Theorem mbfima 25859

Description: Definitional property of a measurable function: the preimage of an open right-unbounded interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfima	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf 25857	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
2	1	biimpac 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
3		ioof 13502	. . . . 5 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
4		ffn 6706	. . . . 5 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
6		fnovrn 7592	. . . 4 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) ∈ ran (,))
7	5, 6	mp3an1 1477	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) ∈ ran (,))
8		imaeq2 6056	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵(,)𝐶) → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)))
9	8	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐵(,)𝐶) → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol))
10	9	rspccva 3578	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (𝐵(,)𝐶) ∈ ran (,)) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
11	2, 7, 10	syl2an 608	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
12		ndmioo 13427	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) = ∅)
13	12	imaeq2d 6060	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) = (◡𝐹 “ ∅))
14		ima0 6077	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ∅) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
16		0mbl 25768	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom vol
17	15, 16	eqeltrdi 2870	. . 3 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
18	17	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ ¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
19	11, 18	pm2.61dan 825	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ran crn 5660   “ cima 5662   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  ℝ^*cxr 11269  (,)cioo 13400  volcvol 25692  MblFncmbf 25843

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xadd 13166  df-ioo 13404  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-sum 15776  df-xmet 21579  df-met 21580  df-ovol 25693  df-vol 25694  df-mbf 25848

This theorem is used by:  mbfimaicc  25860  mbfres  25873  mbfmulc2lem  25876  mbfmax  25878  mbfposr  25881  mbfaddlem  25889  mbfsup  25893  mbfi1fseqlem4  25947  itg2monolem1  25979  itg2gt0  25989  itg2cnlem1  25990  itg2cnlem2  25991  mbfposadd  38403  itg2addnclem2  38408  iblabsnclem  38419  ftc1anclem1  38429  ftc1anclem5  38433  ftc1anclem6  38434  mbfresmf  47554