Theorem mbfima 25981

Description: Definitional property of a measurable function: the preimage of an open right-unbounded interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfima	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf 25979	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
2	1	biimpac 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
3		ioof 13605	. . . . 5 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
4		ffn 6731	. . . . 5 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
6		fnovrn 7620	. . . 4 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) ∈ ran (,))
7	5, 6	mp3an1 1478	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) ∈ ran (,))
8		imaeq2 6060	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵(,)𝐶) → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)))
9	8	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐵(,)𝐶) → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol))
10	9	rspccva 3579	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (𝐵(,)𝐶) ∈ ran (,)) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
11	2, 7, 10	syl2an 608	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
12		ndmioo 13530	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) = ∅)
13	12	imaeq2d 6064	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) = (◡𝐹 “ ∅))
14		ima0 6087	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ∅) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
16		0mbl 25890	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom vol
17	15, 16	eqeltrdi 2872	. . 3 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
18	17	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ ¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
19	11, 18	pm2.61dan 825	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  ℝ^*cxr 11369  (,)cioo 13503  volcvol 25814  MblFncmbf 25965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xadd 13269  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883  df-xmet 21701  df-met 21702  df-ovol 25815  df-vol 25816  df-mbf 25970

This theorem is used by:  mbfimaicc  25982  mbfres  25995  mbfmulc2lem  25998  mbfmax  26000  mbfposr  26003  mbfaddlem  26011  mbfsup  26015  mbfi1fseqlem4  26069  itg2monolem1  26101  itg2gt0  26111  itg2cnlem1  26112  itg2cnlem2  26113  mbfposadd  38777  itg2addnclem2  38782  iblabsnclem  38793  ftc1anclem1  38803  ftc1anclem5  38807  ftc1anclem6  38808  mbfresmf  47954