Theorem dvferm1lem 25348

Description: Lemma for dvferm 25352. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm1.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
dvferm1.z	⊢ (𝜑 → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
dvferm1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm1.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm1.x	⊢ 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)

Assertion

Ref	Expression
dvferm1lem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvferm.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2		dvferm.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
3		dvfre 25315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
5		dvferm.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
6	4, 5	ffvelcdmd 7036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
8	7	subidd 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
9		ioossre 13325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
10		dvferm.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
11	9, 10	sselid 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
12		eliooord 13323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
14	13	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝐵)
15		dvferm1.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
16	11, 15	ltaddrpd 12990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝑈 + 𝑇))
17		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < 𝐵 ↔ 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
18		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < (𝑈 + 𝑇) ↔ 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
19	17, 18	ifboth 4525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 < 𝐵 ∧ 𝑈 < (𝑈 + 𝑇)) → 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
20	14, 16, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
21		ne0i 4294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
22		ndmioo 13291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
23	22	necon1ai 2971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
24	10, 21, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
25	24	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
26	15	rpred 12957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
27	11, 26	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ)
28	27	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*)
29	25, 28	ifcld 4532	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ*)
30		mnfxr 11212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
32	11	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
33	11	mnfltd 13045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑈)
34	31, 32, 25, 33, 14	xrlttrd 13078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐵)
35	27	mnfltd 13045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑈 + 𝑇))
36		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
37		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < (𝑈 + 𝑇) ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
38	36, 37	ifboth 4525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-∞ < 𝐵 ∧ -∞ < (𝑈 + 𝑇)) → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
39	34, 35, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
40		xrmin2 13097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
41	25, 28, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
42		xrre 13088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
43	29, 27, 39, 41, 42	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
44		avglt1 12391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
45	11, 43, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
46	20, 45	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2))
47		dvferm1.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)
48	46, 47	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑆)
49	11, 48	gtned 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑈)
50	11, 43	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) ∈ ℝ)
51	50	rehalfcld 12400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) ∈ ℝ)
52	47, 51	eqeltrid 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
53	11, 52, 48	ltled 11303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑆)
54	11, 52, 53	abssubge0d 15316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) = (𝑆 − 𝑈))
55		avglt2 12392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
56	11, 43, 55	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
57	20, 56	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
58	47, 57	eqbrtrid 5140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
59	52, 43, 27, 58, 41	ltletrd 11315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (𝑈 + 𝑇))
60	52, 11, 26	ltsubadd2d 11753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 − 𝑈) < 𝑇 ↔ 𝑆 < (𝑈 + 𝑇)))
61	59, 60	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) < 𝑇)
62	54, 61	eqbrtrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)
63		neeq1 3006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 ≠ 𝑈 ↔ 𝑆 ≠ 𝑈))
64		fvoveq1 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧 − 𝑈)) = (abs‘(𝑆 − 𝑈)))
65	64	breq1d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇))
66	63, 65	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)))
67		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑆))
68	67	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) = ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
69		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 − 𝑈) = (𝑆 − 𝑈))
70	68, 69	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
71	70	fvoveq1d 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
72	71	breq1d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
73	66, 72	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
74		dvferm1.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
75	24	simpld 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
76	13	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑈)
77	75, 32, 76	xrltled 13069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑈)
78		iooss1 13299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑈) → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
79	75, 77, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
80		dvferm.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
81	79, 80	sstrd 3954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
82	52	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
83		xrmin1 13096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
84	25, 28, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
85	82, 29, 25, 58, 84	xrltletrd 13080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < 𝐵)
86		elioo2 13305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐵)))
87	32, 25, 86	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐵)))
88	52, 48, 85, 87	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵))
89	81, 88	sseldd 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
90		eldifsn 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ 𝑈))
91	89, 49, 90	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
92	73, 74, 91	rspcdva 3582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
93	49, 62, 92	mp2and 697	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
94	1, 89	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
95	80, 10	sseldd 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
96	1, 95	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
97	94, 96	resubcld 11583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ)
98	52, 11	resubcld 11583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ)
99	11, 52	posdifd 11742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝑆 ↔ 0 < (𝑆 − 𝑈)))
100	48, 99	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑆 − 𝑈))
101	98, 100	elrpd 12954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ+)
102	97, 101	rerpdivcld 12988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∈ ℝ)
103	102, 6, 6	absdifltd 15318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
104	93, 103	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
105	104	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
106	8, 105	eqbrtrrd 5129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
107		gt0div 12021	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 − 𝑈)) → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈))))
108	97, 98, 100, 107	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈))))
109	106, 108	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
110	96, 94	posdifd 11742	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈))))
111	109, 110	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
112		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
113	112	breq1d 5115	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈)))
114		dvferm1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
115	113, 114, 88	rspcdva 3582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈))
116	94, 96, 115	lensymd 11306	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
117	111, 116	pm2.65i 193	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054  -∞cmnf 11187  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  ℝ⁺crp 12915  (,)cioo 13264  abscabs 15119   D cdv 25227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231

This theorem is referenced by:  dvferm1  25349