MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccssioo2 13482
Description: Condition for a closed interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccssioo2 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem iccssioo2
StepHypRef Expression
1 ne0i 4364 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
21adantr 480 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
3 ndmioo 13436 . . . 4 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
43necon1ai 2974 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
52, 4syl 17 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
6 eliooord 13468 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
76adantr 480 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
87simpld 494 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
9 eliooord 13468 . . . 4 (𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐷𝐷 < 𝐵))
109adantl 481 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝐷𝐷 < 𝐵))
1110simprd 495 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 < 𝐵)
12 iccssioo 13478 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐷 < 𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
135, 8, 11, 12syl12anc 836 1 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  wne 2946  wss 3976  c0 4352   class class class wbr 5166  (class class class)co 7450  *cxr 11325   < clt 11326  (,)cioo 13409  [,]cicc 13412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-ioo 13413  df-icc 13416
This theorem is referenced by:  dvivthlem1  26069  dvivthlem2  26070  amgmlem  27053  ioosconn  35217  aks4d1p1p5  42034  amgmwlem  48902
  Copyright terms: Public domain W3C validator