Theorem ltadd12dd 44039

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd12dd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltadd12dd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd12dd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltadd12dd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
ltadd12dd.ac	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
ltadd12dd.bd	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ltadd12dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem ltadd12dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd12dd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltadd12dd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltadd12dd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4, 2	readdcld 11239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		ltadd12dd.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8		ltadd12dd.ac	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
9	1, 4, 2, 8	ltadd1dd 11821	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵))
10		ltadd12dd.bd	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
11	2, 6, 4, 10	ltadd2dd 11369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))
12	3, 5, 7, 9, 11	lttrd 11371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105   + caddc 11109   < clt 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249

This theorem is referenced by:  sge0xaddlem1  45135  smfaddlem1  45465