| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | snunioo 13518 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐴
< 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵)) | 
| 2 | 1 | 3expa 1119 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵)) | 
| 3 | 2 | adantrr 717 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵)) | 
| 4 |  | lbico1 13441 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐴
< 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵)) | 
| 5 | 4 | 3expa 1119 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵)) | 
| 6 | 5 | adantrr 717 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵)) | 
| 7 | 6 | snssd 4809 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → {𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵)) | 
| 8 |  | iccid 13432 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℝ*
→ (𝐴[,]𝐴) = {𝐴}) | 
| 9 | 8 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴}) | 
| 10 | 9 | ineq1d 4219 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,]𝐴) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐴} ∩ (𝐴(,)𝐵))) | 
| 11 |  | simpll 767 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 ∈
ℝ*) | 
| 12 |  | simplr 769 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐵 ∈
ℝ*) | 
| 13 |  | df-icc 13394 | . . . . . . . . . . 11
⊢ [,] =
(𝑥 ∈
ℝ*, 𝑦
∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)}) | 
| 14 |  | df-ioo 13391 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (,) =
(𝑥 ∈
ℝ*, 𝑦
∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) | 
| 15 |  | xrltnle 11328 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝑤 ∈
ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ 𝐴)) | 
| 16 | 13, 14, 15 | ixxdisj 13402 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ∈
ℝ* ∧ 𝐵
∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐴) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) | 
| 17 | 11, 11, 12, 16 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,]𝐴) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) | 
| 18 | 10, 17 | eqtr3d 2779 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ({𝐴} ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) | 
| 19 |  | uneqdifeq 4493 | . . . . . . . 8
⊢ (({𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵) ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) → (({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵))) | 
| 20 | 7, 18, 19 | syl2anc 584 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵))) | 
| 21 | 3, 20 | mpbid 232 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵)) | 
| 22 |  | mnfxr 11318 | . . . . . . . . . 10
⊢ -∞
∈ ℝ* | 
| 23 | 22 | a1i 11 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → -∞ ∈
ℝ*) | 
| 24 |  | simprr 773 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → -∞ < 𝐴) | 
| 25 |  | simprl 771 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 < 𝐵) | 
| 26 |  | xrre2 13212 | . . . . . . . . 9
⊢
(((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
∧ (-∞ < 𝐴
∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 27 | 23, 11, 12, 24, 25, 26 | syl32anc 1380 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 28 |  | icombl 25599 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)
→ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom
vol) | 
| 29 | 27, 12, 28 | syl2anc 584 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol) | 
| 30 | 27 | snssd 4809 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → {𝐴} ⊆ ℝ) | 
| 31 |  | ovolsn 25530 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℝ →
(vol*‘{𝐴}) =
0) | 
| 32 | 27, 31 | syl 17 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (vol*‘{𝐴}) = 0) | 
| 33 |  | nulmbl 25570 | . . . . . . . 8
⊢ (({𝐴} ⊆ ℝ ∧
(vol*‘{𝐴}) = 0)
→ {𝐴} ∈ dom
vol) | 
| 34 | 30, 32, 33 | syl2anc 584 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → {𝐴} ∈ dom vol) | 
| 35 |  | difmbl 25578 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐴} ∈ dom vol) → ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) ∈ dom vol) | 
| 36 | 29, 34, 35 | syl2anc 584 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → ((𝐴[,)𝐵) ∖ {𝐴}) ∈ dom vol) | 
| 37 | 21, 36 | eqeltrrd 2842 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ -∞ < 𝐴)) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol) | 
| 38 | 37 | expr 456 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ < 𝐴 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)) | 
| 39 |  | uncom 4158 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵[,)+∞) ∪
(-∞(,)𝐵)) =
((-∞(,)𝐵) ∪
(𝐵[,)+∞)) | 
| 40 | 22 | a1i 11 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -∞ ∈
ℝ*) | 
| 41 |  | simplr 769 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈
ℝ*) | 
| 42 |  | pnfxr 11315 | . . . . . . . . . . 11
⊢ +∞
∈ ℝ* | 
| 43 | 42 | a1i 11 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → +∞ ∈
ℝ*) | 
| 44 |  | simpll 767 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈
ℝ*) | 
| 45 |  | mnfle 13177 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℝ*
→ -∞ ≤ 𝐴) | 
| 46 | 45 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -∞ ≤ 𝐴) | 
| 47 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵) | 
| 48 | 40, 44, 41, 46, 47 | xrlelttrd 13202 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → -∞ < 𝐵) | 
| 49 |  | pnfge 13172 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∈ ℝ*
→ 𝐵 ≤
+∞) | 
| 50 | 41, 49 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ +∞) | 
| 51 |  | df-ico 13393 | . . . . . . . . . . 11
⊢ [,) =
(𝑥 ∈
ℝ*, 𝑦
∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) | 
| 52 |  | xrlenlt 11326 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝑤 ∈
ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵)) | 
| 53 |  | xrltletr 13199 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑤 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ +∞) → 𝑤 < +∞)) | 
