MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm1lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvferm1lem 25492
Description: Lemma for dvferm 25496. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
dvferm.b (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
dvferm.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (𝐴(,)𝐡))
dvferm.s (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝑋)
dvferm.d (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm1.r (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (π‘ˆ(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘ˆ))
dvferm1.z (πœ‘ β†’ 0 < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))
dvferm1.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm1.l (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 βˆ– {π‘ˆ})((𝑧 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))
dvferm1.x 𝑆 = ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2)
Assertion
Ref Expression
dvferm1lem Β¬ πœ‘
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐡,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,π‘ˆ,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   πœ‘,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑇(𝑦)
Proof of Theorem dvferm1lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2 dvferm.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
3 dvfre 25459 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
5 dvferm.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
64, 5ffvelcdmd 7084 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ)
76recnd 11238 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„‚)
87subidd 11555 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)) = 0)
9 ioossre 13381 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
10 dvferm.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (𝐴(,)𝐡))
119, 10sselid 3979 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
12 eliooord 13379 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < 𝐡))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < 𝐡))
1413simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < 𝐡)
15 dvferm1.t . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
1611, 15ltaddrpd 13045 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < (π‘ˆ + 𝑇))
17 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 = if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) β†’ (π‘ˆ < 𝐡 ↔ π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))))
18 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ + 𝑇) = if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) β†’ (π‘ˆ < (π‘ˆ + 𝑇) ↔ π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))))
1917, 18ifboth 4566 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ < 𝐡 ∧ π‘ˆ < (π‘ˆ + 𝑇)) β†’ π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)))
2014, 16, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)))
21 ne0i 4333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ˆ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ…)
22 ndmioo 13347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(,)𝐡) = βˆ…)
2322necon1ai 2968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
2410, 21, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
2524simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2615rpred 13012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
2711, 26readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ + 𝑇) ∈ ℝ)
2827rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ + 𝑇) ∈ ℝ*)
2925, 28ifcld 4573 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ∈ ℝ*)
30 mnfxr 11267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -∞ ∈ ℝ*
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
3211rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ*)
3311mnfltd 13100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ -∞ < π‘ˆ)
3431, 32, 25, 33, 14xrlttrd 13134 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝐡)
3527mnfltd 13100 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ -∞ < (π‘ˆ + 𝑇))
36 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 = if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) β†’ (-∞ < 𝐡 ↔ -∞ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))))
37 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ + 𝑇) = if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) β†’ (-∞ < (π‘ˆ + 𝑇) ↔ -∞ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))))
3836, 37ifboth 4566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ < 𝐡 ∧ -∞ < (π‘ˆ + 𝑇)) β†’ -∞ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)))
3934, 35, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ -∞ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)))
40 xrmin2 13153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ (π‘ˆ + 𝑇) ∈ ℝ*) β†’ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ≀ (π‘ˆ + 𝑇))
4125, 28, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ≀ (π‘ˆ + 𝑇))
42 xrre 13144 . . . . . . . . . . . . 13 (((if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ˆ + 𝑇) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ∧ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ≀ (π‘ˆ + 𝑇))) β†’ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ∈ ℝ)
4329, 27, 39, 41, 42syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ∈ ℝ)
44 avglt1 12446 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ ℝ ∧ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ∈ ℝ) β†’ (π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ↔ π‘ˆ < ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2)))
4511, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ↔ π‘ˆ < ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2)))
4620, 45mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2))
47 dvferm1.x . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2)
4846, 47breqtrrdi 5189 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < 𝑆)
4911, 48gtned 11345 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  π‘ˆ)
5011, 43readdcld 11239 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) ∈ ℝ)
5150rehalfcld 12455 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2) ∈ ℝ)
5247, 51eqeltrid 2837 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
5311, 52, 48ltled 11358 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝑆)
5411, 52, 53abssubge0d 15374 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) = (𝑆 βˆ’ π‘ˆ))
55 avglt2 12447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ ℝ ∧ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ∈ ℝ) β†’ (π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ↔ ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2) < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))))
5611, 43, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ↔ ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2) < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))))
5720, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ + if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇))) / 2) < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)))
