MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvmot Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvmot 28059
Description: The converse of a motion is a motion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismot.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
motgrp.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
motco.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
cnvmot (πœ‘ β†’ ◑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem cnvmot
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismot.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 ismot.m . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 motgrp.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
4 motco.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
51, 2, 3, 4motf1o 28056 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃)
6 f1ocnv 6844 . . 3 (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 β†’ ◑𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃)
75, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃)
83adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
9 f1of 6832 . . . . . . . 8 (◑𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 β†’ ◑𝐹:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
107, 9syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ ◑𝐹:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
12 simprl 767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
1311, 12ffvelcdmd 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ 𝑃)
14 simprr 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
1511, 14ffvelcdmd 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ 𝑃)
164adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
171, 2, 8, 13, 15, 16motcgr 28054 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆ’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘))) = ((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (β—‘πΉβ€˜π‘)))
18 f1ocnvfv2 7277 . . . . . 6 ((𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) = π‘Ž)
195, 12, 18syl2an2r 681 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) = π‘Ž)
20 f1ocnvfv2 7277 . . . . . 6 ((𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)) = 𝑏)
215, 14, 20syl2an2r 681 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)) = 𝑏)
2219, 21oveq12d 7429 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆ’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘))) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
2317, 22eqtr3d 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (β—‘πΉβ€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
2423ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 ((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (β—‘πΉβ€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
251, 2ismot 28053 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (◑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (◑𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 ((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (β—‘πΉβ€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))))
263, 25syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (◑𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 ((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (β—‘πΉβ€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))))
277, 24, 26mpbir2and 709 1 (πœ‘ β†’ ◑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  β—‘ccnv 5674  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  distcds 17210  Ismtcismt 28050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-ismt 28051
This theorem is referenced by:  motgrp  28061
  Copyright terms: Public domain W3C validator