Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm 24601
 Description: Fermat's theorem on stationary points. A point 𝑈 which is a local maximum has derivative equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
Assertion
Ref Expression
dvferm (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) = 0)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem dvferm
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2 dvferm.b . . 3 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
3 dvferm.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4 dvferm.s . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
5 dvferm.d . . 3 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
6 ne0i 4250 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
7 ndmioo 12756 . . . . . . . 8 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
87necon1ai 3014 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
93, 6, 83syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
109simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
11 ioossre 12789 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
1211, 3sseldi 3913 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
1312rexrd 10683 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
14 eliooord 12787 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
153, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
1615simpld 498 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝑈)
1710, 13, 16xrltled 12534 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑈)
18 iooss1 12764 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑈) → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1910, 17, 18syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
20 dvferm.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
21 ssralv 3981 . . . 4 ((𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈)))
2219, 20, 21sylc 65 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
231, 2, 3, 4, 5, 22dvferm1 24598 . 2 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ≤ 0)
249simprd 499 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2515simprd 499 . . . . . 6 (𝜑𝑈 < 𝐵)
2613, 24, 25xrltled 12534 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐵)
27 iooss2 12765 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑈𝐵) → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2824, 26, 27syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
29 ssralv 3981 . . . 4 ((𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈)))
3028, 20, 29sylc 65 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
311, 2, 3, 4, 5, 30dvferm2 24600 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
32 dvfre 24564 . . . . 5 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
331, 2, 32syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
3433, 5ffvelrnd 6830 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
35 0re 10635 . . 3 0 ∈ ℝ
36 letri3 10718 . . 3 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) = 0 ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
3734, 35, 36sylancl 589 . 2 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) = 0 ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
3823, 31, 37mpbir2and 712 1 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5031  dom cdm 5520  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℝcr 10528  0cc0 10529  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668  (,)cioo 12729   D cdv 24476 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fi 8862  df-sup 8893  df-inf 8894  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-ioo 12733  df-icc 12736  df-fz 12889  df-seq 13368  df-exp 13429  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-rest 16691  df-topn 16692  df-topgen 16712  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-cld 21634  df-ntr 21635  df-cls 21636  df-nei 21713  df-lp 21751  df-perf 21752  df-cn 21842  df-cnp 21843  df-haus 21930  df-fil 22461  df-fm 22553  df-flim 22554  df-flf 22555  df-xms 22937  df-ms 22938  df-cncf 23493  df-limc 24479  df-dv 24480 This theorem is referenced by:  rollelem  24602  dvivthlem1  24621
 Copyright terms: Public domain W3C validator