MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfima 24997
Description: Definitional property of a measurable function: the preimage of an open right-unbounded interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfima ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)𝐢)) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfima
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf 24995 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
21biimpac 480 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
3 ioof 13365 . . . . 5 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
4 ffn 6669 . . . . 5 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
6 fnovrn 7530 . . . 4 (((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) β†’ (𝐡(,)𝐢) ∈ ran (,))
75, 6mp3an1 1449 . . 3 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) β†’ (𝐡(,)𝐢) ∈ ran (,))
8 imaeq2 6010 . . . . 5 (π‘₯ = (𝐡(,)𝐢) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)𝐢)))
98eleq1d 2823 . . . 4 (π‘₯ = (𝐡(,)𝐢) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)𝐢)) ∈ dom vol))
109rspccva 3581 . . 3 ((βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (𝐡(,)𝐢) ∈ ran (,)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)𝐢)) ∈ dom vol)
112, 7, 10syl2an 597 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) ∧ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)𝐢)) ∈ dom vol)
12 ndmioo 13292 . . . . . 6 (Β¬ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) β†’ (𝐡(,)𝐢) = βˆ…)
1312imaeq2d 6014 . . . . 5 (Β¬ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)𝐢)) = (◑𝐹 β€œ βˆ…))
14 ima0 6030 . . . . 5 (◑𝐹 β€œ βˆ…) = βˆ…
1513, 14eqtrdi 2793 . . . 4 (Β¬ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)𝐢)) = βˆ…)
16 0mbl 24906 . . . 4 βˆ… ∈ dom vol
1715, 16eqeltrdi 2846 . . 3 (Β¬ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)𝐢)) ∈ dom vol)
1817adantl 483 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) ∧ Β¬ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)𝐢)) ∈ dom vol)
1911, 18pm2.61dan 812 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)𝐢)) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  (class class class)co 7358  β„cr 11051  β„*cxr 11189  (,)cioo 13265  volcvol 24830  MblFncmbf 24981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xadd 13035  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-xmet 20792  df-met 20793  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986
This theorem is referenced by:  mbfimaicc  24998  mbfres  25011  mbfmulc2lem  25014  mbfmax  25016  mbfposr  25019  mbfaddlem  25027  mbfsup  25031  mbfi1fseqlem4  25086  itg2monolem1  25118  itg2gt0  25128  itg2cnlem1  25129  itg2cnlem2  25130  mbfposadd  36128  itg2addnclem2  36133  iblabsnclem  36144  ftc1anclem1  36154  ftc1anclem5  36158  ftc1anclem6  36159  mbfresmf  44987
  Copyright terms: Public domain W3C validator