Theorem cnvmot 28468

Description: The converse of a motion is a motion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motco.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Assertion

Ref	Expression
cnvmot	⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem cnvmot

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismot.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismot.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		motgrp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		motco.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
5	1, 2, 3, 4	motf1o 28465	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃)
6		f1ocnv 6812	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 → ◡𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃)
8	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
9		f1of 6800	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 → ◡𝐹:𝑃⟶𝑃)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝑃⟶𝑃)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ◡𝐹:𝑃⟶𝑃)
12		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
13	11, 12	ffvelcdmd 7057	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → (◡𝐹‘𝑎) ∈ 𝑃)
14		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝑏 ∈ 𝑃)
15	11, 14	ffvelcdmd 7057	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → (◡𝐹‘𝑏) ∈ 𝑃)
16	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
17	1, 2, 8, 13, 15, 16	motcgr 28463	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑎)) − (𝐹‘(◡𝐹‘𝑏))) = ((◡𝐹‘𝑎) − (◡𝐹‘𝑏)))
18		f1ocnvfv2 7252	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑎)) = 𝑎)
19	5, 12, 18	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑎)) = 𝑎)
20		f1ocnvfv2 7252	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑏)) = 𝑏)
21	5, 14, 20	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑏)) = 𝑏)
22	19, 21	oveq12d 7405	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑎)) − (𝐹‘(◡𝐹‘𝑏))) = (𝑎 − 𝑏))
23	17, 22	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ((◡𝐹‘𝑎) − (◡𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
24	23	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((◡𝐹‘𝑎) − (◡𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
25	1, 2	ismot 28462	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (◡𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (◡𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((◡𝐹‘𝑎) − (◡𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
26	3, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (◡𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((◡𝐹‘𝑎) − (◡𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
27	7, 24, 26	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ^◡ccnv 5637  ⟶wf 6507  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  distcds 17229  Ismtcismt 28459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-ismt 28460

This theorem is referenced by:  motgrp  28470