Theorem neik0pk1imk0 45032

Description: Kuratowski's K0' and K1 axioms imply K0. Neighborhood version. (Contributed by RP, 3-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
neik0pk1imk0.bex	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
neik0pk1imk0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵))
neik0pk1imk0.k0p	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑁‘𝑥) ≠ ∅)
neik0pk1imk0.k1	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
neik0pk1imk0	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑡   𝑁,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑥   𝑥,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐵(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥, 𝑡, 𝑠)

Proof of Theorem neik0pk1imk0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neik0pk1imk0.k1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)))
2		neik0pk1imk0.bex	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		pwidg 4577	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
4		sseq2 3957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (𝑠 ⊆ 𝑡 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵))
5	4	anbi2d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵)))
6		eleq1 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)))
7	5, 6	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) ↔ ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))))
8	7	rspcv 3573	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐵 → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))))
9	2, 3, 8	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))))
10	9	ralimdv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))))
11	10	ralimdv 3177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))))
12	1, 11	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)))
13		r19.23v 3190	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)))
14	13	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)))
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))))
16	15	ralimdv 3177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))))
17	12, 16	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)))
18		neik0pk1imk0.k0p	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑁‘𝑥) ≠ ∅)
19		neik0pk1imk0.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵))
20		elmapi 8862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵) → 𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
22	21	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ∈ 𝒫 𝒫 𝐵)
23	22	elpwid 4566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ⊆ 𝒫 𝐵)
24	23	sseld 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵))
25	24	ancrd 561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
26	25	eximdv 1950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
27		n0 4300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝑥) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))
28		df-rex 3088	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
29	26, 27, 28	3imtr4g 299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
30	29	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))
31		elpwi 4564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑠 ⊆ 𝐵)
32	24, 31	syl6 36	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑠 ⊆ 𝐵))
33	32	ralrimivw 3159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑠 ⊆ 𝐵))
34	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑠 ⊆ 𝐵))
35	30, 34	r19.29imd 3128	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵))
36	35	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵)))
37	36	ralimdva 3175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑁‘𝑥) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵)))
38	18, 37	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵))
39		ralim 3103	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥)))
40	17, 38, 39	sylc 66	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐵 ∈ (𝑁‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ↑_m cmap 8840

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-map 8842

This theorem is used by: (None)