MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioombl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioombl 25507
Description: An open real interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ioombl (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol

Proof of Theorem ioombl
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snunioo 13488 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
213expa 1116 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
32adantrr 716 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
4 lbico1 13411 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
543expa 1116 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
65adantrr 716 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
76snssd 4813 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → {𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵))
8 iccid 13402 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
98ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
109ineq1d 4211 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,]𝐴) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐴} ∩ (𝐴(,)𝐵)))
11 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 df-icc 13364 . . . . . . . . . . 11 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
14 df-ioo 13361 . . . . . . . . . . 11 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
15 xrltnle 11312 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝐴))
1613, 14, 15ixxdisj 13372 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐴) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
1711, 11, 12, 16syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,]𝐴) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
1810, 17eqtr3d 2770 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ({𝐴} ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
19 uneqdifeq 4493 . . . . . . . 8 (({𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵) ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) → (({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵)))
207, 18, 19syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵)))
213, 20mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵))
22 mnfxr 11302 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
24 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → -∞ < 𝐴)
25 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 < 𝐵)
26 xrre2 13182 . . . . . . . . 9 (((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2723, 11, 12, 24, 25, 26syl32anc 1376 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
28 icombl 25506 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
2927, 12, 28syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
3027snssd 4813 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → {𝐴} ⊆ ℝ)
31 ovolsn 25437 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐴}) = 0)
3227, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (vol*‘{𝐴}) = 0)
33 nulmbl 25477 . . . . . . . 8 (({𝐴} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴}) = 0) → {𝐴} ∈ dom vol)
3430, 32, 33syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → {𝐴} ∈ dom vol)
35 difmbl 25485 . . . . . . 7 (((𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐴} ∈ dom vol) → ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) ∈ dom vol)
3629, 34, 35syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) ∈ dom vol)
3721, 36eqeltrrd 2830 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
3837expr 456 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ < 𝐴 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol))
39 uncom 4152 . . . . . . . . 9 ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞))
4022a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
41 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
42 pnfxr 11299 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → +∞ ∈ ℝ*)
44 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
45 mnfle 13147 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -∞ ≤ 𝐴)
47 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
4840, 44, 41, 46, 47xrlelttrd 13172 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -∞ < 𝐵)
49 pnfge 13143 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
5041, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
51 df-ico 13363 . . . . . . . . . . 11 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
52 xrlenlt 11310 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
53 xrltletr 13169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵𝐵 ≤ +∞) → 𝑤 < +∞))
54 xrltletr 13169 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐵𝐵𝑤) → -∞ < 𝑤))
5514, 51, 52, 14, 53, 54ixxun 13373 . . . . . . . . . 10 (((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐵𝐵 ≤ +∞)) → ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
5640, 41, 43, 48, 50, 55syl32anc 1376 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
5739, 56eqtrid 2780 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)+∞))
58 ioomax 13432 . . . . . . . 8 (-∞(,)+∞) = ℝ
5957, 58eqtrdi 2784 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ℝ)
60 ssun1 4172 . . . . . . . . 9 (𝐵[,)+∞) ⊆ ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵))
6160, 59sseqtrid 4032 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
62 incom 4201 . . . . . . . . 9 ((𝐵[,)+∞) ∩ (-∞(,)𝐵)) = ((-∞(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞))
6314, 51, 52ixxdisj 13372 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
