Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nemnftgtmnft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nemnftgtmnft 40987
Description: An extended real that is not minus infinity, is larger than minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
nemnftgtmnft ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem nemnftgtmnft
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
21neneqd 2966 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
3 ngtmnft 12369 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
43adantr 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
52, 4mtbid 316 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
6 notnotb 307 . 2 (-∞ < 𝐴 ↔ ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
75, 6sylibr 226 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961   class class class wbr 4923  -∞cmnf 10464  *cxr 10465   < clt 10466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-po 5319  df-so 5320  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472
This theorem is referenced by:  xrlexaddrp  40995
  Copyright terms: Public domain W3C validator