Theorem ehl0base 25314

Description: The base of the Euclidean space of dimension 0 consists only of one element, the empty set. (Contributed by AV, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
ehl0base.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘0)

Assertion

Ref	Expression
ehl0base	⊢ (Base‘𝐸) = {∅}

Proof of Theorem ehl0base

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12399	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		ehl0base.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘0)
3	2	ehlbase 25313	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...0)) = (Base‘𝐸))
4	3	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m (1...0)))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m (1...0))
6		fz10 13448	. . 3 ⊢ (1...0) = ∅
7	6	oveq2i 7360	. 2 ⊢ (ℝ ↑m (1...0)) = (ℝ ↑m ∅)
8		reex 11100	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
9		mapdm0 8769	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ ↑m ∅) = {∅}
11	5, 7, 10	3eqtri 2756	1 ⊢ (Base‘𝐸) = {∅}

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ∅c0 4284  {csn 4577  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010  ℕ₀cn0 12384  ...cfz 13410  Basecbs 17120  𝔼_hilcehl 25282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-subg 19002  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-field 20617  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-cnfld 21262  df-refld 21512  df-dsmm 21639  df-frlm 21654  df-tng 24470  df-tcph 25067  df-rrx 25283  df-ehl 25284

This theorem is referenced by:  ehl0  25315