MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvivthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvivthlem1 24597
Description: Lemma for dvivth 24599. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvivth.1 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvivth.2 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvivth.3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
dvivth.4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvivth.5 (𝜑𝑀 < 𝑁)
dvivth.6 (𝜑𝐶 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)))
dvivth.7 𝐺 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝐶 · 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
dvivthlem1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem dvivthlem1
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossre 12790 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2 dvivth.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
31, 2sseldi 3963 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4 dvivth.2 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
51, 4sseldi 3963 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
6 dvivth.5 . . . . 5 (𝜑𝑀 < 𝑁)
73, 5, 6ltled 10780 . . . 4 (𝜑𝑀𝑁)
8 dvivth.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
9 cncff 23493 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
1110ffvelrnda 6844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
12 dvfre 24540 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
1310, 1, 12sylancl 588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
14 dvivth.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
154, 14eleqtrrd 2914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
1613, 15ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
172, 14eleqtrrd 2914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
1813, 17ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
19 iccssre 12810 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)) ⊆ ℝ)
2016, 18, 19syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)) ⊆ ℝ)
21 dvivth.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)))
2220, 21sseldd 3966 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2322adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
2524sselda 3965 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
2623, 25remulcld 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ)
2711, 26resubcld 11060 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑦) − (𝐶 · 𝑦)) ∈ ℝ)
28 dvivth.7 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝐶 · 𝑦)))
2927, 28fmptd 6871 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
30 iccssioo2 12801 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
312, 4, 30syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3229, 31fssresd 6538 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
33 ax-resscn 10586 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
35 fss 6520 . . . . . . . . 9 ((𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
3629, 33, 35sylancl 588 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
3728oveq2i 7159 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝐶 · 𝑦))))
38 reelprrecn 10621 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
4011recnd 10661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
4114feq2d 6493 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
4213, 41mpbid 234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4342ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
4410feqmptd 6726 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦)))
4544oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦))))
4642feqmptd 6726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
4745, 46eqtr3d 2856 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
4826recnd 10661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℂ)
49 remulcl 10614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ)
5022, 49sylan 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ)
5150recnd 10661 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℂ)
5222adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
5334sselda 3965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
54 1cnd 10628 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
5539dvmptid 24546 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
5622recnd 10661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5739, 53, 54, 55, 56dvmptcmul 24553 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · 1)))
5856mulid1d 10650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 · 1) = 𝐶)
5958mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · 1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐶))
6057, 59eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐶))
61 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6261tgioo2 23403 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
63 iooretop 23366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
6539, 51, 52, 60, 24, 62, 61, 64dvmptres 24552 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐶 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))
6639, 40, 43, 47, 48, 23, 65dvmptsub 24556 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝐶 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)))
6737, 66syl5eq 2866 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)))
6867dmeqd 5767 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = dom (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)))
69 dmmptg 6089 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶) ∈ V → dom (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)) = (𝐴(,)𝐵))
70 ovex 7181 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶) ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶) ∈ V)
7269, 71mprg 3150 . . . . . . . . 9 dom (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)) = (𝐴(,)𝐵)
7368, 72syl6eq 2870 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
74 dvcn 24510 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵)) → 𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
7534, 36, 24, 73, 74syl31anc 1367 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
76 rescncf 23497 . . . . . . 7 ((𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ)))
7731, 75, 76sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
78 cncffvrn 23498 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ)) → ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ))
7933, 77, 78sylancr 589 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ))
8032, 79mpbird 259 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
813, 5, 7, 80evthicc 24052 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧)))
8281simpld 497 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥))
83 fvres 6682 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) = (𝐺𝑧))
84 fvres 6682 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8583, 84breqan12rd 5074 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) ↔ (𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥)))
8685ralbidva 3194 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥)))
8786adantl 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥)))
88 ioossicc 12814 . . . . . 6 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
89 ssralv 4031 . . . . . 6 ((𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))
9187, 90syl6bi 255 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥)))
9231sselda 3965 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9342ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
9492, 93syldan 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
9594recnd 10661 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
9695adantr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
9756ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ∈ ℂ)
9867fveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶))‘𝑥))
9998adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶))‘𝑥))
100 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
101100oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
102 eqid 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶))
103 ovex 7181 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶) ∈ V
104101, 102, 103fvmpt 6761 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
10592, 104syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
10699, 105eqtrd 2854 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
107106adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
10829ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
1091a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
110 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁))
11188, 31sstrid 3976 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
112111ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
11392adantr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
11473ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
115113, 114eleqtrrd 2914 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
116 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))
117 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑤))
118117breq1d 5067 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) ↔ (𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥)))
119118cbvralvw 3448 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
120116, 119sylib 220 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
121108, 109, 110, 112, 115, 120dvferm 24577 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = 0)
122107, 121eqtr3d 2856 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶) = 0)
12396, 97, 122subeq0d 10997 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)
124123exp32 423 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)))
125 vex 3496 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
126125elpr 4582 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑥 = 𝑀𝑥 = 𝑁))
127106adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
12829ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
1291a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
130 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 = 𝑀)
131 eliooord 12788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑀𝑀 < 𝐵))
1322, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 < 𝑀𝑀 < 𝐵))
133132simpld 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 < 𝑀)
134 ne0i 4298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
135 ndmioo 12757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
136135necon1ai 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
1372, 134, 1363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
138137simpld 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1395rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
140 elioo2 12771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑀𝑀 < 𝑁)))
141138, 139, 140syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑀𝑀 < 𝑁)))
1423, 133, 6, 141mpbir3and 1336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴(,)𝑁))
143142ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝑁))
144130, 143eqeltrd 2911 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝑁))
145137simprd 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
146 eliooord 12788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑁𝑁 < 𝐵))
1474, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 < 𝑁𝑁 < 𝐵))
148147simprd 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 < 𝐵)
149139, 145, 148xrltled 12535 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁𝐵)
150 iooss2 12766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑁𝐵) → (𝐴(,)𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
151145, 149, 150syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
152151ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝐴(,)𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
15392adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
15473ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
155153, 154eleqtrrd 2914 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
156 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))
157156, 119sylib 220 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
158130oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝑥(,)𝑁) = (𝑀(,)𝑁))
159158raleqdv 3414 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (∀𝑤 ∈ (𝑥(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥)))
160157, 159mpbird 259 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑤 ∈ (𝑥(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
161128, 129, 144, 152, 155, 160dvferm1 24574 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) ≤ 0)
162127, 161eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶) ≤ 0)
16394adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
16422ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
165163, 164suble0d 11223 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶) ≤ 0 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 𝐶))
166162, 165mpbid 234 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 𝐶)
167 elicc2 12793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐶𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))))
16816, 18, 167syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐶𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))))
16921, 168mpbid 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐶𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀)))
170169simp3d 1138 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
171170ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
172130fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
173171, 172breqtrrd 5085 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
174163, 164letri3d 10774 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶 ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 𝐶𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
175166, 173, 174mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)
176175exp32 423 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)))
177 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 = 𝑁)
178177fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
179169simp2d 1137 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐶)
180179ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐶)
181178, 180eqbrtrd 5079 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 𝐶)
18229ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
1831a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
1843rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
185 elioo2 12771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑁 ∈ (𝑀(,)𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 < 𝑁𝑁 < 𝐵)))
186184, 145, 185syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀(,)𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 < 𝑁𝑁 < 𝐵)))
1875, 6, 148, 186mpbir3and 1336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀(,)𝐵))
188187ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑁 ∈ (𝑀(,)𝐵))
189177, 188eqeltrd 2911 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝐵))
190138, 184, 133xrltled 12535 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑀)
191 iooss1 12765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑀) → (𝑀(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
192138, 190, 191syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
193192ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝑀(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
19492adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
19573ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
196194, 195eleqtrrd 2914 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
197 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))
198197, 119sylib 220 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
199177oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝑀(,)𝑥) = (𝑀(,)𝑁))
200199raleqdv 3414 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑥)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥)))
201198, 200mpbird 259 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑥)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
202182, 183, 189, 193, 196, 201dvferm2 24576 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 0 ≤ ((ℝ D 𝐺)‘𝑥))
203106adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
204202, 203breqtrd 5083 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 0 ≤ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
20594adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
20622ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
207205, 206subge0d 11222 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (0 ≤ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶) ↔ 𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
208204, 207mpbid 234 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
209205, 206letri3d 10774 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶 ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 𝐶𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
210181, 208, 209mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)
211210exp32 423 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑥 = 𝑁 → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)))
212176, 211jaod 855 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝑥 = 𝑀𝑥 = 𝑁) → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)))
213126, 212syl5bi 244 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑥 ∈ {𝑀, 𝑁} → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)))
214 elun 4123 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝑀(,)𝑁) ∪ {𝑀, 𝑁}) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∨ 𝑥 ∈ {𝑀, 𝑁}))
215 prunioo 12859 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*𝑀𝑁) → ((𝑀(,)𝑁) ∪ {𝑀, 𝑁}) = (𝑀[,]𝑁))
216184, 139, 7, 215syl3anc 1365 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀(,)𝑁) ∪ {𝑀, 𝑁}) = (𝑀[,]𝑁))
217216eleq2d 2896 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑀(,)𝑁) ∪ {𝑀, 𝑁}) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
218214, 217syl5bbr 287 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∨ 𝑥 ∈ {𝑀, 𝑁}) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
219218biimpar 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∨ 𝑥 ∈ {𝑀, 𝑁}))
220124, 213, 219mpjaod 856 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶))
22191, 220syld 47 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶))
222221reximdva 3272 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) → ∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶))
22382, 222mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wral 3136  wrex 3137  Vcvv 3493  cun 3932  wss 3934  c0 4289  {cpr 4561   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  (,)cioo 12730  [,]cicc 12733  TopOpenctopn 16687  topGenctg 16703  fldccnfld 20537  cnccncf 23476   D cdv 24453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-haus 21915  df-cmp 21987  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-limc 24456  df-dv 24457
This theorem is referenced by:  dvivthlem2  24598
  Copyright terms: Public domain W3C validator