Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnhoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnhoi 44745
Description: The Lebesgue outer measure of a multidimensional half-open interval is its dimensional volume (the product of its length in each dimension, when the dimension is nonzero). Proposition 115D (b) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnhoi.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
ovnhoi.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
ovnhoi.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
ovnhoi.c 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
ovnhoi.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
Assertion
Ref Expression
ovnhoi (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝑋,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐼(π‘₯,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘₯,π‘˜,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem ovnhoi
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 𝑛 𝑧 𝑦 β„Ž 𝑀 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovnhoi.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 ovnhoi.c . . . . 5 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
32a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
4 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘˜πœ‘
5 ovnhoi.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
65ffvelcdmda 7031 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7 ovnhoi.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
87ffvelcdmda 7031 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
98rexrd 11163 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
104, 6, 9hoissrrn2 44720 . . . 4 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
113, 10eqsstrd 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
121, 11ovnxrcl 44711 . 2 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ) ∈ ℝ*)
13 icossxr 13303 . . 3 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
14 ovnhoi.l . . . 4 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
1514, 1, 5, 7hoidmvcl 44724 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ∈ (0[,)+∞))
1613, 15sselid 3940 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ∈ ℝ*)
17 fveq2 6839 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ (voln*β€˜π‘‹) = (voln*β€˜βˆ…))
1817fveq1d 6841 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = ((voln*β€˜βˆ…)β€˜πΌ))
1918adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = ((voln*β€˜βˆ…)β€˜πΌ))
20 ixpeq1 8804 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = βˆ… β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
21 ixp0x 8822 . . . . . . . . . . . 12 Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = {βˆ…}
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = βˆ… β†’ Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = {βˆ…})
2320, 22eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = {βˆ…})
2423adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = {βˆ…})
252a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
26 reex 11100 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
27 mapdm0 8738 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ∈ V β†’ (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…})
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…}
2928a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…})
3024, 25, 293eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐼 = (ℝ ↑m βˆ…))
31 eqimss 3998 . . . . . . . 8 (𝐼 = (ℝ ↑m βˆ…) β†’ 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m βˆ…))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m βˆ…))
3332ovn0val 44692 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜βˆ…)β€˜πΌ) = 0)
3419, 33eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = 0)
35 0red 11116 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 0 ∈ ℝ)
3634, 35eqeltrd 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ) ∈ ℝ)
37 eqidd 2738 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 0 = 0)
38 fveq2 6839 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ (πΏβ€˜π‘‹) = (πΏβ€˜βˆ…))
3938oveqd 7368 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = (𝐴(πΏβ€˜βˆ…)𝐡))
4039adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = (𝐴(πΏβ€˜βˆ…)𝐡))
415adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
42 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 = βˆ…)
4342feq2d 6651 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐴:π‘‹βŸΆβ„ ↔ 𝐴:βˆ…βŸΆβ„))
4441, 43mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐴:βˆ…βŸΆβ„)
457adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
4642feq2d 6651 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐡:π‘‹βŸΆβ„ ↔ 𝐡:βˆ…βŸΆβ„))
4745, 46mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐡:βˆ…βŸΆβ„)
4814, 44, 47hoidmv0val 44725 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐴(πΏβ€˜βˆ…)𝐡) = 0)
4940, 48eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = 0)
5037, 34, 493eqtr4d 2787 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
5136, 50eqled 11216 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ) ≀ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
52 eqid 2737 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))}
53 eqeq1 2741 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 β†’ (𝑛 = 1 ↔ 𝑗 = 1))
5453ifbid 4507 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 β†’ if(𝑛 = 1, ⟨(π΄β€˜π‘˜), (π΅β€˜π‘˜)⟩, ⟨0, 0⟩) = if(𝑗 = 1, ⟨(π΄β€˜π‘˜), (π΅β€˜π‘˜)⟩, ⟨0, 0⟩))
