Theorem ehl0base 25643

Description: The base of the Euclidean space of dimension 0 consists only of one element, the empty set. (Contributed by AV, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
ehl0base.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘0)

Assertion

Ref	Expression
ehl0base	⊢ (Base‘𝐸) = {∅}

Proof of Theorem ehl0base

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12544	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		ehl0base.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘0)
3	2	ehlbase 25642	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...0)) = (Base‘𝐸))
4	3	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m (1...0)))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m (1...0))
6		fz10 13599	. . 3 ⊢ (1...0) = ∅
7	6	oveq2i 7427	. 2 ⊢ (ℝ ↑m (1...0)) = (ℝ ↑m ∅)
8		reex 11216	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
9		mapdm0 8844	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℝ ↑m ∅) = {∅})
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ ↑m ∅) = {∅}
11	5, 7, 10	3eqtri 2789	1 ⊢ (Base‘𝐸) = {∅}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ∅c0 4282  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126  ℕ₀cn0 12529  ...cfz 13561  Basecbs 17303  𝔼_hilcehl 25611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-rp 13043  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-prds 17534  df-pws 17536  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-subg 19245  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-cring 20374  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-dvr 20541  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-drng 20891  df-field 20892  df-sra 21356  df-rgmod 21357  df-cnfld 21585  df-refld 21817  df-dsmm 21944  df-frlm 21959  df-tng 24809  df-tcph 25396  df-rrx 25612  df-ehl 25613

This theorem is used by:  ehl0  25644