Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nepnfltpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nepnfltpnf 44859
Description: An extended real that is not +∞ is less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nepnfltpnf.1 (𝜑𝐴 ≠ +∞)
nepnfltpnf.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
nepnfltpnf (𝜑𝐴 < +∞)

Proof of Theorem nepnfltpnf
StepHypRef Expression
1 nepnfltpnf.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ +∞)
21neneqd 2934 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐴 = +∞)
3 nepnfltpnf.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 nltpnft 13178 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
62, 5mtbid 323 . 2 (𝜑 → ¬ ¬ 𝐴 < +∞)
7 notnotb 314 . 2 (𝐴 < +∞ ↔ ¬ ¬ 𝐴 < +∞)
86, 7sylibr 233 1 (𝜑𝐴 < +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929   class class class wbr 5149  +∞cpnf 11277  *cxr 11279   < clt 11280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286
This theorem is referenced by:  infrpge  44868
  Copyright terms: Public domain W3C validator