Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mpct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpct 41825
 Description: The exponentiation of a countable set to a finite set is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mpct.a (𝜑𝐴 ≼ ω)
mpct.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
mpct (𝜑 → (𝐴m 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mpct
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7143 . . 3 (𝑥 = ∅ → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m ∅))
21breq1d 5040 . 2 (𝑥 = ∅ → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m ∅) ≼ ω))
3 oveq2 7143 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m 𝑦))
43breq1d 5040 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m 𝑦) ≼ ω))
5 oveq2 7143 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})))
65breq1d 5040 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
7 oveq2 7143 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴m 𝑥) = (𝐴m 𝐵))
87breq1d 5040 . 2 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴m 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴m 𝐵) ≼ ω))
9 mpct.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ≼ ω)
10 ctex 8507 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
12 mapdm0 8404 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴m ∅) = {∅})
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴m ∅) = {∅})
14 snfi 8577 . . . . 5 {∅} ∈ Fin
15 fict 9100 . . . . 5 ({∅} ∈ Fin → {∅} ≼ ω)
1614, 15ax-mp 5 . . . 4 {∅} ≼ ω
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → {∅} ≼ ω)
1813, 17eqbrtrd 5052 . 2 (𝜑 → (𝐴m ∅) ≼ ω)
19 vex 3444 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → 𝑦 ∈ V)
21 snex 5297 . . . . . 6 {𝑧} ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → {𝑧} ∈ V)
2311ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
24 eldifn 4055 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐵𝑦) → ¬ 𝑧𝑦)
25 disjsn 4607 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
2624, 25sylibr 237 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐵𝑦) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
2726adantl 485 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
2827ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
29 mapunen 8670 . . . . 5 (((𝑦 ∈ V ∧ {𝑧} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})))
3020, 22, 23, 28, 29syl31anc 1370 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})))
31 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m 𝑦) ≼ ω)
32 vex 3444 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑧 ∈ V)
3411, 33mapsnend 8571 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴m {𝑧}) ≈ 𝐴)
35 endomtr 8550 . . . . . . 7 (((𝐴m {𝑧}) ≈ 𝐴𝐴 ≼ ω) → (𝐴m {𝑧}) ≼ ω)
3634, 9, 35syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴m {𝑧}) ≼ ω)
3736ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m {𝑧}) ≼ ω)
38 xpct 9427 . . . . 5 (((𝐴m 𝑦) ≼ ω ∧ (𝐴m {𝑧}) ≼ ω) → ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ≼ ω)
3931, 37, 38syl2anc 587 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ≼ ω)
40 endomtr 8550 . . . 4 (((𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ∧ ((𝐴m 𝑦) × (𝐴m {𝑧})) ≼ ω) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
4130, 39, 40syl2anc 587 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴m 𝑦) ≼ ω) → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
4241ex 416 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) → ((𝐴m 𝑦) ≼ ω → (𝐴m (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
43 mpct.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
442, 4, 6, 8, 18, 42, 43findcard2d 8744 1 (𝜑 → (𝐴m 𝐵) ≼ ω)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525   class class class wbr 5030   × cxp 5517  (class class class)co 7135  ωcom 7560   ↑m cmap 8389   ≈ cen 8489   ≼ cdom 8490  Fincfn 8492 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-oi 8958  df-card 9352 This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  43267  smfmullem4  43421
 Copyright terms: Public domain W3C validator