Theorem dvferm1lem 25864

Description: Lemma for dvferm 25868. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm1.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
dvferm1.z	⊢ (𝜑 → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
dvferm1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm1.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm1.x	⊢ 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)

Assertion

Ref	Expression
dvferm1lem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvferm.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2		dvferm.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
3		dvfre 25831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
5		dvferm.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
6	4, 5	ffvelcdmd 7039	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
8	7	subidd 11497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
9		ioossre 13344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
10		dvferm.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
11	9, 10	sselid 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
12		eliooord 13342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
14	13	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝐵)
15		dvferm1.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
16	11, 15	ltaddrpd 13004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝑈 + 𝑇))
17		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < 𝐵 ↔ 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
18		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < (𝑈 + 𝑇) ↔ 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
19	17, 18	ifboth 4524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 < 𝐵 ∧ 𝑈 < (𝑈 + 𝑇)) → 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
20	14, 16, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
21		ne0i 4300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
22		ndmioo 13309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
23	22	necon1ai 2952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
24	10, 21, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
25	24	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
26	15	rpred 12971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
27	11, 26	readdcld 11179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ)
28	27	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*)
29	25, 28	ifcld 4531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ*)
30		mnfxr 11207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
32	11	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
33	11	mnfltd 13060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑈)
34	31, 32, 25, 33, 14	xrlttrd 13095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐵)
35	27	mnfltd 13060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑈 + 𝑇))
36		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
37		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < (𝑈 + 𝑇) ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
38	36, 37	ifboth 4524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-∞ < 𝐵 ∧ -∞ < (𝑈 + 𝑇)) → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
39	34, 35, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
40		xrmin2 13114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
41	25, 28, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
42		xrre 13105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
43	29, 27, 39, 41, 42	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
44		avglt1 12396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
45	11, 43, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
46	20, 45	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2))
47		dvferm1.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)
48	46, 47	breqtrrdi 5144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑆)
49	11, 48	gtned 11285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑈)
50	11, 43	readdcld 11179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) ∈ ℝ)
51	50	rehalfcld 12405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) ∈ ℝ)
52	47, 51	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
53	11, 52, 48	ltled 11298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑆)
54	11, 52, 53	abssubge0d 15376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) = (𝑆 − 𝑈))
55		avglt2 12397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
56	11, 43, 55	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
57	20, 56	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
58	47, 57	eqbrtrid 5137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
59	52, 43, 27, 58, 41	ltletrd 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (𝑈 + 𝑇))
60	52, 11, 26	ltsubadd2d 11752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 − 𝑈) < 𝑇 ↔ 𝑆 < (𝑈 + 𝑇)))
61	59, 60	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) < 𝑇)
62	54, 61	eqbrtrd 5124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)
63		neeq1 2987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 ≠ 𝑈 ↔ 𝑆 ≠ 𝑈))
64		fvoveq1 7392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧 − 𝑈)) = (abs‘(𝑆 − 𝑈)))
65	64	breq1d 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇))
66	63, 65	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)))
67		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑆))
68	67	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) = ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
69		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 − 𝑈) = (𝑆 − 𝑈))
70	68, 69	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
71	70	fvoveq1d 7391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
72	71	breq1d 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
73	66, 72	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
74		dvferm1.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
75	24	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
76	13	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑈)
77	75, 32, 76	xrltled 13086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑈)
78		iooss1 13317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑈) → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
79	75, 77, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
80		dvferm.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
81	79, 80	sstrd 3954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
82	52	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
83		xrmin1 13113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
84	25, 28, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
85	82, 29, 25, 58, 84	xrltletrd 13097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < 𝐵)
86		elioo2 13323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐵)))
87	32, 25, 86	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐵)))
88	52, 48, 85, 87	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵))
89	81, 88	sseldd 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
90		eldifsn 4746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ 𝑈))
91	89, 49, 90	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
92	73, 74, 91	rspcdva 3586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
93	49, 62, 92	mp2and 699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
94	1, 89	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
95	80, 10	sseldd 3944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
96	1, 95	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
97	94, 96	resubcld 11582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ)
98	52, 11	resubcld 11582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ)
99	11, 52	posdifd 11741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝑆 ↔ 0 < (𝑆 − 𝑈)))
100	48, 99	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑆 − 𝑈))
101	98, 100	elrpd 12968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ+)
102	97, 101	rerpdivcld 13002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∈ ℝ)
103	102, 6, 6	absdifltd 15378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
104	93, 103	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
105	104	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
106	8, 105	eqbrtrrd 5126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
107		gt0div 12025	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 − 𝑈)) → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈))))
108	97, 98, 100, 107	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈))))
109	106, 108	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
110	96, 94	posdifd 11741	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈))))
111	109, 110	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
112		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
113	112	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈)))
114		dvferm1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
115	113, 114, 88	rspcdva 3586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈))
116	94, 96, 115	lensymd 11301	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
117	111, 116	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ifcif 4484  {csn 4585   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044   + caddc 11047  -∞cmnf 11182  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381   / cdiv 11811  2c2 12217  ℝ⁺crp 12927  (,)cioo 13282  abscabs 15176   D cdv 25740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-icc 13289  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17361  df-topn 17362  df-topgen 17382  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-lp 22999  df-perf 23000  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-haus 23178  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-xms 24184  df-ms 24185  df-cncf 24747  df-limc 25743  df-dv 25744

This theorem is referenced by:  dvferm1  25865