Theorem mbfima 25622

Description: Definitional property of a measurable function: the preimage of an open right-unbounded interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfima	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf 25620	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
2	1	biimpac 479	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
3		ioof 13398	. . . . 5 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
4		ffn 6662	. . . . 5 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
6		fnovrn 7538	. . . 4 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) ∈ ran (,))
7	5, 6	mp3an1 1456	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) ∈ ran (,))
8		imaeq2 6015	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵(,)𝐶) → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)))
9	8	eleq1d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐵(,)𝐶) → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol))
10	9	rspccva 3566	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (𝐵(,)𝐶) ∈ ran (,)) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
11	2, 7, 10	syl2an 602	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
12		ndmioo 13323	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) = ∅)
13	12	imaeq2d 6019	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) = (◡𝐹 “ ∅))
14		ima0 6036	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ∅) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
16		0mbl 25531	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom vol
17	15, 16	eqeltrdi 2848	. . 3 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
18	17	adantl 482	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ ¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
19	11, 18	pm2.61dan 818	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4536   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626   “ cima 5628   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  ℝ^*cxr 11176  (,)cioo 13296  volcvol 25455  MblFncmbf 25606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xadd 13062  df-ioo 13300  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647  df-xmet 21347  df-met 21348  df-ovol 25456  df-vol 25457  df-mbf 25611

This theorem is referenced by:  mbfimaicc  25623  mbfres  25636  mbfmulc2lem  25639  mbfmax  25641  mbfposr  25644  mbfaddlem  25652  mbfsup  25656  mbfi1fseqlem4  25710  itg2monolem1  25742  itg2gt0  25752  itg2cnlem1  25753  itg2cnlem2  25754  mbfposadd  38041  itg2addnclem2  38046  iblabsnclem  38057  ftc1anclem1  38067  ftc1anclem5  38071  ftc1anclem6  38072  mbfresmf  47189