MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm2lem 26039
Description: Lemma for dvferm 26041. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
dvferm2.z (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
dvferm2.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm2.l (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm2.x 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
Assertion
Ref Expression
dvferm2lem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm2lem
StepHypRef Expression
1 dvferm2.x . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
2 mnfxr 11316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
4 ioossre 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
5 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
64, 5sselid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
7 dvferm2.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
87rpred 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
96, 8resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈𝑇) ∈ ℝ)
109rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑈𝑇) ∈ ℝ*)
11 ne0i 4347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
12 ndmioo 13411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
1312necon1ai 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
145, 11, 133syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
1514simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1610, 15ifcld 4577 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*)
176rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
189mnfltd 13164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -∞ < (𝑈𝑇))
19 xrmax2 13215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈𝑇) ∈ ℝ*) → (𝑈𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
2015, 10, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑈𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
213, 10, 16, 18, 20xrltletrd 13200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
226, 7ltsubrpd 13107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑈𝑇) < 𝑈)
23 eliooord 13443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
245, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
2524simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 < 𝑈)
26 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈𝑇) = if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) → ((𝑈𝑇) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈))
27 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 = if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) → (𝐴 < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈))
2826, 27ifboth 4570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑈𝑇) < 𝑈𝐴 < 𝑈) → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)
2922, 25, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)
30 xrre2 13209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)) → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
313, 16, 17, 21, 29, 30syl32anc 1377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
3231, 6readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) ∈ ℝ)
3332rehalfcld 12511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) ∈ ℝ)
341, 33eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
35 avglt2 12503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
3631, 6, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
3729, 36mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈)
381, 37eqbrtrid 5183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 < 𝑈)
3934, 38ltned 11395 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑈)
4034, 6, 38ltled 11407 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆𝑈)
4134, 6, 40abssuble0d 15468 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) = (𝑈𝑆))
42 avglt1 12502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
4331, 6, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
4429, 43mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2))
4544, 1breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑆)
469, 31, 34, 20, 45lelttrd 11417 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈𝑇) < 𝑆)
476, 8, 34, 46ltsub23d 11866 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈𝑆) < 𝑇)
4841, 47eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)
49 neeq1 3001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈𝑆𝑈))
50 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧𝑈)) = (abs‘(𝑆𝑈)))
5150breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
5249, 51anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)))
53 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑆 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑆))
5453oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) = ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
55 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈) = (𝑆𝑈))
5654, 55oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
5756fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
5857breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
5952, 58imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
60 dvferm2.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6114simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6224simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 < 𝐵)
6317, 61, 62xrltled 13189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈𝐵)
64 iooss2 13420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑈𝐵) → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
6561, 63, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
66 dvferm.s . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
6765, 66sstrd 4006 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ 𝑋)
6834rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
69 xrmax1 13214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈𝑇) ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
7015, 10, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
7115, 16, 68, 70, 45xrlelttrd 13199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 < 𝑆)
72 elioo2 13425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆𝑆 < 𝑈)))
7315, 17, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆𝑆 < 𝑈)))
7434, 71, 38, 73mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈))
7567, 74sseldd 3996 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆𝑋)
76 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑈))
7775, 39, 76sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
7859, 60, 77rspcdva 3623 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7939, 48, 78mp2and 699 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
80 dvferm.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
8180, 75ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
8266, 5sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈𝑋)
8380, 82ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
8481, 83resubcld 11689 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ)
8534, 6resubcld 11689 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ)
8634recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
876recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
8886, 87, 39subne0d 11627 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝑈) ≠ 0)
8984, 85, 88redivcld 12093 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∈ ℝ)
90 dvferm.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
91 dvfre 26004 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
9280, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
93 dvferm.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
9492, 93ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
9594renegcld 11688 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
9689, 94, 95absdifltd 15469 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
9779, 96mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
9897simprd 495 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
9994recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
10099negidd 11608 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
10198, 100breqtrd 5174 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < 0)
10289lt0neg1d 11830 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < 0 ↔ 0 < -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
103101, 102mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → 0 < -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
10484recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℂ)
10585recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℂ)
106104, 105, 88divneg2d 12055 . . . . 5 (𝜑 → -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈)))
107103, 106breqtrd 5174 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈)))
10885renegcld 11688 . . . . 5 (𝜑 → -(𝑆𝑈) ∈ ℝ)
10934, 6posdifd 11848 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 < 𝑈 ↔ 0 < (𝑈𝑆)))
11038, 109mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (𝑈𝑆))
11186, 87negsubdi2d 11634 . . . . . 6 (𝜑 → -(𝑆𝑈) = (𝑈𝑆))
112110, 111breqtrrd 5176 . . . . 5 (𝜑 → 0 < -(𝑆𝑈))
113 gt0div 12132 . . . . 5 ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ ∧ -(𝑆𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < -(𝑆𝑈)) → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈))))
11484, 108, 112, 113syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈))))
115107, 114mpbird 257 . . 3 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
11683, 81posdifd 11848 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑆) ↔ 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈))))
117115, 116mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
118 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
119118breq1d 5158 . . . 4 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈)))
120 dvferm2.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
121119, 120, 74rspcdva 3623 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈))
12281, 83, 121lensymd 11410 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
123117, 122pm2.65i 194 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  cdif 3960  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  +crp 13032  (,)cioo 13384  abscabs 15270   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  dvferm2  26040
  Copyright terms: Public domain W3C validator