MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm1lem 26037
Description: Lemma for dvferm 26041. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm1.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
dvferm1.z (𝜑 → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
dvferm1.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm1.l (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm1.x 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)
Assertion
Ref Expression
dvferm1lem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm1lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2 dvferm.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
3 dvfre 26004 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
5 dvferm.d . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
64, 5ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
76recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
87subidd 11606 . . . . 5 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
9 ioossre 13445 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
10 dvferm.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
119, 10sselid 3993 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
12 eliooord 13443 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
1413simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 < 𝐵)
15 dvferm1.t . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
1611, 15ltaddrpd 13108 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 < (𝑈 + 𝑇))
17 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < 𝐵𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
18 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < (𝑈 + 𝑇) ↔ 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
1917, 18ifboth 4570 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 < 𝐵𝑈 < (𝑈 + 𝑇)) → 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
2014, 16, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
21 ne0i 4347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
22 ndmioo 13411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
2322necon1ai 2966 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2410, 21, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2524simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2615rpred 13075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2711, 26readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ)
2827rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*)
2925, 28ifcld 4577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ*)
30 mnfxr 11316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -∞ ∈ ℝ*
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3211rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
3311mnfltd 13164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -∞ < 𝑈)
3431, 32, 25, 33, 14xrlttrd 13198 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -∞ < 𝐵)
3527mnfltd 13164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -∞ < (𝑈 + 𝑇))
36 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
37 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < (𝑈 + 𝑇) ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
3836, 37ifboth 4570 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ < 𝐵 ∧ -∞ < (𝑈 + 𝑇)) → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
3934, 35, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
40 xrmin2 13217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
4125, 28, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
42 xrre 13208 . . . . . . . . . . . . 13 (((if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
4329, 27, 39, 41, 42syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
44 avglt1 12502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
4511, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
4620, 45mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2))
47 dvferm1.x . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)
4846, 47breqtrrdi 5190 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 < 𝑆)
4911, 48gtned 11394 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝑈)
5011, 43readdcld 11288 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) ∈ ℝ)
5150rehalfcld 12511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) ∈ ℝ)
5247, 51eqeltrid 2843 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
5311, 52, 48ltled 11407 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑆)
5411, 52, 53abssubge0d 15467 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) = (𝑆𝑈))
55 avglt2 12503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
5611, 43, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
5720, 56mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
5847, 57eqbrtrid 5183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
5952, 43, 27, 58, 41ltletrd 11419 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 < (𝑈 + 𝑇))
6052, 11, 26ltsubadd2d 11859 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆𝑈) < 𝑇𝑆 < (𝑈 + 𝑇)))
6159, 60mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑈) < 𝑇)
6254, 61eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)
63 neeq1 3001 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈𝑆𝑈))
64 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧𝑈)) = (abs‘(𝑆𝑈)))
6564breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
6663, 65anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)))
67 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑆))
6867oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) = ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
69 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈) = (𝑆𝑈))
7068, 69oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
7170fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
7271breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7366, 72imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
74 dvferm1.l . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7524simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
7613simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 < 𝑈)
7775, 32, 76xrltled 13189 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑈)
78 iooss1 13419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑈) → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
7975, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
80 dvferm.s . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
8179, 80sstrd 4006 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
8252rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
83 xrmin1 13216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
8425, 28, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
8582, 29, 25, 58, 84xrltletrd 13200 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 < 𝐵)
86 elioo2 13425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆𝑆 < 𝐵)))
8732, 25, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆𝑆 < 𝐵)))
8852, 48, 85, 87mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵))
8981, 88sseldd 3996 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑋)
90 eldifsn 4791 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑈))
9189, 49, 90sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
9273, 74, 91rspcdva 3623 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
9349, 62, 92mp2and 699 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
941, 89ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
9580, 10sseldd 3996 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝑋)
961, 95ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
9794, 96resubcld 11689 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ)
9852, 11resubcld 11689 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ)
9911, 52posdifd 11848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 < 𝑆 ↔ 0 < (𝑆𝑈)))
10048, 99mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝑆𝑈))
10198, 100elrpd 13072 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ+)
10297, 101rerpdivcld 13106 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∈ ℝ)
103102, 6, 6absdifltd 15469 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
10493, 103mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
105104simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
1068, 105eqbrtrrd 5172 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
107 gt0div 12132 . . . . 5 ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑈)) → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
10897, 98, 100, 107syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
109106, 108mpbird 257 . . 3 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
11096, 94posdifd 11848 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑆) ↔ 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈))))
111109, 110mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
112 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
113112breq1d 5158 . . . 4 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈)))
114 dvferm1.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
115113, 114, 88rspcdva 3623 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈))
11694, 96, 115lensymd 11410 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
117111, 116pm2.65i 194 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  cdif 3960  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  +crp 13032  (,)cioo 13384  abscabs 15270   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  dvferm1  26038
  Copyright terms: Public domain W3C validator