Theorem xrlexaddrp 46569

Description: If an extended real number 𝐴 can be approximated from above, adding positive reals to 𝐵, then 𝐴 is less than or equal to 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlexaddrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlexaddrp.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlexaddrp.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +e 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
xrlexaddrp	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xrlexaddrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlexaddrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfge 13286	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
5		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = +∞ → 𝐵 = +∞)
6	5	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝐵 = +∞ → +∞ = 𝐵)
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ = 𝐵)
8	4, 7	breqtrd 5134	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
9		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝜑)
10		neqne 2967	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ +∞)
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
12		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
13		xrlexaddrp.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
14		mnfle 13291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
16	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ 𝐵)
17	12, 16	eqbrtrd 5130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
18	17	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
19		simpl 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞))
20		neqne 2967	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
22		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝜑)
23	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
25	23, 24	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞))
26		xrnepnf 13274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
27	25, 26	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
28	27	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
29		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
30		pm2.53 865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞) → (¬ 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 = -∞))
31	28, 29, 30	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 = -∞)
32	31	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 = -∞)
33		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
34		1rp 13151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ+
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
36		1re 11335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
37	36	elexi 3476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
38		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 1 ∈ ℝ+))
39	38	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)))
40		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐵 +e 𝑥) = (𝐵 +e 1))
41	40	breq2d 5118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ (𝐵 +e 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 +e 1)))
42	39, 41	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +e 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +e 1))))
43		xrlexaddrp.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +e 𝑥))
44	37, 42, 43	vtocl 3524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +e 1))
45	33, 35, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐵 +e 1))
46	45	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ≤ (𝐵 +e 1))
47		oveq1 7450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐵 +e 1) = (-∞ +e 1))
48		1xr 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ*
49		ltpnf 13276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
50	36, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < +∞
51	36, 50	ltneii 11450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ≠ +∞
52		xaddmnf2 13386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +e 1) = -∞)
53	48, 51, 52	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-∞ +e 1) = -∞
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = -∞ → (-∞ +e 1) = -∞)
55	47, 54	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = -∞ → -∞ = (𝐵 +e 1))
56	55	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ = (𝐵 +e 1))
57	56	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +e 1) = -∞)
58	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
59		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
60		nemnftgtmnft 46561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)
61	58, 59, 60	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)
62	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ < 𝐴)
63	57, 62	eqbrtrd 5130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +e 1) < 𝐴)
64	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
65	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 1 ∈ ℝ*)
66	64, 65	xaddcld 13458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +e 1) ∈ ℝ*)
67	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
68		xrltnle 11403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 +e 1) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐵 +e 1) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 +e 1)))
69	66, 67, 68	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐵 +e 1) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 +e 1)))
70	63, 69	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 +e 1))
71	46, 70	pm2.65da 829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
72	71	neqned 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
73	72	ad4ant13 764	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ -∞)
74	73	neneqd 2964	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐵 = -∞)
75	32, 74	condan 830	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
76	43	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +e 𝑥))
77		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
78		rpre 13156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
79	78	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
80		rexadd 13389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 +e 𝑥) = (𝐵 + 𝑥))
81	77, 79, 80	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 +e 𝑥) = (𝐵 + 𝑥))
82	81	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 +e 𝑥) = (𝐵 + 𝑥))
83	76, 82	breqtrd 5134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
84	83	ralrimiva 3158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
85	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
86		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
87		xralrple 13362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
88	85, 86, 87	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
89	84, 88	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝐵)
90	22, 75, 89	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
91	19, 21, 90	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
92	18, 91	pm2.61dan 825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
93	9, 11, 92	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
94	8, 93	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  1c1 11228   + caddc 11230  +∞cpnf 11367  -∞cmnf 11368  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370   ≤ cle 11371  ℝ⁺crp 13147   +_e cxad 13266

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xadd 13269

This theorem is used by:  infleinf  46588  sge0xaddlem2  47649  ovnsubadd  47787