Theorem nemnftgtmnft 45921

Description: An extended real that is not minus infinity, is larger than minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nemnftgtmnft	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem nemnftgtmnft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
2	1	neneqd 2963	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
3		ngtmnft 13170	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
4	3	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
5	2, 4	mtbid 326	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
6		notnotb 317	. 2 ⊢ (-∞ < 𝐴 ↔ ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
7	5, 6	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5101  -∞cmnf 11215  ℝ^*cxr 11216   < clt 11217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223

This theorem is referenced by:  xrlexaddrp  45929