Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm1lem 24593
 Description: Lemma for dvferm 24597. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm1.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
dvferm1.z (𝜑 → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
dvferm1.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm1.l (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm1.x 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)
Assertion
Ref Expression
dvferm1lem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm1lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2 dvferm.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
3 dvfre 24560 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
41, 2, 3syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
5 dvferm.d . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
64, 5ffvelrnd 6843 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
76recnd 10667 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
87subidd 10983 . . . . 5 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
9 ioossre 12795 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
10 dvferm.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
119, 10sseldi 3951 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
12 eliooord 12793 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
1413simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 < 𝐵)
15 dvferm1.t . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
1611, 15ltaddrpd 12461 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 < (𝑈 + 𝑇))
17 breq2 5056 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < 𝐵𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
18 breq2 5056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < (𝑈 + 𝑇) ↔ 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
1917, 18ifboth 4488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 < 𝐵𝑈 < (𝑈 + 𝑇)) → 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
2014, 16, 19syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
21 ne0i 4283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
22 ndmioo 12762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
2322necon1ai 3041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2410, 21, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2524simprd 499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2615rpred 12428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2711, 26readdcld 10668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ)
2827rexrd 10689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*)
2925, 28ifcld 4495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ*)
30 mnfxr 10696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -∞ ∈ ℝ*
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3211rexrd 10689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
3311mnfltd 12516 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -∞ < 𝑈)
3431, 32, 25, 33, 14xrlttrd 12549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -∞ < 𝐵)
3527mnfltd 12516 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -∞ < (𝑈 + 𝑇))
36 breq2 5056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
37 breq2 5056 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < (𝑈 + 𝑇) ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
3836, 37ifboth 4488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ < 𝐵 ∧ -∞ < (𝑈 + 𝑇)) → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
3934, 35, 38syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
40 xrmin2 12568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
4125, 28, 40syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
42 xrre 12559 . . . . . . . . . . . . 13 (((if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
4329, 27, 39, 41, 42syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
44 avglt1 11872 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
4511, 43, 44syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
4620, 45mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2))
47 dvferm1.x . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)
4846, 47breqtrrdi 5094 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 < 𝑆)
4911, 48gtned 10773 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝑈)
5011, 43readdcld 10668 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) ∈ ℝ)
5150rehalfcld 11881 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) ∈ ℝ)
5247, 51eqeltrid 2920 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
5311, 52, 48ltled 10786 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑆)
5411, 52, 53abssubge0d 14791 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) = (𝑆𝑈))
55 avglt2 11873 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
5611, 43, 55syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
5720, 56mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
5847, 57eqbrtrid 5087 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
5952, 43, 27, 58, 41ltletrd 10798 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 < (𝑈 + 𝑇))
6052, 11, 26ltsubadd2d 11236 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆𝑈) < 𝑇𝑆 < (𝑈 + 𝑇)))
6159, 60mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑈) < 𝑇)
6254, 61eqbrtrd 5074 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)
63 neeq1 3076 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈𝑆𝑈))
64 fvoveq1 7172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧𝑈)) = (abs‘(𝑆𝑈)))
6564breq1d 5062 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
6663, 65anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)))
67 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑆))
6867oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) = ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
69 oveq1 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈) = (𝑆𝑈))
7068, 69oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
7170fvoveq1d 7171 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
7271breq1d 5062 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7366, 72imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
74 dvferm1.l . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7524simpld 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
7613simpld 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 < 𝑈)
7775, 32, 76xrltled 12540 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑈)
78 iooss1 12770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑈) → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
7975, 77, 78syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
80 dvferm.s . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
8179, 80sstrd 3963 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
8252rexrd 10689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
83 xrmin1 12567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
8425, 28, 83syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
8582, 29, 25, 58, 84xrltletrd 12551 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 < 𝐵)
86 elioo2 12776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆𝑆 < 𝐵)))
8732, 25, 86syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆𝑆 < 𝐵)))
8852, 48, 85, 87mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵))
8981, 88sseldd 3954 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑋)
90 eldifsn 4704 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑈))
9189, 49, 90sylanbrc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
9273, 74, 91rspcdva 3611 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
9349, 62, 92mp2and 698 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
941, 89ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
9580, 10sseldd 3954 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝑋)
961, 95ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
9794, 96resubcld 11066 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ)
9852, 11resubcld 11066 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ)
9911, 52posdifd 11225 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 < 𝑆 ↔ 0 < (𝑆𝑈)))
10048, 99mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝑆𝑈))
10198, 100elrpd 12425 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ+)
10297, 101rerpdivcld 12459 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∈ ℝ)
103102, 6, 6absdifltd 14793 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
10493, 103mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
105104simpld 498 . . . . 5 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
1068, 105eqbrtrrd 5076 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
107 gt0div 11504 . . . . 5 ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑈)) → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
10897, 98, 100, 107syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
109106, 108mpbird 260 . . 3 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
11096, 94posdifd 11225 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑆) ↔ 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈))))
111109, 110mpbird 260 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
112 fveq2 6661 . . . . 5 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
113112breq1d 5062 . . . 4 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈)))
114 dvferm1.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
115113, 114, 88rspcdva 3611 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈))
11694, 96, 115lensymd 10789 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
117111, 116pm2.65i 197 1 ¬ 𝜑
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133   ∖ cdif 3916   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276  ifcif 4450  {csn 4550   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℝcr 10534  0cc0 10535   + caddc 10538  -∞cmnf 10671  ℝ*cxr 10672   < clt 10673   ≤ cle 10674   − cmin 10868   / cdiv 11295  2c2 11689  ℝ+crp 12386  (,)cioo 12735  abscabs 14593   D cdv 24472 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-icc 12742  df-fz 12895  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-rest 16696  df-topn 16697  df-topgen 16717  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-fbas 20095  df-fg 20096  df-cnfld 20099  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-cncf 23489  df-limc 24475  df-dv 24476 This theorem is referenced by:  dvferm1  24594
 Copyright terms: Public domain W3C validator