| 54 |  | xrltletr 13199 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*)
→ ((-∞ < 𝐵
∧ 𝐵 ≤ 𝑤) → -∞ < 𝑤)) | 
| 55 | 14, 51, 52, 14, 53, 54 | ixxun 13403 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞
∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ +∞)) → ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) =
(-∞(,)+∞)) | 
| 56 | 40, 41, 43, 48, 50, 55 | syl32anc 1380 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((-∞(,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) =
(-∞(,)+∞)) | 
| 57 | 39, 56 | eqtrid 2789 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) =
(-∞(,)+∞)) | 
| 58 |  | ioomax 13462 | . . . . . . . 8
⊢
(-∞(,)+∞) = ℝ | 
| 59 | 57, 58 | eqtrdi 2793 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ℝ) | 
| 60 |  | ssun1 4178 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐵[,)+∞) ⊆ ((𝐵[,)+∞) ∪
(-∞(,)𝐵)) | 
| 61 | 60, 59 | sseqtrid 4026 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆
ℝ) | 
| 62 |  | incom 4209 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵[,)+∞) ∩
(-∞(,)𝐵)) =
((-∞(,)𝐵) ∩
(𝐵[,)+∞)) | 
| 63 | 14, 51, 52 | ixxdisj 13402 | . . . . . . . . . 10
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞
∈ ℝ*) → ((-∞(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅) | 
| 64 | 40, 41, 43, 63 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((-∞(,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅) | 
| 65 | 62, 64 | eqtrid 2789 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∩ (-∞(,)𝐵)) = ∅) | 
| 66 |  | uneqdifeq 4493 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ
∧ ((𝐵[,)+∞) ∩
(-∞(,)𝐵)) = ∅)
→ (((𝐵[,)+∞)
∪ (-∞(,)𝐵)) =
ℝ ↔ (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)𝐵))) | 
| 67 | 61, 65, 66 | syl2anc 584 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (-∞(,)𝐵)) = ℝ ↔ (ℝ
∖ (𝐵[,)+∞)) =
(-∞(,)𝐵))) | 
| 68 | 59, 67 | mpbid 232 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) = (-∞(,)𝐵)) | 
| 69 |  | rembl 25575 | . . . . . . 7
⊢ ℝ
∈ dom vol | 
| 70 |  | xrleloe 13186 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞))) | 
| 71 | 41, 42, 70 | sylancl 586 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞))) | 
| 72 | 50, 71 | mpbid 232 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)) | 
| 73 |  | xrre2 13212 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 74 | 73 | expr 456 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ)) | 
| 75 | 42, 74 | mp3anl3 1459 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ)) | 
| 76 | 75 | orim1d 968 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))) | 
| 77 | 72, 76 | mpd 15 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)) | 
| 78 |  | icombl1 25598 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom
vol) | 
| 79 |  | oveq1 7438 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) =
(+∞[,)+∞)) | 
| 80 |  | pnfge 13172 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (+∞
∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞) | 
| 81 | 42, 80 | ax-mp 5 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ +∞
≤ +∞ | 
| 82 |  | ico0 13433 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈
ℝ*) → ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞
≤ +∞)) | 
| 83 | 42, 42, 82 | mp2an 692 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤
+∞) | 
| 84 | 81, 83 | mpbir 231 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(+∞[,)+∞) = ∅ | 
| 85 | 79, 84 | eqtrdi 2793 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) =
∅) | 
| 86 |  | 0mbl 25574 | . . . . . . . . . 10
⊢ ∅
∈ dom vol | 
| 87 | 85, 86 | eqeltrdi 2849 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom
vol) | 
| 88 | 78, 87 | jaoi 858 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom
vol) | 
| 89 | 77, 88 | syl 17 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom
vol) | 
| 90 |  | difmbl 25578 | . . . . . . 7
⊢ ((ℝ
∈ dom vol ∧ (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol) → (ℝ
∖ (𝐵[,)+∞))
∈ dom vol) | 
| 91 | 69, 89, 90 | sylancr 587 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (ℝ ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom
vol) | 
| 92 | 68, 91 | eqeltrrd 2842 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞(,)𝐵) ∈ dom vol) | 
| 93 |  | oveq1 7438 | . . . . . 6
⊢ (-∞
= 𝐴 →
(-∞(,)𝐵) = (𝐴(,)𝐵)) | 
| 94 | 93 | eleq1d 2826 | . . . . 5
⊢ (-∞
= 𝐴 →
((-∞(,)𝐵) ∈ dom
vol ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom
vol)) | 
| 95 | 92, 94 | syl5ibcom 245 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ = 𝐴 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)) | 
| 96 |  | xrleloe 13186 | . . . . . 6
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) →
(-∞ ≤ 𝐴 ↔
(-∞ < 𝐴 ∨
-∞ = 𝐴))) | 
| 97 | 22, 44, 96 | sylancr 587 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴))) | 
| 98 | 46, 97 | mpbid 232 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)) | 
| 99 | 38, 95, 98 | mpjaod 861 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol) | 
| 100 |  | ioo0 13412 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴)) | 
| 101 |  | xrlenlt 11326 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ∈
ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵)) | 
| 102 | 101 | ancoms 458 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵)) | 
| 103 | 100, 102 | bitrd 279 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵)) | 
| 104 | 103 | biimpar 477 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) = ∅) | 
| 105 | 104, 86 | eqeltrdi 2849 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol) | 
| 106 | 99, 105 | pm2.61dan 813 | . 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol) | 
| 107 |  | ndmioo 13414 | . . 3
⊢ (¬
(𝐴 ∈
ℝ* ∧ 𝐵
∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅) | 
| 108 | 107, 86 | eqeltrdi 2849 | . 2
⊢ (¬
(𝐴 ∈
ℝ* ∧ 𝐵
∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol) | 
| 109 | 106, 108 | pm2.61i 182 | 1
⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol |