Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neik0pk1imk0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neik0pk1imk0 40264
Description: Kuratowski's K0' and K1 axioms imply K0. Neighborhood version. (Contributed by RP, 3-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
neik0pk1imk0.bex (𝜑𝐵𝑉)
neik0pk1imk0.n (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵m 𝐵))
neik0pk1imk0.k0p (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (𝑁𝑥) ≠ ∅)
neik0pk1imk0.k1 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)))
Assertion
Ref Expression
neik0pk1imk0 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑡   𝑁,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑥   𝑥,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐵(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem neik0pk1imk0
StepHypRef Expression
1 neik0pk1imk0.k1 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)))
2 neik0pk1imk0.bex . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑉)
3 pwidg 4558 . . . . . . 7 (𝐵𝑉𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
4 sseq2 3996 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝐵 → (𝑠𝑡𝑠𝐵))
54anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝐵 → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵)))
6 eleq1 2904 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝐵 → (𝑡 ∈ (𝑁𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
75, 6imbi12d 346 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝐵 → (((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) ↔ ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
87rspcv 3621 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ 𝒫 𝐵 → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
92, 3, 83syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
109ralimdv 3182 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1110ralimdv 3182 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
121, 11mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
13 r19.23v 3283 . . . . . 6 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
1413biimpi 217 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1615ralimdv 3182 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → ∀𝑥𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1712, 16mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
18 neik0pk1imk0.k0p . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (𝑁𝑥) ≠ ∅)
19 neik0pk1imk0.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵m 𝐵))
20 elmapi 8421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵m 𝐵) → 𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
2221ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑁𝑥) ∈ 𝒫 𝒫 𝐵)
2322elpwid 4555 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑁𝑥) ⊆ 𝒫 𝐵)
2423sseld 3969 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵))
2524ancrd 552 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥))))
2625eximdv 1911 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥))))
27 n0 4313 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑥) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁𝑥))
28 df-rex 3148 . . . . . . . 8 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
2926, 27, 283imtr4g 297 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑁𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
3029imp 407 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑁𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥))
31 elpwi 4553 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
3224, 31syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3332ralrimivw 3187 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3433adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑁𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3530, 34r19.29imd 3261 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑁𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵))
3635ex 413 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑁𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵)))
3736ralimdva 3181 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (𝑁𝑥) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵)))
3818, 37mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵))
39 ralim 3166 . 2 (∀𝑥𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → ∀𝑥𝐵 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
4017, 38, 39sylc 65 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wne 3020  wral 3142  wrex 3143  wss 3939  c0 4294  𝒫 cpw 4541  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  m cmap 8399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-map 8401
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator