MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm2lem 25873
Description: Lemma for dvferm 25875. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
dvferm.b (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
dvferm.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (𝐴(,)𝐡))
dvferm.s (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝑋)
dvferm.d (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘ˆ))
dvferm2.z (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) < 0)
dvferm2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm2.l (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 βˆ– {π‘ˆ})((𝑧 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))
dvferm2.x 𝑆 = ((if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) + π‘ˆ) / 2)
Assertion
Ref Expression
dvferm2lem Β¬ πœ‘
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐡,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,π‘ˆ,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   πœ‘,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm2lem
StepHypRef Expression
1 dvferm2.x . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = ((if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) + π‘ˆ) / 2)
2 mnfxr 11275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
4 ioossre 13391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
5 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (𝐴(,)𝐡))
64, 5sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
7 dvferm2.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
87rpred 13022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
96, 8resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
109rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ*)
11 ne0i 4329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ˆ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ…)
12 ndmioo 13357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(,)𝐡) = βˆ…)
1312necon1ai 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
145, 11, 133syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
1514simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1610, 15ifcld 4569 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*)
176rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ*)
189mnfltd 13110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ -∞ < (π‘ˆ βˆ’ 𝑇))
19 xrmax2 13161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ*) β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇) ≀ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴))
2015, 10, 19syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇) ≀ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴))
213, 10, 16, 18, 20xrltletrd 13146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ -∞ < if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴))
226, 7ltsubrpd 13054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇) < π‘ˆ)
23 eliooord 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ˆ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < 𝐡))
245, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < 𝐡))
2524simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 < π‘ˆ)
26 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ˆ βˆ’ 𝑇) = if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝑇) < π‘ˆ ↔ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) < π‘ˆ))
27 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 = if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) β†’ (𝐴 < π‘ˆ ↔ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) < π‘ˆ))
2826, 27ifboth 4562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘ˆ βˆ’ 𝑇) < π‘ˆ ∧ 𝐴 < π‘ˆ) β†’ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) < π‘ˆ)
2922, 25, 28syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) < π‘ˆ)
30 xrre2 13155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ* ∧ π‘ˆ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) ∧ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) < π‘ˆ)) β†’ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
313, 16, 17, 21, 29, 30syl32anc 1375 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
3231, 6readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) + π‘ˆ) ∈ ℝ)
3332rehalfcld 12463 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) + π‘ˆ) / 2) ∈ ℝ)
341, 33eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
35 avglt2 12455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ (if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) < π‘ˆ ↔ ((if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) + π‘ˆ) / 2) < π‘ˆ))
3631, 6, 35syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) < π‘ˆ ↔ ((if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) + π‘ˆ) / 2) < π‘ˆ))
3729, 36mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) + π‘ˆ) / 2) < π‘ˆ)
381, 37eqbrtrid 5176 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 < π‘ˆ)
3934, 38ltned 11354 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  π‘ˆ)
4034, 6, 38ltled 11366 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ π‘ˆ)
4134, 6, 40abssuble0d 15385 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) = (π‘ˆ βˆ’ 𝑆))
42 avglt1 12454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ (if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) < π‘ˆ ↔ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) + π‘ˆ) / 2)))
4331, 6, 42syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) < π‘ˆ ↔ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) + π‘ˆ) / 2)))
4429, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) + π‘ˆ) / 2))
4544, 1breqtrrdi 5183 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴) < 𝑆)
469, 31, 34, 20, 45lelttrd 11376 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇) < 𝑆)
476, 8, 34, 46ltsub23d 11823 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝑆) < 𝑇)
4841, 47eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇)
49 neeq1 2997 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 β†’ (𝑧 β‰  π‘ˆ ↔ 𝑆 β‰  π‘ˆ))
50 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) = (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)))
5150breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇 ↔ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇))
5249, 51anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((𝑧 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) ↔ (𝑆 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇)))
53 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘†))
5453oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) = ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)))
55 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 β†’ (𝑧 βˆ’ π‘ˆ) = (𝑆 βˆ’ π‘ˆ))
5654, 55oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) = (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)))
5756fvoveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))))
5857breq1d 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((absβ€˜((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) ↔ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))
5952, 58imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 β†’ (((𝑧 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)) ↔ ((𝑆 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))))
60 dvferm2.l . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 βˆ– {π‘ˆ})((𝑧 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑧 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))
6114simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
6224simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < 𝐡)
6317, 61, 62xrltled 13135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝐡)
64 iooss2 13366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘ˆ ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)π‘ˆ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
6561, 63, 64syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)π‘ˆ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
66 dvferm.s . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝑋)
6765, 66sstrd 3987 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)π‘ˆ) βŠ† 𝑋)
6834rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
69 xrmax1 13160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ*) β†’ 𝐴 ≀ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴))
7015, 10, 69syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ if(𝐴 ≀ (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), (π‘ˆ βˆ’ 𝑇), 𝐴))
7115, 16, 68, 70, 45xrlelttrd 13145 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝑆)
72 elioo2 13371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘ˆ ∈ ℝ*) β†’ (𝑆 ∈ (𝐴(,)π‘ˆ) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆 ∧ 𝑆 < π‘ˆ)))
7315, 17, 72syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ (𝐴(,)π‘ˆ) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆 ∧ 𝑆 < π‘ˆ)))
7434, 71, 38, 73mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (𝐴(,)π‘ˆ))
7567, 74sseldd 3978 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
76 eldifsn 4785 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (𝑋 βˆ– {π‘ˆ}) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  π‘ˆ))
7775, 39, 76sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (𝑋 βˆ– {π‘ˆ}))
7859, 60, 77rspcdva 3607 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β‰  π‘ˆ ∧ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 𝑇) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))
7939, 48, 78mp2and 696 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))
80 dvferm.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
8180, 75ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
8266, 5sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
8380, 82ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) ∈ ℝ)
8481, 83resubcld 11646 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ)
8534, 6resubcld 11646 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ)
8634recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
876recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
8886, 87, 39subne0d 11584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ π‘ˆ) β‰  0)
8984, 85, 88redivcld 12046 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) ∈ ℝ)
90 dvferm.b . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
91 dvfre 25838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
9280, 90, 91syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
93 dvferm.d . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
9492, 93ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ)
9594renegcld 11645 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ)
9689, 94, 95absdifltd 15386 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) βˆ’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))) < -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) ↔ ((((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) βˆ’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)) < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) ∧ (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) + -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))))
9779, 96mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) βˆ’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)) < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) ∧ (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) + -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ))))
9897simprd 495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) + -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)))
9994recnd 11246 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) ∈ β„‚)
10099negidd 11565 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ) + -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘ˆ)) = 0)
10198, 100breqtrd 5167 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 0)
10289lt0neg1d 11787 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) < 0 ↔ 0 < -(((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ))))
103101, 102mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < -(((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)))
10484recnd 11246 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∈ β„‚)
10585recnd 11246 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ π‘ˆ) ∈ β„‚)
106104, 105, 88divneg2d 12008 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -(((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / (𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) = (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / -(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)))
107103, 106breqtrd 5167 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / -(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)))
10885renegcld 11645 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -(𝑆 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ)
10934, 6posdifd 11805 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 < π‘ˆ ↔ 0 < (π‘ˆ βˆ’ 𝑆)))
11038, 109mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < (π‘ˆ βˆ’ 𝑆))
11186, 87negsubdi2d 11591 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -(𝑆 βˆ’ π‘ˆ) = (π‘ˆ βˆ’ 𝑆))
112110, 111breqtrrd 5169 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < -(𝑆 βˆ’ π‘ˆ))
113 gt0div 12084 . . . . 5 ((((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∈ ℝ ∧ -(𝑆 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ ∧ 0 < -(𝑆 βˆ’ π‘ˆ)) β†’ (0 < ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) ↔ 0 < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / -(𝑆 βˆ’ π‘ˆ))))
11484, 108, 112, 113syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 < ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) ↔ 0 < (((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)) / -(𝑆 βˆ’ π‘ˆ))))
115107, 114mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ)))
11683, 81posdifd 11805 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) < (πΉβ€˜π‘†) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π‘†) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ˆ))))
117115, 116mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) < (πΉβ€˜π‘†))
118 fveq2 6885 . . . . 5 (𝑦 = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘†))
119118breq1d 5151 . . . 4 (𝑦 = 𝑆 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘ˆ) ↔ (πΉβ€˜π‘†) ≀ (πΉβ€˜π‘ˆ)))
120 dvferm2.r . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘ˆ))
121119, 120, 74rspcdva 3607 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) ≀ (πΉβ€˜π‘ˆ))
12281, 83, 121lensymd 11369 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘ˆ) < (πΉβ€˜π‘†))
123117, 122pm2.65i 193 1 Β¬ πœ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  β„+crp 12980  (,)cioo 13330  abscabs 15187   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-icc 13337  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  dvferm2  25874
  Copyright terms: Public domain W3C validator