Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrlexaddrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlexaddrp 45368
Description: If an extended real number 𝐴 can be approximated from above, adding positive reals to 𝐵, then 𝐴 is less than or equal to 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlexaddrp.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlexaddrp.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlexaddrp.3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 𝑥))
Assertion
Ref Expression
xrlexaddrp (𝜑𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xrlexaddrp
StepHypRef Expression
1 xrlexaddrp.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 pnfge 13173 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ≤ +∞)
43adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
5 id 22 . . . . 5 (𝐵 = +∞ → 𝐵 = +∞)
65eqcomd 2742 . . . 4 (𝐵 = +∞ → +∞ = 𝐵)
76adantl 481 . . 3 ((𝜑𝐵 = +∞) → +∞ = 𝐵)
84, 7breqtrd 5168 . 2 ((𝜑𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
9 simpl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝜑)
10 neqne 2947 . . . 4 𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ +∞)
1110adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
12 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
13 xrlexaddrp.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
14 mnfle 13178 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -∞) → -∞ ≤ 𝐵)
1712, 16eqbrtrd 5164 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -∞) → 𝐴𝐵)
1817adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴𝐵)
19 simpl 482 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝜑𝐵 ≠ +∞))
20 neqne 2947 . . . . . 6 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
2120adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
22 simpll 766 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝜑)
2313adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
2523, 24jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞))
26 xrnepnf 13161 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
2725, 26sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
29 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
30 pm2.53 851 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞) → (¬ 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 = -∞))
3128, 29, 30sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 = -∞)
3231adantlr 715 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 = -∞)
33 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝜑)
34 1rp 13039 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
36 1re 11262 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
3736elexi 3502 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
38 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 1 ∈ ℝ+))
3938anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)))
40 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (𝐵 +𝑒 𝑥) = (𝐵 +𝑒 1))
4140breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1)))
4239, 41imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1))))
43 xrlexaddrp.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 𝑥))
4437, 42, 43vtocl 3557 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1))
4533, 35, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1))
4645ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1))
47 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 1) = (-∞ +𝑒 1))
48 1xr 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ*
49 ltpnf 13163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
5036, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < +∞
5136, 50ltneii 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≠ +∞
52 xaddmnf2 13272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
5348, 51, 52mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞ +𝑒 1) = -∞
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = -∞ → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
5547, 54eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = -∞ → -∞ = (𝐵 +𝑒 1))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ = (𝐵 +𝑒 1))
5756eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 1) = -∞)
581adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
60 nemnftgtmnft 45360 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)
6158, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ < 𝐴)
6357, 62eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 1) < 𝐴)
6413ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6548a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 1 ∈ ℝ*)
6664, 65xaddcld 13344 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 1) ∈ ℝ*)
671ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
68 xrltnle 11329 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 +𝑒 1) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐵 +𝑒 1) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1)))
6966, 67, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐵 +𝑒 1) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1)))
7063, 69mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1))
7146, 70pm2.65da 816 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
7271neqned 2946 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
7372ad4ant13 751 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ -∞)
7473neneqd 2944 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐵 = -∞)
7532, 74condan 817 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
7643adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 𝑥))
77 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
78 rpre 13044 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7978adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
80 rexadd 13275 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝑥) = (𝐵 + 𝑥))
8177, 79, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 +𝑒 𝑥) = (𝐵 + 𝑥))
8281adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 +𝑒 𝑥) = (𝐵 + 𝑥))
8376, 82breqtrd 5168 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
8483ralrimiva 3145 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
851adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
86 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
87 xralrple 13248 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
8885, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
8984, 88mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴𝐵)
9022, 75, 89syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴𝐵)
9119, 21, 90syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴𝐵)
9218, 91pm2.61dan 812 . . 3 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → 𝐴𝐵)
939, 11, 92syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
948, 93pm2.61dan 812 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  cr 11155  1c1 11157   + caddc 11159  +∞cpnf 11293  -∞cmnf 11294  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  +crp 13035   +𝑒 cxad 13153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xadd 13156
This theorem is referenced by:  infleinf  45388  sge0xaddlem2  46454  ovnsubadd  46592
  Copyright terms: Public domain W3C validator