Theorem dvferm1lem 24278

Description: Lemma for dvferm 24282. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm1.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
dvferm1.z	⊢ (𝜑 → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
dvferm1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm1.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm1.x	⊢ 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)

Assertion

Ref	Expression
dvferm1lem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvferm.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2		dvferm.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
3		dvfre 24245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
5		dvferm.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
6	4, 5	ffvelrnd 6675	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
7	6	recnd 10464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
8	7	subidd 10782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
9		ioossre 12611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
10		dvferm.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
11	9, 10	sseldi 3855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
12		eliooord 12609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
14	13	simprd 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝐵)
15		dvferm1.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
16	11, 15	ltaddrpd 12278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝑈 + 𝑇))
17		breq2 4931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < 𝐵 ↔ 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
18		breq2 4931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < (𝑈 + 𝑇) ↔ 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
19	17, 18	ifboth 4386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 < 𝐵 ∧ 𝑈 < (𝑈 + 𝑇)) → 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
20	14, 16, 19	syl2anc 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
21		ne0i 4185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
22		ndmioo 12578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
23	22	necon1ai 2991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
24	10, 21, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
25	24	simprd 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
26	15	rpred 12245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
27	11, 26	readdcld 10465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ)
28	27	rexrd 10486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*)
29	25, 28	ifcld 4393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ*)
30		mnfxr 10494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
32	11	rexrd 10486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
33	11	mnfltd 12333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑈)
34	31, 32, 25, 33, 14	xrlttrd 12366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐵)
35	27	mnfltd 12333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑈 + 𝑇))
36		breq2 4931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
37		breq2 4931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < (𝑈 + 𝑇) ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
38	36, 37	ifboth 4386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-∞ < 𝐵 ∧ -∞ < (𝑈 + 𝑇)) → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
39	34, 35, 38	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
40		xrmin2 12385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
41	25, 28, 40	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
42		xrre 12376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
43	29, 27, 39, 41, 42	syl22anc 826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
44		avglt1 11682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
45	11, 43, 44	syl2anc 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
46	20, 45	mpbid 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2))
47		dvferm1.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)
48	46, 47	syl6breqr 4969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑆)
49	11, 48	gtned 10571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑈)
50	11, 43	readdcld 10465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) ∈ ℝ)
51	50	rehalfcld 11691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) ∈ ℝ)
52	47, 51	syl5eqel 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
53	11, 52, 48	ltled 10584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑆)
54	11, 52, 53	abssubge0d 14646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) = (𝑆 − 𝑈))
55		avglt2 11683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
56	11, 43, 55	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
57	20, 56	mpbid 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
58	47, 57	syl5eqbr 4962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
59	52, 43, 27, 58, 41	ltletrd 10596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (𝑈 + 𝑇))
60	52, 11, 26	ltsubadd2d 11035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 − 𝑈) < 𝑇 ↔ 𝑆 < (𝑈 + 𝑇)))
61	59, 60	mpbird 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) < 𝑇)
62	54, 61	eqbrtrd 4949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)
63		neeq1 3026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 ≠ 𝑈 ↔ 𝑆 ≠ 𝑈))
64		fvoveq1 6997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧 − 𝑈)) = (abs‘(𝑆 − 𝑈)))
65	64	breq1d 4937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇))
66	63, 65	anbi12d 621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)))
67		fveq2 6497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑆))
68	67	oveq1d 6989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) = ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
69		oveq1 6981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 − 𝑈) = (𝑆 − 𝑈))
70	68, 69	oveq12d 6992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
71	70	fvoveq1d 6996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
72	71	breq1d 4937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
73	66, 72	imbi12d 337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
74		dvferm1.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
75	24	simpld 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
76	13	simpld 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑈)
77	75, 32, 76	xrltled 12357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑈)
78		iooss1 12586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑈) → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
79	75, 77, 78	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
80		dvferm.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
81	79, 80	sstrd 3867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
82	52	rexrd 10486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
83		xrmin1 12384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
84	25, 28, 83	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
85	82, 29, 25, 58, 84	xrltletrd 12368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < 𝐵)
86		elioo2 12592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐵)))
87	32, 25, 86	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐵)))
88	52, 48, 85, 87	mpbir3and 1322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵))
89	81, 88	sseldd 3858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
90		eldifsn 4591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ 𝑈))
91	89, 49, 90	sylanbrc 575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
92	73, 74, 91	rspcdva 3538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
93	49, 62, 92	mp2and 686	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
94	1, 89	ffvelrnd 6675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
95	80, 10	sseldd 3858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
96	1, 95	ffvelrnd 6675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
97	94, 96	resubcld 10865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ)
98	52, 11	resubcld 10865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ)
99	11, 52	posdifd 11024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝑆 ↔ 0 < (𝑆 − 𝑈)))
100	48, 99	mpbid 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑆 − 𝑈))
101	98, 100	elrpd 12242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ+)
102	97, 101	rerpdivcld 12276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∈ ℝ)
103	102, 6, 6	absdifltd 14648	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
104	93, 103	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
105	104	simpld 487	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
106	8, 105	eqbrtrrd 4951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
107		gt0div 11303	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 − 𝑈)) → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈))))
108	97, 98, 100, 107	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈))))
109	106, 108	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
110	96, 94	posdifd 11024	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈))))
111	109, 110	mpbird 249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
112		fveq2 6497	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
113	112	breq1d 4937	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈)))
114		dvferm1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
115	113, 114, 88	rspcdva 3538	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈))
116	94, 96, 115	lensymd 10587	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
117	111, 116	pm2.65i 186	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ≠ wne 2964  ∀wral 3085   ∖ cdif 3825   ⊆ wss 3828  ∅c0 4177  ifcif 4348  {csn 4439   class class class wbr 4927  dom cdm 5404  ⟶wf 6182  ‘cfv 6186  (class class class)co 6974  ℝcr 10330  0cc0 10331   + caddc 10334  -∞cmnf 10468  ℝ^*cxr 10469   < clt 10470   ≤ cle 10471   − cmin 10666   / cdiv 11094  2c2 11492  ℝ⁺crp 12201  (,)cioo 12551  abscabs 14448   D cdv 24158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-pre-sup 10409

