MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngtmnft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngtmnft 13142
Description: An extended real is not greater than minus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
ngtmnft (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))

Proof of Theorem ngtmnft
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11268 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
2 xrltnr 13096 . . . 4 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ¬ -∞ < -∞
4 breq2 5152 . . 3 (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
53, 4mtbiri 327 . 2 (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
6 mnfle 13111 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
7 xrleloe 13120 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
81, 7mpan 689 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
96, 8mpbid 231 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴))
109ord 863 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝐴 → -∞ = 𝐴))
11 eqcom 2740 . . 3 (-∞ = 𝐴𝐴 = -∞)
1210, 11imbitrdi 250 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝐴𝐴 = -∞))
135, 12impbid2 225 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5148  -∞cmnf 11243  *cxr 11244   < clt 11245  cle 11246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251
This theorem is referenced by:  xlemnf  13143  xrrebnd  13144  ge0nemnf  13149  xlt2add  13236  xrsdsreclblem  20984  xblpnfps  23893  xblpnf  23894  supxrnemnf  31969  itg2addnclem  36528  supxrgelem  44034  supxrge  44035  nemnftgtmnft  44041  infxrbnd2  44066
  Copyright terms: Public domain W3C validator