Theorem dvferm2lem 24698

Description: Lemma for dvferm 24700. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
dvferm2.z	⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
dvferm2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm2.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm2.x	⊢ 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)

Assertion

Ref	Expression
dvferm2lem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvferm2.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
2		mnfxr 10749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
4		ioossre 12853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
5		dvferm.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6	4, 5	sseldi 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
7		dvferm2.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
9	6, 8	resubcld 11119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 10742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ*)
11		ne0i 4235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
12		ndmioo 12819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
13	12	necon1ai 2978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
14	5, 11, 13	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
15	14	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
16	10, 15	ifcld 4469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*)
17	6	rexrd 10742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
18	9	mnfltd 12573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑈 − 𝑇))
19		xrmax2 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ*) → (𝑈 − 𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
20	15, 10, 19	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
21	3, 10, 16, 18, 20	xrltletrd 12608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
22	6, 7	ltsubrpd 12517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) < 𝑈)
23		eliooord 12851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
24	5, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
25	24	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑈)
26		breq1 5039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 − 𝑇) = if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) → ((𝑈 − 𝑇) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈))
27		breq1 5039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) → (𝐴 < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈))
28	26, 27	ifboth 4462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑈 − 𝑇) < 𝑈 ∧ 𝐴 < 𝑈) → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈)
29	22, 25, 28	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈)
30		xrre2 12617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈)) → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
31	3, 16, 17, 21, 29, 30	syl32anc 1375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
32	31, 6	readdcld 10721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) ∈ ℝ)
33	32	rehalfcld 11934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) ∈ ℝ)
34	1, 33	eqeltrid 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
35		avglt2 11926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
36	31, 6, 35	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
37	29, 36	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈)
38	1, 37	eqbrtrid 5071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < 𝑈)
39	34, 38	ltned 10827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑈)
40	34, 6, 38	ltled 10839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝑈)
41	34, 6, 40	abssuble0d 14853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) = (𝑈 − 𝑆))
42		avglt1 11925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
43	31, 6, 42	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
44	29, 43	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2))
45	44, 1	breqtrrdi 5078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑆)
46	9, 31, 34, 20, 45	lelttrd 10849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) < 𝑆)
47	6, 8, 34, 46	ltsub23d 11296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑆) < 𝑇)
48	41, 47	eqbrtrd 5058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)
49		neeq1 3013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 ≠ 𝑈 ↔ 𝑆 ≠ 𝑈))
50		fvoveq1 7179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧 − 𝑈)) = (abs‘(𝑆 − 𝑈)))
51	50	breq1d 5046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇))
52	49, 51	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)))
53		fveq2 6663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑆))
54	53	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) = ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
55		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 − 𝑈) = (𝑆 − 𝑈))
56	54, 55	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
57	56	fvoveq1d 7178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
58	57	breq1d 5046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
59	52, 58	imbi12d 348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
60		dvferm2.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
61	14	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
62	24	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝐵)
63	17, 61, 62	xrltled 12597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐵)
64		iooss2 12828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
65	61, 63, 64	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
66		dvferm.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
67	65, 66	sstrd 3904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ 𝑋)
68	34	rexrd 10742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
69		xrmax1 12622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
70	15, 10, 69	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
71	15, 16, 68, 70, 45	xrlelttrd 12607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑆)
72		elioo2 12833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑈)))
73	15, 17, 72	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑈)))
74	34, 71, 38, 73	mpbir3and 1339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈))
75	67, 74	sseldd 3895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
76		eldifsn 4680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ 𝑈))
77	75, 39, 76	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
78	59, 60, 77	rspcdva 3545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
79	39, 48, 78	mp2and 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
80		dvferm.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
81	80, 75	ffvelrnd 6849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
82	66, 5	sseldd 3895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
83	80, 82	ffvelrnd 6849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
84	81, 83	resubcld 11119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ)
85	34, 6	resubcld 11119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ)
86	34	recnd 10720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
87	6	recnd 10720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
88	86, 87, 39	subne0d 11057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ≠ 0)
89	84, 85, 88	redivcld 11519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∈ ℝ)
90		dvferm.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
91		dvfre 24663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
92	80, 90, 91	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
93		dvferm.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
94	92, 93	ffvelrnd 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
95	94	renegcld 11118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
96	89, 94, 95	absdifltd 14854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
97	79, 96	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
98	97	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
99	94	recnd 10720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
100	99	negidd 11038	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
101	98, 100	breqtrd 5062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < 0)
102	89	lt0neg1d 11260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < 0 ↔ 0 < -(((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈))))
103	101, 102	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < -(((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
104	84	recnd 10720	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℂ)
105	85	recnd 10720	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℂ)
106	104, 105, 88	divneg2d 11481	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈)))
107	103, 106	breqtrd 5062	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈)))
108	85	renegcld 11118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ)
109	34, 6	posdifd 11278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < 𝑈 ↔ 0 < (𝑈 − 𝑆)))
110	38, 109	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑈 − 𝑆))
111	86, 87	negsubdi2d 11064	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝑆 − 𝑈) = (𝑈 − 𝑆))
112	110, 111	breqtrrd 5064	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < -(𝑆 − 𝑈))
113		gt0div 11557	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ ∧ -(𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < -(𝑆 − 𝑈)) → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈))))
114	84, 108, 112, 113	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈))))
115	107, 114	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
116	83, 81	posdifd 11278	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈))))
117	115, 116	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
118		fveq2 6663	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
119	118	breq1d 5046	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈)))
120		dvferm2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
121	119, 120, 74	rspcdva 3545	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈))
122	81, 83, 121	lensymd 10842	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
123	117, 122	pm2.65i 197	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070   ∖ cdif 3857   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  ifcif 4423  {csn 4525   class class class wbr 5036  dom cdm 5528  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  0cc0 10588   + caddc 10591  -∞cmnf 10724  ℝ^*cxr 10725   < clt 10726   ≤ cle 10727   − cmin 10921  -cneg 10922   / cdiv 11348  2c2 11742  ℝ⁺crp 12443  (,)cioo 12792  abscabs 14654   D cdv 24575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-icc 12799  df-fz 12953  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-rest 16767  df-topn 16768  df-topgen 16788  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-fbas 20176  df-fg 20177  df-cnfld 20180  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-cld 21732  df-ntr 21733  df-cls 21734  df-nei 21811  df-lp 21849  df-perf 21850  df-cn 21940  df-cnp 21941  df-haus 22028  df-fil 22559  df-fm 22651  df-flim 22652  df-flf 22653  df-xms 23035  df-ms 23036  df-cncf 23592  df-limc 24578  df-dv 24579

This theorem is referenced by:  dvferm2  24699