Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neik0pk1imk0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neik0pk1imk0 41113
 Description: Kuratowski's K0' and K1 axioms imply K0. Neighborhood version. (Contributed by RP, 3-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
neik0pk1imk0.bex (𝜑𝐵𝑉)
neik0pk1imk0.n (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵m 𝐵))
neik0pk1imk0.k0p (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (𝑁𝑥) ≠ ∅)
neik0pk1imk0.k1 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)))
Assertion
Ref Expression
neik0pk1imk0 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑡   𝑁,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑥   𝑥,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐵(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem neik0pk1imk0
StepHypRef Expression
1 neik0pk1imk0.k1 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)))
2 neik0pk1imk0.bex . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑉)
3 pwidg 4514 . . . . . . 7 (𝐵𝑉𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
4 sseq2 3919 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝐵 → (𝑠𝑡𝑠𝐵))
54anbi2d 632 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝐵 → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵)))
6 eleq1 2840 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝐵 → (𝑡 ∈ (𝑁𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
75, 6imbi12d 349 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝐵 → (((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) ↔ ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
87rspcv 3537 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ 𝒫 𝐵 → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
92, 3, 83syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
109ralimdv 3110 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1110ralimdv 3110 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
121, 11mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
13 r19.23v 3204 . . . . . 6 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
1413biimpi 219 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1615ralimdv 3110 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → ∀𝑥𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))))
1712, 16mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
18 neik0pk1imk0.k0p . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (𝑁𝑥) ≠ ∅)
19 neik0pk1imk0.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵m 𝐵))
20 elmapi 8436 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵m 𝐵) → 𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
2221ffvelrnda 6840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑁𝑥) ∈ 𝒫 𝒫 𝐵)
2322elpwid 4503 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑁𝑥) ⊆ 𝒫 𝐵)
2423sseld 3892 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵))
2524ancrd 556 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥))))
2625eximdv 1919 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥))))
27 n0 4244 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑥) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁𝑥))
28 df-rex 3077 . . . . . . . 8 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
2926, 27, 283imtr4g 300 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑁𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
3029imp 411 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑁𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁𝑥))
31 elpwi 4501 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
3224, 31syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3332ralrimivw 3115 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3433adantr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑁𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑠𝐵))
3530, 34r19.29imd 3184 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑁𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵))
3635ex 417 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑁𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵)))
3736ralimdva 3109 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (𝑁𝑥) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵)))
3818, 37mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵))
39 ralim 3095 . 2 (∀𝑥𝐵 (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)) → (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑠𝐵) → ∀𝑥𝐵 𝐵 ∈ (𝑁𝑥)))
4017, 38, 39sylc 65 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐵 ∈ (𝑁𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∀wral 3071  ∃wrex 3072   ⊆ wss 3859  ∅c0 4226  𝒫 cpw 4492  ⟶wf 6329  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148   ↑m cmap 8414 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-op 4527  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5428  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-fv 6341  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-map 8416 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator