Theorem iccssioo2 13550

Description: Condition for a closed interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iccssioo2	⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem iccssioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4287	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
3		ndmioo 13503	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
4	3	necon1ai 2983	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
5	2, 4	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
6		eliooord 13536	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
8	7	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
9		eliooord 13536	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))
10	9	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))
11	10	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 < 𝐵)
12		iccssioo 13546	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐷 < 𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
13	5, 8, 11, 12	syl12anc 850	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343  (,)cioo 13476  [,]cicc 13479

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-ioo 13480  df-icc 13483

This theorem is used by:  dvivthlem1  26328  dvivthlem2  26329  amgmlem  27317  ioosconn  36012  aks4d1p1p5  43126  amgmwlem  50987