Theorem mrcssid 17540

Description: The closure of a set is a superset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrcfval.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrcssid	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝐹‘𝑈))

Proof of Theorem mrcssid

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4921	. 2 ⊢ 𝑈 ⊆ ∩ {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑠}
2		mrcfval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
3	2	mrcval 17533	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑈) = ∩ {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑠})
4	1, 3	sseqtrrid 3977	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝐹‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   ⊆ wss 3901  ∩ cint 4902  ‘cfv 6492  Moorecmre 17501  mrClscmrc 17502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-mre 17505  df-mrc 17506

This theorem is referenced by:  mrcidb2  17541  mrcuni  17544  mrcssidd  17548  mrelatlub  18485  gsumwspan  18771  symggen  19399  mrccss  21649  ismrcd2  42941  ismrc  42943  mrefg2  42949