Theorem dvferm2lem 26299

Description: Lemma for dvferm 26301. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
dvferm2.z	⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
dvferm2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm2.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm2.x	⊢ 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)

Assertion

Ref	Expression
dvferm2lem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvferm2.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
2		mnfxr 11359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
4		ioossre 13531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
5		dvferm.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6	4, 5	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
7		dvferm2.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
9	6, 8	resubcld 11737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ*)
11		ne0i 4287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
12		ndmioo 13496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
13	12	necon1ai 2983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
14	5, 11, 13	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
15	14	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
16	10, 15	ifcld 4529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*)
17	6	rexrd 11352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
18	9	mnfltd 13246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑈 − 𝑇))
19		xrmax2 13299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ*) → (𝑈 − 𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
20	15, 10, 19	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
21	3, 10, 16, 18, 20	xrltletrd 13283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
22	6, 7	ltsubrpd 13189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) < 𝑈)
23		eliooord 13529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
24	5, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
25	24	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑈)
26		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 − 𝑇) = if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) → ((𝑈 − 𝑇) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈))
27		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) → (𝐴 < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈))
28	26, 27	ifboth 4522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑈 − 𝑇) < 𝑈 ∧ 𝐴 < 𝑈) → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈)
29	22, 25, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈)
30		xrre2 13293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈)) → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
31	3, 16, 17, 21, 29, 30	syl32anc 1405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
32	31, 6	readdcld 11331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) ∈ ℝ)
33	32	rehalfcld 12586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) ∈ ℝ)
34	1, 33	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
35		avglt2 12578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
36	31, 6, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
37	29, 36	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈)
38	1, 37	eqbrtrid 5140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < 𝑈)
39	34, 38	ltned 11439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑈)
40	34, 6, 38	ltled 11451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝑈)
41	34, 6, 40	abssuble0d 15595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) = (𝑈 − 𝑆))
42		avglt1 12577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
43	31, 6, 42	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
44	29, 43	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2))
45	44, 1	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑆)
46	9, 31, 34, 20, 45	lelttrd 11461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) < 𝑆)
47	6, 8, 34, 46	ltsub23d 11914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑆) < 𝑇)
48	41, 47	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)
49		neeq1 3018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 ≠ 𝑈 ↔ 𝑆 ≠ 𝑈))
50		fvoveq1 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧 − 𝑈)) = (abs‘(𝑆 − 𝑈)))
51	50	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇))
52	49, 51	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)))
53		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑆))
54	53	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) = ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
55		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 − 𝑈) = (𝑆 − 𝑈))
56	54, 55	oveq12d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
57	56	fvoveq1d 7440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
58	57	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
59	52, 58	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
60		dvferm2.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
61	14	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
62	24	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝐵)
63	17, 61, 62	xrltled 13272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐵)
64		iooss2 13505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
65	61, 63, 64	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
66		dvferm.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
67	65, 66	sstrd 3941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ 𝑋)
68	34	rexrd 11352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
69		xrmax1 13298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
70	15, 10, 69	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
71	15, 16, 68, 70, 45	xrlelttrd 13282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑆)
72		elioo2 13510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑈)))
73	15, 17, 72	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑈)))
74	34, 71, 38, 73	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈))
75	67, 74	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
76		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ 𝑈))
77	75, 39, 76	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
78	59, 60, 77	rspcdva 3578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
79	39, 48, 78	mp2and 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
80		dvferm.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
81	80, 75	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
82	66, 5	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
83	80, 82	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
84	81, 83	resubcld 11737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ)
85	34, 6	resubcld 11737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ)
86	34	recnd 11330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
87	6	recnd 11330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
88	86, 87, 39	subne0d 11672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ≠ 0)
89	84, 85, 88	redivcld 12138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∈ ℝ)
90		dvferm.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
91		dvfre 26264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
92	80, 90, 91	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
93		dvferm.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
94	92, 93	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
95	94	renegcld 11736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
96	89, 94, 95	absdifltd 15596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
97	79, 96	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
98	97	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
99	94	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
100	99	negidd 11652	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
101	98, 100	breqtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < 0)
102	89	lt0neg1d 11878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < 0 ↔ 0 < -(((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈))))
103	101, 102	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < -(((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
104	84	recnd 11330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℂ)
105	85	recnd 11330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℂ)
106	104, 105, 88	divneg2d 12100	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈)))
107	103, 106	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈)))
108	85	renegcld 11736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ)
109	34, 6	posdifd 11896	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < 𝑈 ↔ 0 < (𝑈 − 𝑆)))
110	38, 109	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑈 − 𝑆))
111	86, 87	negsubdi2d 11678	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝑆 − 𝑈) = (𝑈 − 𝑆))
112	110, 111	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < -(𝑆 − 𝑈))
113		gt0div 12176	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ ∧ -(𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < -(𝑆 − 𝑈)) → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈))))
114	84, 108, 112, 113	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈))))
115	107, 114	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
116	83, 81	posdifd 11896	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈))))
117	115, 116	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
118		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
119	118	breq1d 5113	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈)))
120		dvferm2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
121	119, 120, 74	rspcdva 3578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈))
122	81, 83, 121	lensymd 11454	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
123	117, 122	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ 𝜑

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193   + caddc 11196  -∞cmnf 11334  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534  -cneg 11535   / cdiv 11966  2c2 12390  ℝ⁺crp 13113  (,)cioo 13469  abscabs 15394   D cdv 26176

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-icc 13476  df-fz 13633  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-rest 17586  df-topn 17587  df-topgen 17607  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-lp 23447  df-perf 23448  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-haus 23626  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-cncf 25192  df-limc 26179  df-dv 26180

This theorem is used by:  dvferm2  26300