Theorem nepnfltpnf 44629

Description: An extended real that is not +∞ is less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nepnfltpnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ +∞)
nepnfltpnf.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
nepnfltpnf	⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem nepnfltpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nepnfltpnf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ +∞)
2	1	neneqd 2939	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = +∞)
3		nepnfltpnf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		nltpnft 13149	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
6	2, 5	mtbid 324	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ¬ 𝐴 < +∞)
7		notnotb 315	. 2 ⊢ (𝐴 < +∞ ↔ ¬ ¬ 𝐴 < +∞)
8	6, 7	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  +∞cpnf 11249  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258

This theorem is referenced by:  infrpge  44638