Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioombl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioombl 24165
 Description: An open real interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ioombl (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol

Proof of Theorem ioombl
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snunioo 12863 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
213expa 1114 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
32adantrr 715 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
4 lbico1 12790 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
543expa 1114 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
65adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
76snssd 4741 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → {𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵))
8 iccid 12782 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
98ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
109ineq1d 4187 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,]𝐴) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐴} ∩ (𝐴(,)𝐵)))
11 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 df-icc 12744 . . . . . . . . . . 11 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
14 df-ioo 12741 . . . . . . . . . . 11 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
15 xrltnle 10707 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝐴))
1613, 14, 15ixxdisj 12752 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐴) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
1711, 11, 12, 16syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,]𝐴) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
1810, 17eqtr3d 2858 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ({𝐴} ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
19 uneqdifeq 4437 . . . . . . . 8 (({𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵) ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) → (({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵)))
207, 18, 19syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵)))
213, 20mpbid 234 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵))
22 mnfxr 10697 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
24 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → -∞ < 𝐴)
25 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 < 𝐵)
26 xrre2 12562 . . . . . . . . 9 (((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2723, 11, 12, 24, 25, 26syl32anc 1374 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
28 icombl 24164 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
2927, 12, 28syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
3027snssd 4741 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → {𝐴} ⊆ ℝ)
31 ovolsn 24095 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐴}) = 0)
3227, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (vol*‘{𝐴}) = 0)
33 nulmbl 24135 . . . . . . . 8 (({𝐴} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴}) = 0) → {𝐴} ∈ dom vol)
3430, 32, 33syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → {𝐴} ∈ dom vol)
35 difmbl 24143 . . . . . . 7 (((𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐴} ∈ dom vol) → ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) ∈ dom vol)
3629, 34, 35syl2anc 586 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) ∈ dom vol)
3721, 36eqeltrrd 2914 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
3837expr 459 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ < 𝐴 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol))
39 uncom 4128 . . . . . . . . 9 ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞))
4022a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
41 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
42 pnfxr 10694 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → +∞ ∈ ℝ*)
44 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
45 mnfle 12528 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -∞ ≤ 𝐴)
47 simpr 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
4840, 44, 41, 46, 47xrlelttrd 12552 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -∞ < 𝐵)
49 pnfge 12524 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
5041, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
51 df-ico 12743 . . . . . . . . . . 11 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
52 xrlenlt 10705 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
53 xrltletr 12549 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵𝐵 ≤ +∞) → 𝑤 < +∞))
54 xrltletr 12549 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐵𝐵𝑤) → -∞ < 𝑤))
5514, 51, 52, 14, 53, 54ixxun 12753 . . . . . . . . . 10 (((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐵𝐵 ≤ +∞)) → ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
5640, 41, 43, 48, 50, 55syl32anc 1374 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
5739, 56syl5eq 2868 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)+∞))
58 ioomax 12810 . . . . . . . 8 (-∞(,)+∞) = ℝ
5957, 58syl6eq 2872 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ℝ)
60 ssun1 4147 . . . . . . . . 9 (𝐵[,)+∞) ⊆ ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵))
6160, 59sseqtrid 4018 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
62 incom 4177 . . . . . . . . 9 ((𝐵[,)+∞) ∩ (-∞(,)𝐵)) = ((-∞(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞))
6314, 51, 52ixxdisj 12752 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
