MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm2lem 24155
Description: Lemma for dvferm 24157. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
dvferm2.z (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
dvferm2.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm2.l (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm2.x 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
Assertion
Ref Expression
dvferm2lem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm2lem
StepHypRef Expression
1 dvferm2.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
2 mnfxr 10421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
4 ioossre 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
5 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
64, 5sseldi 3825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
7 dvferm2.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
87rpred 12163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
96, 8resubcld 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑈𝑇) ∈ ℝ)
109rexrd 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈𝑇) ∈ ℝ*)
11 ne0i 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
12 ndmioo 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
1312necon1ai 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
145, 11, 133syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
1514simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1610, 15ifcld 4353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*)
176rexrd 10413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
18 mnflt 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈𝑇) ∈ ℝ → -∞ < (𝑈𝑇))
199, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -∞ < (𝑈𝑇))
20 xrmax2 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈𝑇) ∈ ℝ*) → (𝑈𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
2115, 10, 20syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
223, 10, 16, 19, 21xrltletrd 12287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
236, 7ltsubrpd 12195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈𝑇) < 𝑈)
24 eliooord 12528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
255, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
2625simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 < 𝑈)
27 breq1 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈𝑇) = if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) → ((𝑈𝑇) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈))
28 breq1 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 = if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) → (𝐴 < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈))
2927, 28ifboth 4346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑈𝑇) < 𝑈𝐴 < 𝑈) → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)
3023, 26, 29syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)
31 xrre2 12296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)) → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
323, 16, 17, 22, 30, 31syl32anc 1501 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
3332, 6readdcld 10393 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) ∈ ℝ)
3433rehalfcld 11612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) ∈ ℝ)
351, 34syl5eqel 2910 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
36 avglt2 11604 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
3732, 6, 36syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
3830, 37mpbid 224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈)
391, 38syl5eqbr 4910 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 < 𝑈)
4035, 39ltned 10499 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆𝑈)
4135, 6, 39ltled 10511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆𝑈)
4235, 6, 41abssuble0d 14555 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) = (𝑈𝑆))
43 avglt1 11603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
4432, 6, 43syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
4530, 44mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2))
4645, 1syl6breqr 4917 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑆)
479, 32, 35, 21, 46lelttrd 10521 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈𝑇) < 𝑆)
486, 8, 35, 47ltsub23d 10964 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈𝑆) < 𝑇)
4942, 48eqbrtrd 4897 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)
5040, 49jca 507 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
51 neeq1 3061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈𝑆𝑈))
52 fvoveq1 6933 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧𝑈)) = (abs‘(𝑆𝑈)))
5352breq1d 4885 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
5451, 53anbi12d 624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)))
55 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑆 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑆))
5655oveq1d 6925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) = ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
57 oveq1 6917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈) = (𝑆𝑈))
5856, 57oveq12d 6928 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
5958fvoveq1d 6932 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
6059breq1d 4885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6154, 60imbi12d 336 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
62 dvferm2.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6314simprd 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6425simprd 491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 < 𝐵)
6517, 63, 64xrltled 12276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈𝐵)
66 iooss2 12506 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑈𝐵) → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
6763, 65, 66syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
68 dvferm.s . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
6967, 68sstrd 3837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ 𝑋)
7035rexrd 10413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
71 xrmax1 12301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈𝑇) ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
7215, 10, 71syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
7315, 16, 70, 72, 46xrlelttrd 12286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 < 𝑆)
74 elioo2 12511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆𝑆 < 𝑈)))
7515, 17, 74syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆𝑆 < 𝑈)))
7635, 73, 39, 75mpbir3and 1446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈))
7769, 76sseldd 3828 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆𝑋)
78 eldifsn 4538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑈))
7977, 40, 78sylanbrc 578 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
8061, 62, 79rspcdva 3532 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
8150, 80mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
82 dvferm.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
8382, 77ffvelrnd 6614 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
8468, 5sseldd 3828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈𝑋)
8582, 84ffvelrnd 6614 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
8683, 85resubcld 10789 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ)
8735, 6resubcld 10789 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ)
8835recnd 10392 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
896recnd 10392 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
9088, 89, 40subne0d 10729 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝑈) ≠ 0)
9186, 87, 90redivcld 11186 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∈ ℝ)
92 dvferm.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
93 dvfre 24120 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
9482, 92, 93syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
95 dvferm.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
9694, 95ffvelrnd 6614 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
9796renegcld 10788 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
9891, 96, 97absdifltd 14556 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
9981, 98mpbid 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
10099simprd 491 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
10196recnd 10392 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
102101negidd 10710 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
103100, 102breqtrd 4901 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < 0)
10491lt0neg1d 10928 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < 0 ↔ 0 < -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
105103, 104mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → 0 < -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
10686recnd 10392 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℂ)
10787recnd 10392 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℂ)
108106, 107, 90divneg2d 11148 . . . . 5 (𝜑 → -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈)))
109105, 108breqtrd 4901 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈)))
11087renegcld 10788 . . . . 5 (𝜑 → -(𝑆𝑈) ∈ ℝ)
11135, 6posdifd 10946 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 < 𝑈 ↔ 0 < (𝑈𝑆)))
11239, 111mpbid 224 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (𝑈𝑆))
11388, 89negsubdi2d 10736 . . . . . 6 (𝜑 → -(𝑆𝑈) = (𝑈𝑆))
114112, 113breqtrrd 4903 . . . . 5 (𝜑 → 0 < -(𝑆𝑈))
115 gt0div 11226 . . . . 5 ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ ∧ -(𝑆𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < -(𝑆𝑈)) → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈))))
11686, 110, 114, 115syl3anc 1494 . . . 4 (𝜑 → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈))))
117109, 116mpbird 249 . . 3 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
11885, 83posdifd 10946 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑆) ↔ 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈))))
119117, 118mpbird 249 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
120 fveq2 6437 . . . . 5 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
121120breq1d 4885 . . . 4 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈)))
122 dvferm2.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
123121, 122, 76rspcdva 3532 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈))
12483, 85lenltd 10509 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈) ↔ ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆)))
125123, 124mpbid 224 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
126119, 125pm2.65i 186 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  cdif 3795  wss 3798  c0 4146  ifcif 4308  {csn 4399   class class class wbr 4875  dom cdm 5346  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910  cr 10258  0cc0 10259   + caddc 10262  -∞cmnf 10396  *cxr 10397   < clt 10398  cle 10399  cmin 10592  -cneg 10593   / cdiv 11016  2c2 11413  +crp 12119  (,)cioo 12470  abscabs 14358   D cdv 24033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-icc 12477  df-fz 12627  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-rest 16443  df-topn 16444  df-topgen 16464  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-lp 21318  df-perf 21319  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-haus 21497  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-cncf 23058  df-limc 24036  df-dv 24037
This theorem is referenced by:  dvferm2  24156
  Copyright terms: Public domain W3C validator