Theorem dvferm2lem 25963

Description: Lemma for dvferm 25965. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
dvferm2.z	⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
dvferm2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm2.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm2.x	⊢ 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)

Assertion

Ref	Expression
dvferm2lem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvferm2.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
2		mnfxr 11193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
4		ioossre 13351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
5		dvferm.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6	4, 5	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
7		dvferm2.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 12977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
9	6, 8	resubcld 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ*)
11		ne0i 4282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
12		ndmioo 13316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
13	12	necon1ai 2960	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
14	5, 11, 13	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
15	14	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
16	10, 15	ifcld 4514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*)
17	6	rexrd 11186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
18	9	mnfltd 13066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑈 − 𝑇))
19		xrmax2 13119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ*) → (𝑈 − 𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
20	15, 10, 19	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
21	3, 10, 16, 18, 20	xrltletrd 13103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
22	6, 7	ltsubrpd 13009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) < 𝑈)
23		eliooord 13349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
24	5, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
25	24	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑈)
26		breq1 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 − 𝑇) = if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) → ((𝑈 − 𝑇) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈))
27		breq1 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) → (𝐴 < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈))
28	26, 27	ifboth 4507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑈 − 𝑇) < 𝑈 ∧ 𝐴 < 𝑈) → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈)
29	22, 25, 28	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈)
30		xrre2 13113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈)) → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
31	3, 16, 17, 21, 29, 30	syl32anc 1381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
32	31, 6	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) ∈ ℝ)
33	32	rehalfcld 12415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) ∈ ℝ)
34	1, 33	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
35		avglt2 12407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
36	31, 6, 35	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
37	29, 36	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈)
38	1, 37	eqbrtrid 5121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < 𝑈)
39	34, 38	ltned 11273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑈)
40	34, 6, 38	ltled 11285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝑈)
41	34, 6, 40	abssuble0d 15388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) = (𝑈 − 𝑆))
42		avglt1 12406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
43	31, 6, 42	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
44	29, 43	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2))
45	44, 1	breqtrrdi 5128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑆)
46	9, 31, 34, 20, 45	lelttrd 11295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) < 𝑆)
47	6, 8, 34, 46	ltsub23d 11746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑆) < 𝑇)
48	41, 47	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)
49		neeq1 2995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 ≠ 𝑈 ↔ 𝑆 ≠ 𝑈))
50		fvoveq1 7383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧 − 𝑈)) = (abs‘(𝑆 − 𝑈)))
51	50	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇))
52	49, 51	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)))
53		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑆))
54	53	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) = ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
55		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 − 𝑈) = (𝑆 − 𝑈))
56	54, 55	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
57	56	fvoveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
58	57	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
59	52, 58	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
60		dvferm2.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
61	14	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
62	24	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝐵)
63	17, 61, 62	xrltled 13092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐵)
64		iooss2 13325	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
65	61, 63, 64	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
66		dvferm.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
67	65, 66	sstrd 3933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ 𝑋)
68	34	rexrd 11186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
69		xrmax1 13118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
70	15, 10, 69	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
71	15, 16, 68, 70, 45	xrlelttrd 13102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑆)
72		elioo2 13330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑈)))
73	15, 17, 72	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑈)))
74	34, 71, 38, 73	mpbir3and 1344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈))
75	67, 74	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
76		eldifsn 4730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ 𝑈))
77	75, 39, 76	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
78	59, 60, 77	rspcdva 3566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
79	39, 48, 78	mp2and 700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
80		dvferm.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
81	80, 75	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
82	66, 5	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
83	80, 82	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
84	81, 83	resubcld 11569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ)
85	34, 6	resubcld 11569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ)
86	34	recnd 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
87	6	recnd 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
88	86, 87, 39	subne0d 11505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ≠ 0)
89	84, 85, 88	redivcld 11974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∈ ℝ)
90		dvferm.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
91		dvfre 25928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
92	80, 90, 91	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
93		dvferm.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
94	92, 93	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
95	94	renegcld 11568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
96	89, 94, 95	absdifltd 15389	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
97	79, 96	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
98	97	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
99	94	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
100	99	negidd 11486	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
101	98, 100	breqtrd 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < 0)
102	89	lt0neg1d 11710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < 0 ↔ 0 < -(((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈))))
103	101, 102	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < -(((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
104	84	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℂ)
105	85	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℂ)
106	104, 105, 88	divneg2d 11936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈)))
107	103, 106	breqtrd 5112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈)))
108	85	renegcld 11568	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ)
109	34, 6	posdifd 11728	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < 𝑈 ↔ 0 < (𝑈 − 𝑆)))
110	38, 109	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑈 − 𝑆))
111	86, 87	negsubdi2d 11512	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝑆 − 𝑈) = (𝑈 − 𝑆))
112	110, 111	breqtrrd 5114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < -(𝑆 − 𝑈))
113		gt0div 12013	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ ∧ -(𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < -(𝑆 − 𝑈)) → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈))))
114	84, 108, 112, 113	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈))))
115	107, 114	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
116	83, 81	posdifd 11728	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈))))
117	115, 116	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
118		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
119	118	breq1d 5096	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈)))
120		dvferm2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
121	119, 120, 74	rspcdva 3566	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈))
122	81, 83, 121	lensymd 11288	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
123	117, 122	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12227  ℝ⁺crp 12933  (,)cioo 13289  abscabs 15187   D cdv 25840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-icc 13296  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844

This theorem is referenced by:  dvferm2  25964