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-int 4748  df-iun 4792  df-iin 4793  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-1o 7901  df-oadd 7905  df-er 8085  df-map 8204  df-pm 8205  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-fin 8306  df-fi 8666  df-sup 8697  df-inf 8698  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-nn 11436  df-2 11500  df-3 11501  df-4 11502  df-5 11503  df-6 11504  df-7 11505  df-8 11506  df-9 11507  df-n0 11705  df-z 11791  df-dec 11909  df-uz 12056  df-q 12160  df-rp 12202  df-xneg 12321  df-xadd 12322  df-xmul 12323  df-ioo 12555  df-icc 12558  df-fz 12706  df-seq 13182  df-exp 13242  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-starv 16430  df-tset 16434  df-ple 16435  df-ds 16437  df-unif 16438  df-rest 16546  df-topn 16547  df-topgen 16567  df-psmet 20233  df-xmet 20234  df-met 20235  df-bl 20236  df-mopn 20237  df-fbas 20238  df-fg 20239  df-cnfld 20242  df-top 21200  df-topon 21217  df-topsp 21239  df-bases 21252  df-cld 21325  df-ntr 21326  df-cls 21327  df-nei 21404  df-lp 21442  df-perf 21443  df-cn 21533  df-cnp 21534  df-haus 21621  df-fil 22152  df-fm 22244  df-flim 22245  df-flf 22246  df-xms 22627  df-ms 22628  df-cncf 23183  df-limc 24161  df-dv 24162

This theorem is referenced by:  dvferm1  24279