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Theorem xrlexaddrp 43576
Description: If an extended real number 𝐴 can be approximated from above, adding positive reals to 𝐵, then 𝐴 is less than or equal to 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlexaddrp.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlexaddrp.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlexaddrp.3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 𝑥))
Assertion
Ref Expression
xrlexaddrp (𝜑𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xrlexaddrp
StepHypRef Expression
1 xrlexaddrp.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 pnfge 13051 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ≤ +∞)
43adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
5 id 22 . . . . 5 (𝐵 = +∞ → 𝐵 = +∞)
65eqcomd 2742 . . . 4 (𝐵 = +∞ → +∞ = 𝐵)
76adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐵 = +∞) → +∞ = 𝐵)
84, 7breqtrd 5131 . 2 ((𝜑𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
9 simpl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝜑)
10 neqne 2951 . . . 4 𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ +∞)
1110adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
12 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
13 xrlexaddrp.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
14 mnfle 13055 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -∞) → -∞ ≤ 𝐵)
1712, 16eqbrtrd 5127 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -∞) → 𝐴𝐵)
1817adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴𝐵)
19 simpl 483 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝜑𝐵 ≠ +∞))
20 neqne 2951 . . . . . 6 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
2120adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
22 simpll 765 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝜑)
2313adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
2523, 24jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞))
26 xrnepnf 13039 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
2725, 26sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
29 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
30 pm2.53 849 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞) → (¬ 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 = -∞))
3128, 29, 30sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 = -∞)
3231adantlr 713 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 = -∞)
33 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝜑)
34 1rp 12919 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
36 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
3736elexi 3464 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
38 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 1 ∈ ℝ+))
3938anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)))
40 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (𝐵 +𝑒 𝑥) = (𝐵 +𝑒 1))
4140breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1)))
4239, 41imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1))))
43 xrlexaddrp.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 𝑥))
4437, 42, 43vtocl 3518 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1))
4533, 35, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1))
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1))
47 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 1) = (-∞ +𝑒 1))
48 1xr 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ*
49 ltpnf 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
5036, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < +∞
5136, 50ltneii 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≠ +∞
52 xaddmnf2 13148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
5348, 51, 52mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞ +𝑒 1) = -∞
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = -∞ → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
5547, 54eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = -∞ → -∞ = (𝐵 +𝑒 1))
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ = (𝐵 +𝑒 1))
5756eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 1) = -∞)
581adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
59 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
60 nemnftgtmnft 43568 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)
6158, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ < 𝐴)
6357, 62eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 1) < 𝐴)
6413ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6548a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 1 ∈ ℝ*)
6664, 65xaddcld 13220 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 1) ∈ ℝ*)
671ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
68 xrltnle 11222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 +𝑒 1) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐵 +𝑒 1) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1)))
6966, 67, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐵 +𝑒 1) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1)))
7063, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 1))
7146, 70pm2.65da 815 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
7271neqned 2950 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
7372ad4ant13 749 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ -∞)
7473neneqd 2948 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐵 = -∞)
7532, 74condan 816 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
7643adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 +𝑒 𝑥))
77 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
78 rpre 12923 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7978adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
80 rexadd 13151 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝑥) = (𝐵 + 𝑥))
8177, 79, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 +𝑒 𝑥) = (𝐵 + 𝑥))
8281adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 +𝑒 𝑥) = (𝐵 + 𝑥))
8376, 82breqtrd 5131 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
8483ralrimiva 3143 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
851adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
86 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
87 xralrple 13124 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
8885, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
8984, 88mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴𝐵)
9022, 75, 89syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴𝐵)
9119, 21, 90syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴𝐵)
9218, 91pm2.61dan 811 . . 3 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → 𝐴𝐵)
939, 11, 92syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
948, 93pm2.61dan 811 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  +crp 12915   +𝑒 cxad 13031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034
This theorem is referenced by:  infleinf  43596  sge0xaddlem2  44665  ovnsubadd  44803
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