MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioombl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioombl 24932
Description: An open real interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ioombl (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol

Proof of Theorem ioombl
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snunioo 13396 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
213expa 1119 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
32adantrr 716 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
4 lbico1 13319 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
543expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
65adantrr 716 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
76snssd 4770 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → {𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵))
8 iccid 13310 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
98ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
109ineq1d 4172 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,]𝐴) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐴} ∩ (𝐴(,)𝐵)))
11 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 df-icc 13272 . . . . . . . . . . 11 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
14 df-ioo 13269 . . . . . . . . . . 11 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
15 xrltnle 11223 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝐴))
1613, 14, 15ixxdisj 13280 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐴) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
1711, 11, 12, 16syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,]𝐴) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
1810, 17eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ({𝐴} ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
19 uneqdifeq 4451 . . . . . . . 8 (({𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵) ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) → (({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵)))
207, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵)))
213, 20mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵))
22 mnfxr 11213 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
24 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → -∞ < 𝐴)
25 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 < 𝐵)
26 xrre2 13090 . . . . . . . . 9 (((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2723, 11, 12, 24, 25, 26syl32anc 1379 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
28 icombl 24931 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
2927, 12, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
3027snssd 4770 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → {𝐴} ⊆ ℝ)
31 ovolsn 24862 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐴}) = 0)
3227, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (vol*‘{𝐴}) = 0)
33 nulmbl 24902 . . . . . . . 8 (({𝐴} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴}) = 0) → {𝐴} ∈ dom vol)
3430, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → {𝐴} ∈ dom vol)
35 difmbl 24910 . . . . . . 7 (((𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐴} ∈ dom vol) → ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) ∈ dom vol)
3629, 34, 35syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) ∈ dom vol)
3721, 36eqeltrrd 2839 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
3837expr 458 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ < 𝐴 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol))
39 uncom 4114 . . . . . . . . 9 ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞))
4022a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
41 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
42 pnfxr 11210 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → +∞ ∈ ℝ*)
44 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
45 mnfle 13056 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -∞ ≤ 𝐴)
47 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
4840, 44, 41, 46, 47xrlelttrd 13080 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -∞ < 𝐵)
49 pnfge 13052 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
5041, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
51 df-ico 13271 . . . . . . . . . . 11 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
52 xrlenlt 11221 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
53 xrltletr 13077 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵𝐵 ≤ +∞) → 𝑤 < +∞))
54 xrltletr 13077 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐵𝐵𝑤) → -∞ < 𝑤))
5514, 51, 52, 14, 53, 54ixxun 13281 . . . . . . . . . 10 (((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐵𝐵 ≤ +∞)) → ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
5640, 41, 43, 48, 50, 55syl32anc 1379 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
5739, 56eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)+∞))
58 ioomax 13340 . . . . . . . 8 (-∞(,)+∞) = ℝ
5957, 58eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ℝ)
60 ssun1 4133 . . . . . . . . 9 (𝐵[,)+∞) ⊆ ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵))
6160, 59sseqtrid 3997 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
62 incom 4162 . . . . . . . . 9 ((𝐵[,)+∞) ∩ (-∞(,)𝐵)) = ((-∞(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞))
6314, 51, 52ixxdisj 13280 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
6440, 41, 43, 63syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((-∞(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
