Theorem mrcssid 17674

Description: The closure of a set is a superset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrcfval.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrcssid	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝐹‘𝑈))

Proof of Theorem mrcssid

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4932	. 2 ⊢ 𝑈 ⊆ ∩ {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑠}
2		mrcfval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
3	2	mrcval 17667	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑈) = ∩ {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑠})
4	1, 3	sseqtrrid 3981	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝐹‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416   ⊆ wss 3906  ∩ cint 4913  ‘cfv 6538  Moorecmre 17635  mrClscmrc 17636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-mre 17639  df-mrc 17640

This theorem is referenced by:  mrcidb2  17675  mrcuni  17678  mrcssidd  17682  mrelatlub  18619  gsumwspan  18906  symggen  19541  mrccss  21825  ismrcd2  43413  ismrc  43415  mrefg2  43421