MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm2lem 24040
Description: Lemma for dvferm 24042. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
dvferm2.z (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
dvferm2.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm2.l (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm2.x 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
Assertion
Ref Expression
dvferm2lem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm2lem
StepHypRef Expression
1 dvferm2.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
2 mnfxr 10350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
4 ioossre 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
5 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
64, 5sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
7 dvferm2.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
87rpred 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
96, 8resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑈𝑇) ∈ ℝ)
109rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈𝑇) ∈ ℝ*)
11 ne0i 4085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
12 ndmioo 12404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
1312necon1ai 2964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
145, 11, 133syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
1514simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1610, 15ifcld 4288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*)
176rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
18 mnflt 12157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈𝑇) ∈ ℝ → -∞ < (𝑈𝑇))
199, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -∞ < (𝑈𝑇))
20 xrmax2 12209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈𝑇) ∈ ℝ*) → (𝑈𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
2115, 10, 20syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
223, 10, 16, 19, 21xrltletrd 12194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
236, 7ltsubrpd 12102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈𝑇) < 𝑈)
24 eliooord 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
255, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
2625simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 < 𝑈)
27 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈𝑇) = if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) → ((𝑈𝑇) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈))
28 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 = if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) → (𝐴 < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈))
2927, 28ifboth 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑈𝑇) < 𝑈𝐴 < 𝑈) → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)
3023, 26, 29syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)
31 xrre2 12203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)) → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
323, 16, 17, 22, 30, 31syl32anc 1497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
3332, 6readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) ∈ ℝ)
3433rehalfcld 11525 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) ∈ ℝ)
351, 34syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
36 avglt2 11517 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
3732, 6, 36syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
3830, 37mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈)
391, 38syl5eqbr 4844 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 < 𝑈)
4035, 39ltned 10427 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆𝑈)
4135, 6, 39ltled 10439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆𝑈)
4235, 6, 41abssuble0d 14456 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) = (𝑈𝑆))
43 avglt1 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
4432, 6, 43syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
4530, 44mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2))
4645, 1syl6breqr 4851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑆)
479, 32, 35, 21, 46lelttrd 10449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈𝑇) < 𝑆)
486, 8, 35, 47ltsub23d 10886 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈𝑆) < 𝑇)
4942, 48eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)
5040, 49jca 507 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
51 neeq1 2999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈𝑆𝑈))
52 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧𝑈)) = (abs‘(𝑆𝑈)))
5352breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
5451, 53anbi12d 624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)))
55 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑆 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑆))
5655oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) = ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
57 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈) = (𝑆𝑈))
5856, 57oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
5958fvoveq1d 6864 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
6059breq1d 4819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6154, 60imbi12d 335 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
62 dvferm2.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6314simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6425simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 < 𝐵)
6517, 63, 64xrltled 12183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈𝐵)
66 iooss2 12413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑈𝐵) → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
6763, 65, 66syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
68 dvferm.s . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
6967, 68sstrd 3771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ 𝑋)
7035rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
71 xrmax1 12208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈𝑇) ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
7215, 10, 71syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
7315, 16, 70, 72, 46xrlelttrd 12193 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 < 𝑆)
74 elioo2 12418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆𝑆 < 𝑈)))
7515, 17, 74syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆𝑆 < 𝑈)))
7635, 73, 39, 75mpbir3and 1442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈))
7769, 76sseldd 3762 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆𝑋)
78 eldifsn 4472 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑈))
7977, 40, 78sylanbrc 578 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
8061, 62, 79rspcdva 3467 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
8150, 80mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
82 dvferm.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
8382, 77ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
8468, 5sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈𝑋)
8582, 84ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
8683, 85resubcld 10712 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ)
8735, 6resubcld 10712 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ)
8835recnd 10322 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
896recnd 10322 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
9088, 89, 40subne0d 10655 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝑈) ≠ 0)
9186, 87, 90redivcld 11107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∈ ℝ)
92 dvferm.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
93 dvfre 24005 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
9482, 92, 93syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
95 dvferm.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
9694, 95ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
9796renegcld 10711 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
9891, 96, 97absdifltd 14457 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
9981, 98mpbid 223 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
10099simprd 489 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
10196recnd 10322 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
102101negidd 10636 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
103100, 102breqtrd 4835 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < 0)
10491lt0neg1d 10851 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < 0 ↔ 0 < -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
105103, 104mpbid 223 . . . . 5 (𝜑 → 0 < -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
10686recnd 10322 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℂ)
10787recnd 10322 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℂ)
108106, 107, 90divneg2d 11069 . . . . 5 (𝜑 → -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈)))
109105, 108breqtrd 4835 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈)))
11087renegcld 10711 . . . . 5 (𝜑 → -(𝑆𝑈) ∈ ℝ)
11135, 6posdifd 10868 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 < 𝑈 ↔ 0 < (𝑈𝑆)))
11239, 111mpbid 223 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (𝑈𝑆))
11388, 89negsubdi2d 10662 . . . . . 6 (𝜑 → -(𝑆𝑈) = (𝑈𝑆))
114112, 113breqtrrd 4837 . . . . 5 (𝜑 → 0 < -(𝑆𝑈))
115 gt0div 11143 . . . . 5 ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ ∧ -(𝑆𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < -(𝑆𝑈)) → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈))))
11686, 110, 114, 115syl3anc 1490 . . . 4 (𝜑 → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈))))
117109, 116mpbird 248 . . 3 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
11885, 83posdifd 10868 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑆) ↔ 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈))))
119117, 118mpbird 248 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
120 fveq2 6375 . . . . 5 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
121120breq1d 4819 . . . 4 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈)))
122 dvferm2.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
123121, 122, 76rspcdva 3467 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈))
12483, 85lenltd 10437 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈) ↔ ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆)))
125123, 124mpbid 223 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
126119, 125pm2.65i 185 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  cdif 3729  wss 3732  c0 4079  ifcif 4243  {csn 4334   class class class wbr 4809  dom cdm 5277  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189   + caddc 10192  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  2c2 11327  +crp 12028  (,)cioo 12377  abscabs 14259   D cdv 23918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-icc 12384  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-rest 16349  df-topn 16350  df-topgen 16370  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  dvferm2  24041
  Copyright terms: Public domain W3C validator