Theorem ehl0base 24663

Description: The base of the Euclidean space of dimension 0 consists only of one element, the empty set. (Contributed by AV, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
ehl0base.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘0)

Assertion

Ref	Expression
ehl0base	⊢ (Base‘𝐸) = {∅}

Proof of Theorem ehl0base

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12328	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		ehl0base.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘0)
3	2	ehlbase 24662	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...0)) = (Base‘𝐸))
4	3	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m (1...0)))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m (1...0))
6		fz10 13357	. . 3 ⊢ (1...0) = ∅
7	6	oveq2i 7328	. 2 ⊢ (ℝ ↑m (1...0)) = (ℝ ↑m ∅)
8		reex 11042	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
9		mapdm0 8680	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ ↑m ∅) = {∅}
11	5, 7, 10	3eqtri 2769	1 ⊢ (Base‘𝐸) = {∅}

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  ∅c0 4267  {csn 4571  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317   ↑_m cmap 8665  ℝcr 10950  0cc0 10951  1c1 10952  ℕ₀cn0 12313  ...cfz 13319  Basecbs 16989  𝔼_hilcehl 24631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029  ax-addf 11030  ax-mulf 11031

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-supp 8027  df-tpos 8091  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-er 8548  df-map 8667  df-ixp 8736  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-fsupp 9206  df-sup 9278  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-z 12400  df-dec 12518  df-uz 12663  df-rp 12811  df-fz 13320  df-seq 13802  df-exp 13863  df-cj 14889  df-re 14890  df-im 14891  df-sqrt 15025  df-abs 15026  df-struct 16925  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-starv 17054  df-sca 17055  df-vsca 17056  df-ip 17057  df-tset 17058  df-ple 17059  df-ds 17061  df-unif 17062  df-hom 17063  df-cco 17064  df-0g 17229  df-prds 17235  df-pws 17237  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-grp 18656  df-minusg 18657  df-subg 18828  df-cmn 19463  df-mgp 19796  df-ur 19813  df-ring 19860  df-cring 19861  df-oppr 19937  df-dvdsr 19958  df-unit 19959  df-invr 19989  df-dvr 20000  df-drng 20072  df-field 20073  df-subrg 20104  df-sra 20517  df-rgmod 20518  df-cnfld 20681  df-refld 20893  df-dsmm 21022  df-frlm 21037  df-tng 23823  df-tcph 24416  df-rrx 24632  df-ehl 24633

This theorem is referenced by:  ehl0  24664