Theorem dvferm2lem 25906

Description: Lemma for dvferm 25908. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
dvferm2.z	⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
dvferm2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm2.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm2.x	⊢ 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)

Assertion

Ref	Expression
dvferm2lem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvferm2.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
2		mnfxr 11191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
4		ioossre 13328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
5		dvferm.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6	4, 5	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
7		dvferm2.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 12955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
9	6, 8	resubcld 11566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ*)
11		ne0i 4294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
12		ndmioo 13293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
13	12	necon1ai 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
14	5, 11, 13	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
15	14	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
16	10, 15	ifcld 4525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*)
17	6	rexrd 11184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
18	9	mnfltd 13044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑈 − 𝑇))
19		xrmax2 13096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ*) → (𝑈 − 𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
20	15, 10, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
21	3, 10, 16, 18, 20	xrltletrd 13081	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
22	6, 7	ltsubrpd 12987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) < 𝑈)
23		eliooord 13326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
24	5, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
25	24	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑈)
26		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 − 𝑇) = if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) → ((𝑈 − 𝑇) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈))
27		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) → (𝐴 < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈))
28	26, 27	ifboth 4518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑈 − 𝑇) < 𝑈 ∧ 𝐴 < 𝑈) → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈)
29	22, 25, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈)
30		xrre2 13090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈)) → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
31	3, 16, 17, 21, 29, 30	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
32	31, 6	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) ∈ ℝ)
33	32	rehalfcld 12389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) ∈ ℝ)
34	1, 33	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
35		avglt2 12381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
36	31, 6, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
37	29, 36	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈)
38	1, 37	eqbrtrid 5130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < 𝑈)
39	34, 38	ltned 11270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑈)
40	34, 6, 38	ltled 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝑈)
41	34, 6, 40	abssuble0d 15360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) = (𝑈 − 𝑆))
42		avglt1 12380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
43	31, 6, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
44	29, 43	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2))
45	44, 1	breqtrrdi 5137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑆)
46	9, 31, 34, 20, 45	lelttrd 11292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) < 𝑆)
47	6, 8, 34, 46	ltsub23d 11743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑆) < 𝑇)
48	41, 47	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)
49		neeq1 2987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 ≠ 𝑈 ↔ 𝑆 ≠ 𝑈))
50		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧 − 𝑈)) = (abs‘(𝑆 − 𝑈)))
51	50	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇))
52	49, 51	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)))
53		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑆))
54	53	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) = ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
55		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 − 𝑈) = (𝑆 − 𝑈))
56	54, 55	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
57	56	fvoveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
58	57	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
59	52, 58	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
60		dvferm2.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
61	14	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
62	24	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝐵)
63	17, 61, 62	xrltled 13070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐵)
64		iooss2 13302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
65	61, 63, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
66		dvferm.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
67	65, 66	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ 𝑋)
68	34	rexrd 11184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
69		xrmax1 13095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
70	15, 10, 69	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
71	15, 16, 68, 70, 45	xrlelttrd 13080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑆)
72		elioo2 13307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑈)))
73	15, 17, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑈)))
74	34, 71, 38, 73	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈))
75	67, 74	sseldd 3938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
76		eldifsn 4740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ 𝑈))
77	75, 39, 76	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
78	59, 60, 77	rspcdva 3580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
79	39, 48, 78	mp2and 699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
80		dvferm.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
81	80, 75	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
82	66, 5	sseldd 3938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
83	80, 82	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
84	81, 83	resubcld 11566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ)
85	34, 6	resubcld 11566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ)
86	34	recnd 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
87	6	recnd 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
88	86, 87, 39	subne0d 11502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ≠ 0)
89	84, 85, 88	redivcld 11970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∈ ℝ)
90		dvferm.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
91		dvfre 25871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
92	80, 90, 91	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
93		dvferm.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
94	92, 93	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
95	94	renegcld 11565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
96	89, 94, 95	absdifltd 15361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
97	79, 96	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
98	97	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
99	94	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
100	99	negidd 11483	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
101	98, 100	breqtrd 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < 0)
102	89	lt0neg1d 11707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < 0 ↔ 0 < -(((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈))))
103	101, 102	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < -(((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
104	84	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℂ)
105	85	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℂ)
106	104, 105, 88	divneg2d 11932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈)))
107	103, 106	breqtrd 5121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈)))
108	85	renegcld 11565	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ)
109	34, 6	posdifd 11725	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < 𝑈 ↔ 0 < (𝑈 − 𝑆)))
110	38, 109	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑈 − 𝑆))
111	86, 87	negsubdi2d 11509	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝑆 − 𝑈) = (𝑈 − 𝑆))
112	110, 111	breqtrrd 5123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < -(𝑆 − 𝑈))
113		gt0div 12009	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ ∧ -(𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < -(𝑆 − 𝑈)) → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈))))
114	84, 108, 112, 113	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈))))
115	107, 114	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
116	83, 81	posdifd 11725	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈))))
117	115, 116	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
118		fveq2 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
119	118	breq1d 5105	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈)))
120		dvferm2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
121	119, 120, 74	rspcdva 3580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈))
122	81, 83, 121	lensymd 11285	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
123	117, 122	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ifcif 4478  {csn 4579   class class class wbr 5095  dom cdm 5623  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028   + caddc 11031  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365  -cneg 11366   / cdiv 11795  2c2 12201  ℝ⁺crp 12911  (,)cioo 13266  abscabs 15159   D cdv 25780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-icc 13273  df-fz 13429  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-rest 17344  df-topn 17345  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784

This theorem is referenced by:  dvferm2  25907