Theorem mrcssid 17326

Description: The closure of a set is a superset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrcfval.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrcssid	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝐹‘𝑈))

Proof of Theorem mrcssid

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4897	. 2 ⊢ 𝑈 ⊆ ∩ {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑠}
2		mrcfval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
3	2	mrcval 17319	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑈) = ∩ {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑠})
4	1, 3	sseqtrrid 3974	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝐹‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   ⊆ wss 3887  ∩ cint 4879  ‘cfv 6433  Moorecmre 17291  mrClscmrc 17292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-mre 17295  df-mrc 17296

This theorem is referenced by:  mrcidb2  17327  mrcuni  17330  mrcssidd  17334  mrelatlub  18280  gsumwspan  18485  symggen  19078  mrccss  20899  ismrcd2  40521  ismrc  40523  mrefg2  40529