6440, 41, 43, 63syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((-∞(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
6562, 64syl5eq 2868 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∩ (-∞(,)𝐵)) = ∅)
66 uneqdifeq 4437 . . . . . . . 8 (((𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ((𝐵[,)+∞) ∩ (-∞(,)𝐵)) = ∅) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)𝐵)))
6761, 65, 66syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)𝐵)))
6859, 67mpbid 234 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)𝐵))
69 rembl 24140 . . . . . . 7 ℝ ∈ dom vol
70 xrleloe 12536 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
7141, 42, 70sylancl 588 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
7250, 71mpbid 234 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞))
73 xrre2 12562 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7473expr 459 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
7542, 74mp3anl3 1453 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
7675orim1d 962 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)))
7772, 76mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
78 icombl1 24163 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
79 oveq1 7162 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = (+∞[,)+∞))
80 pnfge 12524 . . . . . . . . . . . . 13 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
8142, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ≤ +∞
82 ico0 12783 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞))
8342, 42, 82mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞)
8481, 83mpbir 233 . . . . . . . . . . 11 (+∞[,)+∞) = ∅
8579, 84syl6eq 2872 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = ∅)
86 0mbl 24139 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ dom vol
8785, 86eqeltrdi 2921 . . . . . . . . 9 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
8878, 87jaoi 853 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
8977, 88syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
90 difmbl 24143 . . . . . . 7 ((ℝ ∈ dom vol ∧ (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol) → (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
9169, 89, 90sylancr 589 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
9268, 91eqeltrrd 2914 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞(,)𝐵) ∈ dom vol)
93 oveq1 7162 . . . . . 6 (-∞ = 𝐴 → (-∞(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐵))
9493eleq1d 2897 . . . . 5 (-∞ = 𝐴 → ((-∞(,)𝐵) ∈ dom vol ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol))
9592, 94syl5ibcom 247 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ = 𝐴 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol))
96 xrleloe 12536 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
9722, 44, 96sylancr 589 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
9846, 97mpbid 234 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴))
9938, 95, 98mpjaod 856 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
100 ioo0 12762 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
101 xrlenlt 10705 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
102101ancoms 461 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
103100, 102bitrd 281 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
104103biimpar 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
105104, 86eqeltrdi 2921 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
10699, 105pm2.61dan 811 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
107 ndmioo 12764 . . 3 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
108107, 86eqeltrdi 2921 . 2 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
109106, 108pm2.61i 184 1 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3932   ∪ cun 3933   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  {csn 4566   class class class wbr 5065  dom cdm 5554  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  0cc0 10536  +∞cpnf 10671  -∞cmnf 10672  ℝ*cxr 10673   < clt 10674   ≤ cle 10675  (,)cioo 12737  [,)cico 12739  [,]cicc 12740  vol*covol 24062  volcvol 24063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xadd 12507  df-ioo 12741  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-xmet 20537  df-met 20538  df-ovol 24064  df-vol 24065 This theorem is referenced by:  iccmbl  24166  ovolioo  24168  volioo  24169  ioovolcl  24170  uniioovol  24179  uniioombllem4  24186  uniioombllem5  24187  opnmblALT  24203  mbfid  24235  ditgcl  24455  ditgswap  24456  ditgsplitlem  24457  ftc1lem1  24631  ftc1lem2  24632  ftc1a  24633  ftc1lem4  24635  ftc2  24640  ftc2ditglem  24641  itgsubstlem  24644  ftc2re  31869  fdvposlt  31870  fdvposle  31872  itgexpif  31877  circlemeth  31911  itg2gt0cn  34946  ftc1cnnclem  34964  ftc1anclem7  34972  ftc1anclem8  34973  ftc1anc  34974  ftc2nc  34975  areacirc  34986  iocmbl  39819  cnioobibld  39820  itgpowd  39821  lhe4.4ex1a  40661  itgsin0pilem1  42235  iblioosinexp  42238  itgsinexplem1  42239  itgsinexp  42240  itgcoscmulx  42254  volioc  42257  itgsincmulx  42259  iblcncfioo  42263  itgiccshift  42265  itgperiod  42266  itgsbtaddcnst  42267  volico  42269  volioof  42273  wallispilem2  42352  dirkeritg  42388  fourierdlem16  42409  fourierdlem21  42414  fourierdlem22  42415  fourierdlem39  42432  fourierdlem73  42465  fourierdlem83  42475  fourierdlem103  42495  fourierdlem104  42496  fourierdlem111  42503  fourierdlem112  42504  sqwvfoura  42514  sqwvfourb  42515  etransclem18  42538  etransclem23  42543  ovolval4lem1  42932  ovolval5lem1  42935
 Copyright terms: Public domain W3C validator