5554mpteq2dv 5205 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ if(𝑛 = 1, ⟨(π΄β€˜π‘˜), (π΅β€˜π‘˜)⟩, ⟨0, 0⟩)) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ if(𝑗 = 1, ⟨(π΄β€˜π‘˜), (π΅β€˜π‘˜)⟩, ⟨0, 0⟩)))
5655cbvmptv 5216 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ if(𝑛 = 1, ⟨(π΄β€˜π‘˜), (π΅β€˜π‘˜)⟩, ⟨0, 0⟩))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ if(𝑗 = 1, ⟨(π΄β€˜π‘˜), (π΅β€˜π‘˜)⟩, ⟨0, 0⟩)))
571, 5, 7, 2, 52, 56ovnhoilem1 44743 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ) ≀ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
5857adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ) ≀ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
591adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
60 neqne 2949 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
6160adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
625adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
637adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
6414, 59, 61, 62, 63hoidmvn0val 44726 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
6564eqcomd 2743 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
6658, 65breqtrd 5129 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ) ≀ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
6751, 66pm2.61dan 811 . 2 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ) ≀ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
6849, 35eqeltrd 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ∈ ℝ)
6950eqcomd 2743 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ))
7068, 69eqled 11216 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ))
71 fveq1 6838 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = (π‘β€˜π‘˜))
7271fvoveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
7372prodeq2ad 43734 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑐 β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
7473ifeq2d 4504 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑐 β†’ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))) = if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))
75 fveq1 6838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑑 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘‘β€˜π‘˜))
7675oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = ((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘‘β€˜π‘˜)))
7776fveq2d 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 β†’ (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘‘β€˜π‘˜))))
7877prodeq2ad 43734 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑑 β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘‘β€˜π‘˜))))
7978ifeq2d 4504 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑑 β†’ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))) = if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘‘β€˜π‘˜)))))
8074, 79cbvmpov 7446 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))) = (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘‘β€˜π‘˜)))))
8180a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))) = (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘‘β€˜π‘˜))))))
82 oveq2 7359 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (ℝ ↑m π‘₯) = (ℝ ↑m 𝑦))
83 eqeq1 2741 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ 𝑦 = βˆ…))
84 prodeq1 15752 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘‘β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘‘β€˜π‘˜))))
8583, 84ifbieq2d 4510 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘‘β€˜π‘˜)))) = if(𝑦 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘‘β€˜π‘˜)))))
8682, 82, 85mpoeq123dv 7426 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑑 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘‘β€˜π‘˜))))) = (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑦), 𝑑 ∈ (ℝ ↑m 𝑦) ↦ if(𝑦 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘‘β€˜π‘˜))))))
8781, 86eqtrd 2777 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))) = (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑦), 𝑑 ∈ (ℝ ↑m 𝑦) ↦ if(𝑦 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘‘β€˜π‘˜))))))
8887cbvmptv 5216 . . . . 5 (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))) = (𝑦 ∈ Fin ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑦), 𝑑 ∈ (ℝ ↑m 𝑦) ↦ if(𝑦 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘‘β€˜π‘˜))))))
8914, 88eqtri 2765 . . . 4 𝐿 = (𝑦 ∈ Fin ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑦), 𝑑 ∈ (ℝ ↑m 𝑦) ↦ if(𝑦 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 (volβ€˜((π‘β€˜π‘˜)[,)(π‘‘β€˜π‘˜))))))
90 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑀 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))) ↔ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))))))
9190anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑀 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) ↔ (𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))))
9291rexbidv 3173 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑧 β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑀 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) ↔ βˆƒβ„Ž ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))))
93 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β„Ž = 𝑖 ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ β„Ž = 𝑖)
9493fveq1d 6841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„Ž = 𝑖 ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β„Žβ€˜π‘—) = (π‘–β€˜π‘—))
9594coeq2d 5816 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„Ž = 𝑖 ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—)) = ([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—)))
