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Theorem xrlexaddrp 45302
Description: If an extended real number 𝐴 can be approximated from above, adding positive reals to 𝐵, then 𝐴 is less than or equal to 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlexaddrp.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlexaddrp.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlexaddrp.3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 𝑥))
Assertion
Ref Expression
xrlexaddrp (𝜑𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xrlexaddrp
StepHypRef Expression
1 xrlexaddrp.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 pnfge 13170 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ≤ +∞)
43adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
5 id 22 . . . . 5 (𝐵 = +∞ → 𝐵 = +∞)
65eqcomd 2741 . . . 4 (𝐵 = +∞ → +∞ = 𝐵)
76adantl 481 . . 3 ((𝜑𝐵 = +∞) → +∞ = 𝐵)
84, 7breqtrd 5174 . 2 ((𝜑𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
9 simpl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝜑)
10 neqne 2946 . . . 4 𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ +∞)
1110adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
12 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
13 xrlexaddrp.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
14 mnfle 13174 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -∞) → -∞ ≤ 𝐵)
1712, 16eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -∞) → 𝐴𝐵)
1817adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴𝐵)
19 simpl 482 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝜑𝐵 ≠ +∞))
20 neqne 2946 . . . . . 6 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
2120adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
22 simpll 767 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝜑)
2313adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
2523, 24jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞))
26 xrnepnf 13158 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
2725, 26sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
29 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
30 pm2.53 851 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞) → (¬ 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 = -∞))
3128, 29, 30sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 = -∞)
3231adantlr 715 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 = -∞)
33 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝜑)
34 1rp 13036 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
36 1re 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
3736elexi 3501 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
38 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 1 ∈ ℝ+))
3938anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)))
40 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (𝐵 +𝑒 𝑥) = (𝐵 +𝑒 1))
4140breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1)))
4239, 41imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1))))
43 xrlexaddrp.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 𝑥))
4437, 42, 43vtocl 3558 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1))
4533, 35, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1))
4645ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1))
47 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 1) = (-∞ +𝑒 1))
48 1xr 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ*
49 ltpnf 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
5036, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < +∞
5136, 50ltneii 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≠ +∞
52 xaddmnf2 13268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
5348, 51, 52mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞ +𝑒 1) = -∞
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = -∞ → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
5547, 54eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = -∞ → -∞ = (𝐵 +𝑒 1))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ = (𝐵 +𝑒 1))
5756eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 1) = -∞)
581adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
60 nemnftgtmnft 45294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)
6158, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ < 𝐴)
6357, 62eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 1) < 𝐴)
6413ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6548a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 1 ∈ ℝ*)
6664, 65xaddcld 13340 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 1) ∈ ℝ*)
671ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
68 xrltnle 11326 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 +𝑒 1) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐵 +𝑒 1) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1)))
6966, 67, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐵 +𝑒 1) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1)))
7063, 69mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1))
7146, 70pm2.65da 817 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
7271neqned 2945 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
7372ad4ant13 751 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ -∞)
7473neneqd 2943 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐵 = -∞)
7532, 74condan 818 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
7643adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 𝑥))
77 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
78 rpre 13041 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7978adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
80 rexadd 13271 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝑥) = (𝐵 + 𝑥))
8177, 79, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 +𝑒 𝑥) = (𝐵 + 𝑥))
8281adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 +𝑒 𝑥) = (𝐵 + 𝑥))
8376, 82breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
8483ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
851adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
86 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
87 xralrple 13244 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
8885, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
8984, 88mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴𝐵)
9022, 75, 89syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴𝐵)
9119, 21, 90syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴𝐵)
9218, 91pm2.61dan 813 . . 3 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → 𝐴𝐵)
939, 11, 92syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
948, 93pm2.61dan 813 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  +crp 13032   +𝑒 cxad 13150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153
This theorem is referenced by:  infleinf  45322  sge0xaddlem2  46390  ovnsubadd  46528
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