Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nepnfltpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nepnfltpnf 45326
Description: An extended real that is not +∞ is less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nepnfltpnf.1 (𝜑𝐴 ≠ +∞)
nepnfltpnf.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
nepnfltpnf (𝜑𝐴 < +∞)

Proof of Theorem nepnfltpnf
StepHypRef Expression
1 nepnfltpnf.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ +∞)
21neneqd 2944 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐴 = +∞)
3 nepnfltpnf.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 nltpnft 13202 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
62, 5mtbid 324 . 2 (𝜑 → ¬ ¬ 𝐴 < +∞)
7 notnotb 315 . 2 (𝐴 < +∞ ↔ ¬ ¬ 𝐴 < +∞)
86, 7sylibr 234 1 (𝜑𝐴 < +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2939   class class class wbr 5141  +∞cpnf 11288  *cxr 11290   < clt 11291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297
This theorem is referenced by:  infrpge  45335
  Copyright terms: Public domain W3C validator