9695fveq1d 6841 . . . . . . . . . . . 12 ((β„Ž = 𝑖 ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
9796ixpeq2dv 8809 . . . . . . . . . . 11 ((β„Ž = 𝑖 ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
9897iuneq2dv 4976 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = 𝑖 β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
9998sseq2d 3974 . . . . . . . . 9 (β„Ž = 𝑖 β†’ (𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) ↔ 𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
100 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β„Ž = 𝑖 ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ β„Ž = 𝑖)
101100fveq1d 6841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„Ž = 𝑖 ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (β„Žβ€˜π‘—) = (π‘–β€˜π‘—))
102101coeq2d 5816 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β„Ž = 𝑖 ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—)) = ([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—)))
103102fveq1d 6841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„Ž = 𝑖 ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
104103fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„Ž = 𝑖 ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)) = (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
105104prodeq2dv 15766 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑖 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
106105mpteq2dv 5205 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = 𝑖 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))
107106fveq2d 6843 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = 𝑖 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))
108107eqeq2d 2748 . . . . . . . . 9 (β„Ž = 𝑖 β†’ (𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))) ↔ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))))
10999, 108anbi12d 631 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝑖 β†’ ((𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) ↔ (𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))))
110109cbvrexvw 3224 . . . . . . 7 (βˆƒβ„Ž ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))))
111110a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑧 β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))))
11292, 111bitrd 278 . . . . 5 (𝑀 = 𝑧 β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑀 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))))
113112cbvrabv 3415 . . . 4 {𝑀 ∈ ℝ* ∣ βˆƒβ„Ž ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑀 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))}
114 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 = 𝑛 ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ 𝑗 = 𝑛)
115114fveq2d 6843 . . . . . . . . 9 ((𝑗 = 𝑛 ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ (π‘–β€˜π‘—) = (π‘–β€˜π‘›))
116115fveq1d 6841 . . . . . . . 8 ((𝑗 = 𝑛 ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™) = ((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))
117116fveq2d 6843 . . . . . . 7 ((𝑗 = 𝑛 ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)) = (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))
118117mpteq2dva 5203 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑛 β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™))) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
119118cbvmptv 5216 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
120119mpteq2i 5208 . . . 4 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ↦ (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™))))) = (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))))
121116fveq2d 6843 . . . . . . 7 ((𝑗 = 𝑛 ∧ 𝑙 ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)) = (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))
122121mpteq2dva 5203 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑛 β†’ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™))) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
123122cbvmptv 5216 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™))))
124123mpteq2i 5208 . . . 4 (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ↦ (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘—)β€˜π‘™))))) = (𝑖 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘–β€˜π‘›)β€˜π‘™)))))
12559, 61, 62, 63, 2, 89, 113, 120, 124ovnhoilem2 44744 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ))
12670, 125pm2.61dan 811 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ))
12712, 16, 67, 126xrletrid 13028 1 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  {crab 3405  Vcvv 3443   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280  ifcif 4484  {csn 4584  βŸ¨cop 4590  βˆͺ ciun 4952   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Γ— cxp 5629   ∘ ccom 5635  βŸΆwf 6489  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   ∈ cmpo 7353  1st c1st 7911  2nd c2nd 7912   ↑m cmap 8723  Xcixp 8793  Fincfn 8841  β„cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010  +∞cpnf 11144  β„*cxr 11146   ≀ cle 11148  β„•cn 12111  [,)cico 13220  βˆcprod 15748  volcvol 24779  Ξ£^csumge0 44504  voln*covoln 44678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-dju 9795  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-rlim 15331  df-sum 15531  df-prod 15749  df-rest 17264  df-topgen 17285  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-top 22195  df-topon 22212  df-bases 22248  df-cmp 22690  df-ovol 24780  df-vol 24781  df-sumge0 44505  df-ovoln 44679
This theorem is referenced by:  vonhoi  44809
  Copyright terms: Public domain W3C validator