Theorem iooid 13217

Description: An open interval with identical lower and upper bounds is empty. (Contributed by NM, 21-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iooid	⊢ (𝐴(,)𝐴) = ∅

Proof of Theorem iooid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleid 12995	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)
2	1	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ 𝐴)
3		ioo0 13214	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
4	2, 3	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐴) = ∅)
5		ndmioo 13216	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐴) = ∅)
6	4, 5	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴(,)𝐴) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4277   class class class wbr 5100  (class class class)co 7346  ℝ^*cxr 11118   ≤ cle 11120  (,)cioo 13189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-sup 9308  df-inf 9309  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-n0 12344  df-z 12430  df-uz 12693  df-q 12799  df-ioo 13193

This theorem is referenced by:  ioorebas  13293  prunioo  13323  blssioo  24068  ioombl1  24836  ioorinv  24850  ismbf2d  24914  itgsplitioo  25112  ditg0  25127  ditgneg  25131  ftc2  25318  mblfinlem2  35971  ftc2nc  36015  areacirc  36026  ovolval4lem1  44576