Theorem ltadd12dd 46087

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd12dd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltadd12dd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd12dd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltadd12dd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
ltadd12dd.ac	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
ltadd12dd.bd	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ltadd12dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem ltadd12dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd12dd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltadd12dd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11244	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltadd12dd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4, 2	readdcld 11244	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		ltadd12dd.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11244	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8		ltadd12dd.ac	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
9	1, 4, 2, 8	ltadd1dd 11831	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵))
10		ltadd12dd.bd	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
11	2, 6, 4, 10	ltadd2dd 11375	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))
12	3, 5, 7, 9, 11	lttrd 11377	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105   + caddc 11109   < clt 11249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254

This theorem is used by:  sge0xaddlem1  47175  smfaddlem1  47505