MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm2lem 25495
Description: Lemma for dvferm 25497. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
dvferm2.z (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
dvferm2.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm2.l (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm2.x 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
Assertion
Ref Expression
dvferm2lem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm2lem
StepHypRef Expression
1 dvferm2.x . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
2 mnfxr 11268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
4 ioossre 13382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
5 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
64, 5sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
7 dvferm2.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
87rpred 13013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
96, 8resubcld 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈𝑇) ∈ ℝ)
109rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑈𝑇) ∈ ℝ*)
11 ne0i 4334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
12 ndmioo 13348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
1312necon1ai 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
145, 11, 133syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
1514simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1610, 15ifcld 4574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*)
176rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
189mnfltd 13101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -∞ < (𝑈𝑇))
19 xrmax2 13152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈𝑇) ∈ ℝ*) → (𝑈𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
2015, 10, 19syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑈𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
213, 10, 16, 18, 20xrltletrd 13137 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
226, 7ltsubrpd 13045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑈𝑇) < 𝑈)
23 eliooord 13380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
245, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
2524simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 < 𝑈)
26 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈𝑇) = if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) → ((𝑈𝑇) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈))
27 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 = if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) → (𝐴 < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈))
2826, 27ifboth 4567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑈𝑇) < 𝑈𝐴 < 𝑈) → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)
2922, 25, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)
30 xrre2 13146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)) → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
313, 16, 17, 21, 29, 30syl32anc 1379 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
3231, 6readdcld 11240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) ∈ ℝ)
3332rehalfcld 12456 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) ∈ ℝ)
341, 33eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
35 avglt2 12448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
3631, 6, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
3729, 36mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈)
381, 37eqbrtrid 5183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 < 𝑈)
3934, 38ltned 11347 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑈)
4034, 6, 38ltled 11359 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆𝑈)
4134, 6, 40abssuble0d 15376 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) = (𝑈𝑆))
42 avglt1 12447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
4331, 6, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
4429, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2))
4544, 1breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑆)
469, 31, 34, 20, 45lelttrd 11369 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈𝑇) < 𝑆)
476, 8, 34, 46ltsub23d 11816 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈𝑆) < 𝑇)
4841, 47eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)
49 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈𝑆𝑈))
50 fvoveq1 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧𝑈)) = (abs‘(𝑆𝑈)))
5150breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
5249, 51anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)))
53 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑆 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑆))
5453oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) = ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
55 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈) = (𝑆𝑈))
5654, 55oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
5756fvoveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
5857breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
5952, 58imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
60 dvferm2.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6114simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6224simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 < 𝐵)
6317, 61, 62xrltled 13126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈𝐵)
64 iooss2 13357 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑈𝐵) → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
6561, 63, 64syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
66 dvferm.s . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
6765, 66sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ 𝑋)
6834rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
69 xrmax1 13151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈𝑇) ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
7015, 10, 69syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
7115, 16, 68, 70, 45xrlelttrd 13136 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 < 𝑆)
72 elioo2 13362 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆𝑆 < 𝑈)))
7315, 17, 72syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆𝑆 < 𝑈)))
7434, 71, 38, 73mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈))
7567, 74sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆𝑋)
76 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑈))
7775, 39, 76sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
7859, 60, 77rspcdva 3614 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7939, 48, 78mp2and 698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
80 dvferm.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
8180, 75ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
8266, 5sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈𝑋)
8380, 82ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
8481, 83resubcld 11639 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ)
8534, 6resubcld 11639 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ)
8634recnd 11239 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
876recnd 11239 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
8886, 87, 39subne0d 11577 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝑈) ≠ 0)
8984, 85, 88redivcld 12039 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∈ ℝ)
90 dvferm.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
91 dvfre 25460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
9280, 90, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
93 dvferm.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
9492, 93ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
9594renegcld 11638 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
9689, 94, 95absdifltd 15377 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
9779, 96mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
9897simprd 497 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
9994recnd 11239 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
10099negidd 11558 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
10198, 100breqtrd 5174 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < 0)
10289lt0neg1d 11780 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < 0 ↔ 0 < -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
103101, 102mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → 0 < -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
10484recnd 11239 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℂ)
10585recnd 11239 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℂ)
106104, 105, 88divneg2d 12001 . . . . 5 (𝜑 → -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈)))
107103, 106breqtrd 5174 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈)))
10885renegcld 11638 . . . . 5 (𝜑 → -(𝑆𝑈) ∈ ℝ)
10934, 6posdifd 11798 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 < 𝑈 ↔ 0 < (𝑈𝑆)))
11038, 109mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (𝑈𝑆))
11186, 87negsubdi2d 11584 . . . . . 6 (𝜑 → -(𝑆𝑈) = (𝑈𝑆))
112110, 111breqtrrd 5176 . . . . 5 (𝜑 → 0 < -(𝑆𝑈))
113 gt0div 12077 . . . . 5 ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ ∧ -(𝑆𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < -(𝑆𝑈)) → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈))))
11484, 108, 112, 113syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈))))
115107, 114mpbird 257 . . 3 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
11683, 81posdifd 11798 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑆) ↔ 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈))))
117115, 116mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
118 fveq2 6889 . . . . 5 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
119118breq1d 5158 . . . 4 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈)))
120 dvferm2.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
121119, 120, 74rspcdva 3614 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈))
12281, 83, 121lensymd 11362 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
123117, 122pm2.65i 193 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  cdif 3945  wss 3948  c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  wf 6537  cfv 6541  (class class class)co 7406  cr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110  -∞cmnf 11243  *cxr 11244   < clt 11245  cle 11246  cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  2c2 12264  +crp 12971  (,)cioo 13321  abscabs 15178   D cdv 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-icc 13328  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-rest 17365  df-topn 17366  df-topgen 17386  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376
This theorem is referenced by:  dvferm2  25496
  Copyright terms: Public domain W3C validator