 9652 . . . . 5 ({∅} ∈ Fin → {∅} ≼ ω)
1614, 15ax-mp 5 . . . 4 {∅} ≼ ω
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → {∅} ≼ ω)
1813, 17eqbrtrd 5171 . 2 (𝜑 → (𝐴m ∅) ≼ ω)
19 vex 3476 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → 𝑦 ∈ V)
21 vsnex 5430 . . . . . 6 {𝑧} ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → {𝑧} ∈ V)
2311ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
24 eldifn 4128 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐵𝑦) → ¬ 𝑧𝑦)
25 disjsn 4716 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
2624, 25sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐵𝑦) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
2726adantl 480 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
2827ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
29 mapunen 9150 . . . . 5 (((𝑦 ∈ V ∧ {𝑧} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})))
3020, 22, 23, 28, 29syl31anc 1371 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})))
31 simpr 483 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m 𝑦) ≼ ω)
32 vex 3476 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑧 ∈ V)
3411, 33mapsnend 9040 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴m {𝑧}) ≈ 𝐴)
35 endomtr 9012 . . . . . . 7 (((𝐴m {𝑧}) ≈ 𝐴𝐴 ≼ ω) → (𝐴m {𝑧}) ≼ ω)
3634, 9, 35syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴m {𝑧}) ≼ ω)
3736ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m {𝑧}) ≼ ω)
38 xpct 10015 . . . . 5 (((𝐴m 𝑦) ≼ ω ∧ (𝐴m {𝑧}) ≼ ω) → ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ≼ ω)
3931, 37, 38syl2anc 582 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ≼ ω)
40 endomtr 9012 . . . 4 (((𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ∧ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ≼ ω) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
4130, 39, 40syl2anc 582 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
4241ex 411 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) → ((𝐴m 𝑦) ≼ ω → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
43 mpct.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
442, 4, 6, 8, 18, 42, 43findcard2d 9170 1 (𝜑 → (𝐴m 𝐵) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  Vcvv 3472  cdif 3946  cun 3947  cin 3948  wss 3949  c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   × cxp 5675  (class class class)co 7413  ωcom 7859  m cmap 8824  cen 8940  cdom 8941  Fincfn 8943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-oi 9509  df-card 9938
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  45649  smfmullem4  45810
  Copyright terms: Public domain W3C validator