MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm1lem 24278
Description: Lemma for dvferm 24282. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm1.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
dvferm1.z (𝜑 → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
dvferm1.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm1.l (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm1.x 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)
Assertion
Ref Expression
dvferm1lem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm1lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2 dvferm.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
3 dvfre 24245 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
41, 2, 3syl2anc 576 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
5 dvferm.d . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
64, 5ffvelrnd 6675 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
76recnd 10464 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
87subidd 10782 . . . . 5 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
9 ioossre 12611 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
10 dvferm.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
119, 10sseldi 3855 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
12 eliooord 12609 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
1413simprd 488 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 < 𝐵)
15 dvferm1.t . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
1611, 15ltaddrpd 12278 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 < (𝑈 + 𝑇))
17 breq2 4931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < 𝐵𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
18 breq2 4931 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < (𝑈 + 𝑇) ↔ 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
1917, 18ifboth 4386 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 < 𝐵𝑈 < (𝑈 + 𝑇)) → 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
2014, 16, 19syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
21 ne0i 4185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
22 ndmioo 12578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
2322necon1ai 2991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2410, 21, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2524simprd 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2615rpred 12245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2711, 26readdcld 10465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ)
2827rexrd 10486 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*)
2925, 28ifcld 4393 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ*)
30 mnfxr 10494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -∞ ∈ ℝ*
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3211rexrd 10486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
3311mnfltd 12333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -∞ < 𝑈)
3431, 32, 25, 33, 14xrlttrd 12366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -∞ < 𝐵)
3527mnfltd 12333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -∞ < (𝑈 + 𝑇))
36 breq2 4931 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
37 breq2 4931 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < (𝑈 + 𝑇) ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
3836, 37ifboth 4386 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ < 𝐵 ∧ -∞ < (𝑈 + 𝑇)) → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
3934, 35, 38syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
40 xrmin2 12385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
4125, 28, 40syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
42 xrre 12376 . . . . . . . . . . . . 13 (((if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
4329, 27, 39, 41, 42syl22anc 826 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
44 avglt1 11682 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
4511, 43, 44syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
4620, 45mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2))
47 dvferm1.x . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)
4846, 47syl6breqr 4969 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 < 𝑆)
4911, 48gtned 10571 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝑈)
5011, 43readdcld 10465 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) ∈ ℝ)
5150rehalfcld 11691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) ∈ ℝ)
5247, 51syl5eqel 2867 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
5311, 52, 48ltled 10584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑆)
5411, 52, 53abssubge0d 14646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) = (𝑆𝑈))
55 avglt2 11683 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
5611, 43, 55syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
5720, 56mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
5847, 57syl5eqbr 4962 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
5952, 43, 27, 58, 41ltletrd 10596 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 < (𝑈 + 𝑇))
6052, 11, 26ltsubadd2d 11035 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆𝑈) < 𝑇𝑆 < (𝑈 + 𝑇)))
6159, 60mpbird 249 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑈) < 𝑇)
6254, 61eqbrtrd 4949 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)
63 neeq1 3026 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈𝑆𝑈))
64 fvoveq1 6997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧𝑈)) = (abs‘(𝑆𝑈)))
6564breq1d 4937 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
6663, 65anbi12d 621 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)))
67 fveq2 6497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑆))
6867oveq1d 6989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) = ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
69 oveq1 6981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈) = (𝑆𝑈))
7068, 69oveq12d 6992 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
7170fvoveq1d 6996 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
7271breq1d 4937 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7366, 72imbi12d 337 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
74 dvferm1.l . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7524simpld 487 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
7613simpld 487 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 < 𝑈)
7775, 32, 76xrltled 12357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑈)
78 iooss1 12586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑈) → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
7975, 77, 78syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
80 dvferm.s . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
8179, 80sstrd 3867 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
8252rexrd 10486 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
83 xrmin1 12384 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
8425, 28, 83syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
8582, 29, 25, 58, 84xrltletrd 12368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 < 𝐵)
86 elioo2 12592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆𝑆 < 𝐵)))
8732, 25, 86syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆𝑆 < 𝐵)))
8852, 48, 85, 87mpbir3and 1322 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵))
8981, 88sseldd 3858 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑋)
90 eldifsn 4591 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑈))
9189, 49, 90sylanbrc 575 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
9273, 74, 91rspcdva 3538 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
9349, 62, 92mp2and 686 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
941, 89ffvelrnd 6675 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
9580, 10sseldd 3858 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝑋)
961, 95ffvelrnd 6675 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
9794, 96resubcld 10865 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ)
9852, 11resubcld 10865 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ)
9911, 52posdifd 11024 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 < 𝑆 ↔ 0 < (𝑆𝑈)))
10048, 99mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝑆𝑈))
10198, 100elrpd 12242 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ+)
10297, 101rerpdivcld 12276 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∈ ℝ)
103102, 6, 6absdifltd 14648 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
10493, 103mpbid 224 . . . . . 6 (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
105104simpld 487 . . . . 5 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
1068, 105eqbrtrrd 4951 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
107 gt0div 11303 . . . . 5 ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑈)) → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
10897, 98, 100, 107syl3anc 1351 . . . 4 (𝜑 → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
109106, 108mpbird 249 . . 3 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
11096, 94posdifd 11024 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑆) ↔ 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈))))
111109, 110mpbird 249 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
112 fveq2 6497 . . . . 5 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
113112breq1d 4937 . . . 4 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈)))
114 dvferm1.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
115113, 114, 88rspcdva 3538 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈))
11694, 96, 115lensymd 10587 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
117111, 116pm2.65i 186 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2964  wral 3085  cdif 3825  wss 3828  c0 4177  ifcif 4348  {csn 4439   class class class wbr 4927  dom cdm 5404  wf 6182  cfv 6186  (class class class)co 6974  cr 10330  0cc0 10331   + caddc 10334  -∞cmnf 10468  *cxr 10469   < clt 10470  cle 10471  cmin 10666   / cdiv 11094  2c2 11492  +crp 12201  (,)cioo 12551  abscabs 14448   D cdv 24158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-pre-sup 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-int 4748  df-iun 4792  df-iin 4793  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-1o 7901  df-oadd 7905  df-er 8085  df-map 8204  df-pm 8205  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-fin 8306  df-fi 8666  df-sup 8697  df-inf 8698  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-nn 11436  df-2 11500  df-3 11501  df-4 11502  df-5 11503  df-6 11504  df-7 11505  df-8 11506  df-9 11507  df-n0 11705  df-z 11791  df-dec 11909  df-uz 12056  df-q 12160  df-rp 12202  df-xneg 12321  df-xadd 12322  df-xmul 12323  df-ioo 12555  df-icc 12558  df-fz 12706  df-seq 13182  df-exp 13242  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-starv 16430  df-tset 16434  df-ple 16435  df-ds 16437  df-unif 16438  df-rest 16546  df-topn 16547  df-topgen 16567  df-psmet 20233  df-xmet 20234  df-met 20235  df-bl 20236  df-mopn 20237  df-fbas 20238  df-fg 20239  df-cnfld 20242  df-top 21200  df-topon 21217  df-topsp 21239  df-bases 21252  df-cld 21325  df-ntr 21326  df-cls 21327  df-nei 21404  df-lp 21442  df-perf 21443  df-cn 21533  df-cnp 21534  df-haus 21621  df-fil 22152  df-fm 22244  df-flim 22245  df-flf 22246  df-xms 22627  df-ms 22628  df-cncf 23183  df-limc 24161  df-dv 24162
This theorem is referenced by:  dvferm1  24279
  Copyright terms: Public domain W3C validator