6440, 41, 43, 63syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((-∞(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
6562, 64eqtrid 2780 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∩ (-∞(,)𝐵)) = ∅)
66 uneqdifeq 4493 . . . . . . . 8 (((𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ((𝐵[,)+∞) ∩ (-∞(,)𝐵)) = ∅) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)𝐵)))
6761, 65, 66syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)𝐵)))
6859, 67mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)𝐵))
69 rembl 25482 . . . . . . 7 ℝ ∈ dom vol
70 xrleloe 13156 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
7141, 42, 70sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
7250, 71mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞))
73 xrre2 13182 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7473expr 456 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
7542, 74mp3anl3 1454 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
7675orim1d 964 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)))
7772, 76mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
78 icombl1 25505 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
79 oveq1 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = (+∞[,)+∞))
80 pnfge 13143 . . . . . . . . . . . . 13 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
8142, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ≤ +∞
82 ico0 13403 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞))
8342, 42, 82mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞)
8481, 83mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 (+∞[,)+∞) = ∅
8579, 84eqtrdi 2784 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = ∅)
86 0mbl 25481 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ dom vol
8785, 86eqeltrdi 2837 . . . . . . . . 9 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
8878, 87jaoi 856 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
8977, 88syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
90 difmbl 25485 . . . . . . 7 ((ℝ ∈ dom vol ∧ (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol) → (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
9169, 89, 90sylancr 586 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
9268, 91eqeltrrd 2830 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞(,)𝐵) ∈ dom vol)
93 oveq1 7427 . . . . . 6 (-∞ = 𝐴 → (-∞(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐵))
9493eleq1d 2814 . . . . 5 (-∞ = 𝐴 → ((-∞(,)𝐵) ∈ dom vol ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol))
9592, 94syl5ibcom 244 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ = 𝐴 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol))
96 xrleloe 13156 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
9722, 44, 96sylancr 586 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
9846, 97mpbid 231 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴))
9938, 95, 98mpjaod 859 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
100 ioo0 13382 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
101 xrlenlt 11310 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
102101ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
103100, 102bitrd 279 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
104103biimpar 477 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
105104, 86eqeltrdi 2837 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
10699, 105pm2.61dan 812 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
107 ndmioo 13384 . . 3 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
108107, 86eqeltrdi 2837 . 2 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
109106, 108pm2.61i 182 1 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  cfv 6548  (class class class)co 7420  cr 11138  0cc0 11139  +∞cpnf 11276  -∞cmnf 11277  *cxr 11278   < clt 11279  cle 11280  (,)cioo 13357  [,)cico 13359  [,]cicc 13360  vol*covol 25404  volcvol 25405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xadd 13126  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-xmet 21272  df-met 21273  df-ovol 25406  df-vol 25407
This theorem is referenced by:  iccmbl  25508  ovolioo  25510  volioo  25511  ioovolcl  25512  uniioovol  25521  uniioombllem4  25528  uniioombllem5  25529  opnmblALT  25545  mbfid  25577  ditgcl  25800  ditgswap  25801  ditgsplitlem  25802  ftc1lem1  25983  ftc1lem2  25984  ftc1a  25985  ftc1lem4  25987  ftc2  25992  ftc2ditglem  25993  itgsubstlem  25996  itgpowd  25998  ftc2re  34230  fdvposlt  34231  fdvposle  34233  itgexpif  34238  circlemeth  34272  itg2gt0cn  37148  ftc1cnnclem  37164  ftc1anclem7  37172  ftc1anclem8  37173  ftc1anc  37174  ftc2nc  37175  areacirc  37186  lcmineqlem10  41509  lcmineqlem12  41511  iocmbl  42641  cnioobibld  42642  lhe4.4ex1a  43766  itgsin0pilem1  45338  iblioosinexp  45341  itgsinexplem1  45342  itgsinexp  45343  itgcoscmulx  45357  volioc  45360  itgsincmulx  45362  iblcncfioo  45366  itgiccshift  45368  itgperiod  45369  itgsbtaddcnst  45370  volico  45371  volioof  45375  wallispilem2  45454  dirkeritg  45490  fourierdlem16  45511  fourierdlem21  45516  fourierdlem22  45517  fourierdlem39  45534  fourierdlem73  45567  fourierdlem83  45577  fourierdlem103  45597  fourierdlem104  45598  fourierdlem111  45605  fourierdlem112  45606  sqwvfoura  45616  sqwvfourb  45617  etransclem18  45640  etransclem23  45645  ovolval4lem1  46037  ovolval5lem1  46040
  Copyright terms: Public domain W3C validator