6562, 64eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∩ (-∞(,)𝐵)) = ∅)
66 uneqdifeq 4451 . . . . . . . 8 (((𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ((𝐵[,)+∞) ∩ (-∞(,)𝐵)) = ∅) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)𝐵)))
6761, 65, 66syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)𝐵)))
6859, 67mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)𝐵))
69 rembl 24907 . . . . . . 7 ℝ ∈ dom vol
70 xrleloe 13064 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
7141, 42, 70sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
7250, 71mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞))
73 xrre2 13090 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7473expr 458 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
7542, 74mp3anl3 1458 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
7675orim1d 965 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)))
7772, 76mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
78 icombl1 24930 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
79 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = (+∞[,)+∞))
80 pnfge 13052 . . . . . . . . . . . . 13 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
8142, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ≤ +∞
82 ico0 13311 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞))
8342, 42, 82mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞)
8481, 83mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 (+∞[,)+∞) = ∅
8579, 84eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = ∅)
86 0mbl 24906 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ dom vol
8785, 86eqeltrdi 2846 . . . . . . . . 9 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
8878, 87jaoi 856 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
8977, 88syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
90 difmbl 24910 . . . . . . 7 ((ℝ ∈ dom vol ∧ (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol) → (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
9169, 89, 90sylancr 588 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
9268, 91eqeltrrd 2839 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞(,)𝐵) ∈ dom vol)
93 oveq1 7365 . . . . . 6 (-∞ = 𝐴 → (-∞(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐵))
9493eleq1d 2823 . . . . 5 (-∞ = 𝐴 → ((-∞(,)𝐵) ∈ dom vol ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol))
9592, 94syl5ibcom 244 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ = 𝐴 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol))
96 xrleloe 13064 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
9722, 44, 96sylancr 588 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
9846, 97mpbid 231 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴))
9938, 95, 98mpjaod 859 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
100 ioo0 13290 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
101 xrlenlt 11221 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
102101ancoms 460 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
103100, 102bitrd 279 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
104103biimpar 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
105104, 86eqeltrdi 2846 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
10699, 105pm2.61dan 812 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
107 ndmioo 13292 . . 3 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
108107, 86eqeltrdi 2846 . 2 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
109106, 108pm2.61i 182 1 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3908  cun 3909  cin 3910  wss 3911  c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  cfv 6497  (class class class)co 7358  cr 11051  0cc0 11052  +∞cpnf 11187  -∞cmnf 11188  *cxr 11189   < clt 11190  cle 11191  (,)cioo 13265  [,)cico 13267  [,]cicc 13268  vol*covol 24829  volcvol 24830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xadd 13035  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-rlim 15372  df-sum 15572  df-xmet 20792  df-met 20793  df-ovol 24831  df-vol 24832
This theorem is referenced by:  iccmbl  24933  ovolioo  24935  volioo  24936  ioovolcl  24937  uniioovol  24946  uniioombllem4  24953  uniioombllem5  24954  opnmblALT  24970  mbfid  25002  ditgcl  25225  ditgswap  25226  ditgsplitlem  25227  ftc1lem1  25402  ftc1lem2  25403  ftc1a  25404  ftc1lem4  25406  ftc2  25411  ftc2ditglem  25412  itgsubstlem  25415  itgpowd  25417  ftc2re  33214  fdvposlt  33215  fdvposle  33217  itgexpif  33222  circlemeth  33256  itg2gt0cn  36136  ftc1cnnclem  36152  ftc1anclem7  36160  ftc1anclem8  36161  ftc1anc  36162  ftc2nc  36163  areacirc  36174  lcmineqlem10  40498  lcmineqlem12  40500  iocmbl  41550  cnioobibld  41551  lhe4.4ex1a  42616  itgsin0pilem1  44198  iblioosinexp  44201  itgsinexplem1  44202  itgsinexp  44203  itgcoscmulx  44217  volioc  44220  itgsincmulx  44222  iblcncfioo  44226  itgiccshift  44228  itgperiod  44229  itgsbtaddcnst  44230  volico  44231  volioof  44235  wallispilem2  44314  dirkeritg  44350  fourierdlem16  44371  fourierdlem21  44376  fourierdlem22  44377  fourierdlem39  44394  fourierdlem73  44427  fourierdlem83  44437  fourierdlem103  44457  fourierdlem104  44458  fourierdlem111  44465  fourierdlem112  44466  sqwvfoura  44476  sqwvfourb  44477  etransclem18  44500  etransclem23  44505  ovolval4lem1  44897  ovolval5lem1  44900
  Copyright terms: Public domain W3C validator