Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltadd12dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltadd12dd 45327
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ltadd12dd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltadd12dd.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd12dd.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltadd12dd.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
ltadd12dd.ac (𝜑𝐴 < 𝐶)
ltadd12dd.bd (𝜑𝐵 < 𝐷)
Assertion
Ref Expression
ltadd12dd (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem ltadd12dd
StepHypRef Expression
1 ltadd12dd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltadd12dd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 11286 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 ltadd12dd.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
54, 2readdcld 11286 . 2 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6 ltadd12dd.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
74, 6readdcld 11286 . 2 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8 ltadd12dd.ac . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐶)
91, 4, 2, 8ltadd1dd 11870 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵))
10 ltadd12dd.bd . . 3 (𝜑𝐵 < 𝐷)
112, 6, 4, 10ltadd2dd 11416 . 2 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))
123, 5, 7, 9, 11lttrd 11418 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108   class class class wbr 5141  (class class class)co 7429  cr 11150   + caddc 11154   < clt 11291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-ov 7432  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-ltxr 11296
This theorem is referenced by:  sge0xaddlem1  46421  smfaddlem1  46751
  Copyright terms: Public domain W3C validator