MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm1lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvferm1lem 25837
Description: Lemma for dvferm 25841. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
dvferm.b (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
dvferm.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (𝐴(,)𝐡))
dvferm.s (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝑋)
dvferm.d (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm1.r (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (π‘ˆ(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘ˆ))
dvferm1.z (πœ‘ β†’ 0 < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))
dvferm1.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm1.l (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 βˆ– {π‘ˆ})((𝑧 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))
dvferm1.x 𝑆 = ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2)
Assertion
Ref Expression
dvferm1lem Β¬ πœ‘
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐡,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,π‘ˆ,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   πœ‘,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑇(𝑦)
Proof of Theorem dvferm1lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2 dvferm.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
3 dvfre 25804 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
41, 2, 3syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
5 dvferm.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
64, 5ffvelcdmd 7077 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ)
76recnd 11238 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„‚)
87subidd 11555 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)) = 0)
9 ioossre 13381 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
10 dvferm.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (𝐴(,)𝐡))
119, 10sselid 3972 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
12 eliooord 13379 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < 𝐡))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < 𝐡))
1413simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < 𝐡)
15 dvferm1.t . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
1611, 15ltaddrpd 13045 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < (π‘ˆ + 𝑇))
17 breq2 5142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 = if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) β†’ (π‘ˆ < 𝐡 ↔ π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))))
18 breq2 5142 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ + 𝑇) = if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) β†’ (π‘ˆ < (π‘ˆ + 𝑇) ↔ π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))))
1917, 18ifboth 4559 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ < 𝐡 ∧ π‘ˆ < (π‘ˆ + 𝑇)) β†’ π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)))
2014, 16, 19syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)))
21 ne0i 4326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ˆ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ…)
22 ndmioo 13347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(,)𝐡) = βˆ…)
2322necon1ai 2960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
2410, 21, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
2524simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2615rpred 13012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
2711, 26readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ + 𝑇) ∈ ℝ)
2827rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ + 𝑇) ∈ ℝ*)
2925, 28ifcld 4566 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ∈ ℝ*)
30 mnfxr 11267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -∞ ∈ ℝ*
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
3211rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ*)
3311mnfltd 13100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ -∞ < π‘ˆ)
3431, 32, 25, 33, 14xrlttrd 13134 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝐡)
3527mnfltd 13100 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ -∞ < (π‘ˆ + 𝑇))
36 breq2 5142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 = if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) β†’ (-∞ < 𝐡 ↔ -∞ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))))
37 breq2 5142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ + 𝑇) = if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) β†’ (-∞ < (π‘ˆ + 𝑇) ↔ -∞ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))))
3836, 37ifboth 4559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ < 𝐡 ∧ -∞ < (π‘ˆ + 𝑇)) β†’ -∞ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)))
3934, 35, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ -∞ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)))
40 xrmin2 13153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ (π‘ˆ + 𝑇) ∈ ℝ*) β†’ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ≀ (π‘ˆ + 𝑇))
4125, 28, 40syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ≀ (π‘ˆ + 𝑇))
42 xrre 13144 . . . . . . . . . . . . 13 (((if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ˆ + 𝑇) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ∧ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ≀ (π‘ˆ + 𝑇))) β†’ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ∈ ℝ)
4329, 27, 39, 41, 42syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ∈ ℝ)
44 avglt1 12446 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ ℝ ∧ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ∈ ℝ) β†’ (π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ↔ π‘ˆ < ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2)))
4511, 43, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ↔ π‘ˆ < ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2)))
4620, 45mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2))
47 dvferm1.x . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2)
4846, 47breqtrrdi 5180 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < 𝑆)
4911, 48gtned 11345 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  π‘ˆ)
5011, 43readdcld 11239 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) ∈ ℝ)
5150rehalfcld 12455 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2) ∈ ℝ)
5247, 51eqeltrid 2829 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
5311, 52, 48ltled 11358 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝑆)
5411, 52, 53abssubge0d 15374 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) = (𝑆 βˆ’ π‘ˆ))
55 avglt2 12447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ ℝ ∧ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ∈ ℝ) β†’ (π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ↔ ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2) < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))))
5611, 43, 55syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ↔ ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2) < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))))
5720, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2) < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)))