5847, 57eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 < if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)))
5952, 43, 27, 58, 41ltletrd 11370 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 < (π‘ˆ + 𝑇))
6052, 11, 26ltsubadd2d 11808 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βˆ’ π‘ˆ) < 𝑇 ↔ 𝑆 < (π‘ˆ + 𝑇)))
6159, 60mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ π‘ˆ) < 𝑇)
6254, 61eqbrtrd 5169 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇)
63 neeq1 3003 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 β†’ (𝑧 β‰  π‘ˆ ↔ 𝑆 β‰  π‘ˆ))
64 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) = (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)))
6564breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇 ↔ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇))
6663, 65anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((𝑧 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) ↔ (𝑆 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇)))
67 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘†))
6867oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) = ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)))
69 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 β†’ (𝑧 βˆ’ π‘ˆ) = (𝑆 βˆ’ π‘ˆ))
7068, 69oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) = (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)))
7170fvoveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))))
7271breq1d 5157 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((absβ€˜((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) ↔ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))
7366, 72imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑆 β†’ (((𝑧 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)) ↔ ((𝑆 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))))
74 dvferm1.l . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 βˆ– {π‘ˆ})((𝑧 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))
7524simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
7613simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 < π‘ˆ)
7775, 32, 76xrltled 13125 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ π‘ˆ)
78 iooss1 13355 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ(,)𝐡) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
7975, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ(,)𝐡) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
80 dvferm.s . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝑋)
8179, 80sstrd 3991 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ(,)𝐡) βŠ† 𝑋)
8252rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
83 xrmin1 13152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ (π‘ˆ + 𝑇) ∈ ℝ*) β†’ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ≀ 𝐡)
8425, 28, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if(𝐡 ≀ (π‘ˆ + 𝑇), 𝐡, (π‘ˆ + 𝑇)) ≀ 𝐡)
8582, 29, 25, 58, 84xrltletrd 13136 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 < 𝐡)
86 elioo2 13361 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝑆 ∈ (π‘ˆ(,)𝐡) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐡)))
8732, 25, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ (π‘ˆ(,)𝐡) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐡)))
8852, 48, 85, 87mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (π‘ˆ(,)𝐡))
8981, 88sseldd 3982 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
90 eldifsn 4789 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (𝑋 βˆ– {π‘ˆ}) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  π‘ˆ))
9189, 49, 90sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (𝑋 βˆ– {π‘ˆ}))
9273, 74, 91rspcdva 3613 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))
9349, 62, 92mp2and 697 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))
941, 89ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
9580, 10sseldd 3982 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
961, 95ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) ∈ ℝ)
9794, 96resubcld 11638 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ)
9852, 11resubcld 11638 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ)
9911, 52posdifd 11797 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < 𝑆 ↔ 0 < (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)))
10048, 99mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < (𝑆 βˆ’ π‘ˆ))
10198, 100elrpd 13009 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ+)
10297, 101rerpdivcld 13043 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) ∈ ℝ)
103102, 6, 6absdifltd 15376 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) ↔ ((((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)) < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) ∧ (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) + ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))))
10493, 103mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)) < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) ∧ (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) + ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))))
105104simpld 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)) < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)))
1068, 105eqbrtrrd 5171 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)))
107 gt0div 12076 . . . . 5 ((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ ∧ (𝑆 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) β†’ (0 < ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) ↔ 0 < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ))))
10897, 98, 100, 107syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 < ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) ↔ 0 < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ))))
109106, 108mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)))
11096, 94posdifd 11797 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) < (πΉβ€˜π‘†) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))))
111109, 110mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) < (πΉβ€˜π‘†))
112 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑦 = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘†))
113112breq1d 5157 . . . 4 (𝑦 = 𝑆 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘ˆ) ↔ (πΉβ€˜π‘†) ≀ (πΉβ€˜π‘ˆ)))
114 dvferm1.r . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (π‘ˆ(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘ˆ))
115113, 114, 88rspcdva 3613 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) ≀ (πΉβ€˜π‘ˆ))
11694, 96, 115lensymd 11361 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘ˆ) < (πΉβ€˜π‘†))
117111, 116pm2.65i 193 1 Β¬ πœ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  abscabs 15177   D cdv 25371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-rest 17364  df-topn 17365  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375
This theorem is referenced by:  dvferm1  25493
  Copyright terms: Public domain W3C validator