Theorem dvferm1lem 26305

Description: Lemma for dvferm 26309. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm1.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
dvferm1.z	⊢ (𝜑 → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
dvferm1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm1.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm1.x	⊢ 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)

Assertion

Ref	Expression
dvferm1lem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvferm.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2		dvferm.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
3		dvfre 26272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
5		dvferm.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
6	4, 5	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11338	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
8	7	subidd 11658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
9		ioossre 13539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
10		dvferm.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
11	9, 10	sselid 3906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
12		eliooord 13537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
13	10, 12	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
14	13	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝐵)
15		dvferm1.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
16	11, 15	ltaddrpd 13198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝑈 + 𝑇))
17		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < 𝐵 ↔ 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
18		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < (𝑈 + 𝑇) ↔ 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
19	17, 18	ifboth 4521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 < 𝐵 ∧ 𝑈 < (𝑈 + 𝑇)) → 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
20	14, 16, 19	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
21		ne0i 4286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
22		ndmioo 13504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
23	22	necon1ai 2982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
24	10, 21, 23	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
25	24	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
26	15	rpred 13165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
27	11, 26	readdcld 11339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ)
28	27	rexrd 11360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*)
29	25, 28	ifcld 4528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ*)
30		mnfxr 11367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
32	11	rexrd 11360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
33	11	mnfltd 13254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑈)
34	31, 32, 25, 33, 14	xrlttrd 13289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐵)
35	27	mnfltd 13254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑈 + 𝑇))
36		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
37		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < (𝑈 + 𝑇) ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
38	36, 37	ifboth 4521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-∞ < 𝐵 ∧ -∞ < (𝑈 + 𝑇)) → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
39	34, 35, 38	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
40		xrmin2 13309	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
41	25, 28, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
42		xrre 13300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
43	29, 27, 39, 41, 42	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
44		avglt1 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
45	11, 43, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
46	20, 45	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2))
47		dvferm1.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)
48	46, 47	breqtrrdi 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑆)
49	11, 48	gtned 11446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑈)
50	11, 43	readdcld 11339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) ∈ ℝ)
51	50	rehalfcld 12594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) ∈ ℝ)
52	47, 51	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
53	11, 52, 48	ltled 11459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑆)
54	11, 52, 53	abssubge0d 15602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) = (𝑆 − 𝑈))
55		avglt2 12586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
56	11, 43, 55	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
57	20, 56	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
58	47, 57	eqbrtrid 5139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
59	52, 43, 27, 58, 41	ltletrd 11471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (𝑈 + 𝑇))
60	52, 11, 26	ltsubadd2d 11915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 − 𝑈) < 𝑇 ↔ 𝑆 < (𝑈 + 𝑇)))
61	59, 60	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) < 𝑇)
62	54, 61	eqbrtrd 5126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)
63		neeq1 3017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 ≠ 𝑈 ↔ 𝑆 ≠ 𝑈))
64		fvoveq1 7443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧 − 𝑈)) = (abs‘(𝑆 − 𝑈)))
65	64	breq1d 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇))
66	63, 65	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)))
67		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑆))
68	67	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) = ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
69		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 − 𝑈) = (𝑆 − 𝑈))
70	68, 69	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
71	70	fvoveq1d 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
72	71	breq1d 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
73	66, 72	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
74		dvferm1.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
75	24	simpld 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
76	13	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑈)
77	75, 32, 76	xrltled 13280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑈)
78		iooss1 13512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑈) → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
79	75, 77, 78	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
80		dvferm.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
81	79, 80	sstrd 3918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
82	52	rexrd 11360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
83		xrmin1 13308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
84	25, 28, 83	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
85	82, 29, 25, 58, 84	xrltletrd 13291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < 𝐵)
86		elioo2 13518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐵)))
87	32, 25, 86	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐵)))
88	52, 48, 85, 87	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵))
89	81, 88	sseldd 3909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
90		eldifsn 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ 𝑈))
91	89, 49, 90	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
92	73, 74, 91	rspcdva 3577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
93	49, 62, 92	mp2and 712	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
94	1, 89	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
95	80, 10	sseldd 3909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
96	1, 95	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
97	94, 96	resubcld 11745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ)
98	52, 11	resubcld 11745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ)
99	11, 52	posdifd 11904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝑆 ↔ 0 < (𝑆 − 𝑈)))
100	48, 99	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑆 − 𝑈))
101	98, 100	elrpd 13162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ+)
102	97, 101	rerpdivcld 13196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∈ ℝ)
103	102, 6, 6	absdifltd 15604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
104	93, 103	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
105	104	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
106	8, 105	eqbrtrrd 5128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
107		gt0div 12184	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 − 𝑈)) → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈))))
108	97, 98, 100, 107	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈))))
109	106, 108	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
110	96, 94	posdifd 11904	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈))))
111	109, 110	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
112		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
113	112	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈)))
114		dvferm1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
115	113, 114, 88	rspcdva 3577	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈))
116	94, 96, 115	lensymd 11462	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
117	111, 116	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ 𝜑

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  ifcif 4481  {csn 4583   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11200  0cc0 11201   + caddc 11204  -∞cmnf 11342  ℝ^*cxr 11343   < clt 11344   ≤ cle 11345   − cmin 11542   / cdiv 11974  2c2 12398  ℝ⁺crp 13121  (,)cioo 13477  abscabs 15402   D cdv 26184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-icc 13484  df-fz 13641  df-seq 14146  df-exp 14206  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-struct 17326  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-rest 17594  df-topn 17595  df-topgen 17615  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-cnfld 21680  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-lp 23455  df-perf 23456  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-haus 23634  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-xms 24640  df-ms 24641  df-cncf 25200  df-limc 26187  df-dv 26188

This theorem is used by:  dvferm1  26306