5847, 57eqbrtrid 5173 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)))
5952, 43, 27, 58, 41ltletrd 11370 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 < (π‘ˆ + 𝑇))
6052, 11, 26ltsubadd2d 11808 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βˆ’ π‘ˆ) < 𝑇 ↔ 𝑆 < (π‘ˆ + 𝑇)))
6159, 60mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ π‘ˆ) < 𝑇)
6254, 61eqbrtrd 5160 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇)
63 neeq1 2995 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 β†’ (𝑧 β‰  π‘ˆ ↔ 𝑆 β‰  π‘ˆ))
64 fvoveq1 7424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) = (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)))
6564breq1d 5148 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇 ↔ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇))
6663, 65anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((𝑧 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) ↔ (𝑆 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇)))
67 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘†))
6867oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) = ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)))
69 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 β†’ (𝑧 βˆ’ π‘ˆ) = (𝑆 βˆ’ π‘ˆ))
7068, 69oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) = (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)))
7170fvoveq1d 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))))
7271breq1d 5148 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((absβ€˜((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) ↔ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))
7366, 72imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑆 β†’ (((𝑧 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)) ↔ ((𝑆 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))))
74 dvferm1.l . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 βˆ– {π‘ˆ})((𝑧 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))
7524simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
7613simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 < π‘ˆ)
7775, 32, 76xrltled 13125 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ π‘ˆ)
78 iooss1 13355 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ(,)𝐡) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
7975, 77, 78syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ(,)𝐡) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
80 dvferm.s . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝑋)
8179, 80sstrd 3984 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ(,)𝐡) βŠ† 𝑋)
8252rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
83 xrmin1 13152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ (π‘ˆ + 𝑇) ∈ ℝ*) β†’ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ≀ 𝐡)
8425, 28, 83syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ≀ 𝐡)
8582, 29, 25, 58, 84xrltletrd 13136 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 < 𝐡)
86 elioo2 13361 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝑆 ∈ (π‘ˆ(,)𝐡) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐡)))
8732, 25, 86syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ (π‘ˆ(,)𝐡) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐡)))
8852, 48, 85, 87mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (π‘ˆ(,)𝐡))
8981, 88sseldd 3975 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
90 eldifsn 4782 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (𝑋 βˆ– {π‘ˆ}) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  π‘ˆ))
9189, 49, 90sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (𝑋 βˆ– {π‘ˆ}))
9273, 74, 91rspcdva 3605 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))
9349, 62, 92mp2and 696 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))
941, 89ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
9580, 10sseldd 3975 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
961, 95ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) ∈ ℝ)
9794, 96resubcld 11638 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ)
9852, 11resubcld 11638 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ)
9911, 52posdifd 11797 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < 𝑆 ↔ 0 < (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)))
10048, 99mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < (𝑆 βˆ’ π‘ˆ))
10198, 100elrpd 13009 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ+)
10297, 101rerpdivcld 13043 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) ∈ ℝ)
103102, 6, 6absdifltd 15376 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) ↔ ((((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)) < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) ∧ (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) + ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))))
10493, 103mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)) < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) ∧ (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) + ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))))
105104simpld 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)) < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)))
1068, 105eqbrtrrd 5162 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)))
107 gt0div 12076 . . . . 5 ((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ ∧ (𝑆 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) β†’ (0 < ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) ↔ 0 < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ))))
10897, 98, 100, 107syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 < ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) ↔ 0 < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ))))
109106, 108mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)))
11096, 94posdifd 11797 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) < (πΉβ€˜π‘†) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))))
111109, 110mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) < (πΉβ€˜π‘†))
112 fveq2 6881 . . . . 5 (𝑦 = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘†))
113112breq1d 5148 . . . 4 (𝑦 = 𝑆 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘ˆ) ↔ (πΉβ€˜π‘†) ≀ (πΉβ€˜π‘ˆ)))
114 dvferm1.r . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (π‘ˆ(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘ˆ))
115113, 114, 88rspcdva 3605 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) ≀ (πΉβ€˜π‘ˆ))
11694, 96, 115lensymd 11361 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘ˆ) < (πΉβ€˜π‘†))
117111, 116pm2.65i 193 1 Β¬ πœ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  ifcif 4520  {csn 4620   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„cr 11104  0cc0 11105   + caddc 11108  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  abscabs 15177   D cdv 25713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-rest 17366  df-topn 17367  df-topgen 17387  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-fbas 21224  df-fg 21225  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717
This theorem is referenced by:  dvferm1  25838
  Copyright terms: Public domain W3C validator