Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nepnfltpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nepnfltpnf 43663
Description: An extended real that is not +∞ is less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nepnfltpnf.1 (𝜑𝐴 ≠ +∞)
nepnfltpnf.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
nepnfltpnf (𝜑𝐴 < +∞)

Proof of Theorem nepnfltpnf
StepHypRef Expression
1 nepnfltpnf.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ +∞)
21neneqd 2945 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐴 = +∞)
3 nepnfltpnf.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 nltpnft 13089 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
62, 5mtbid 324 . 2 (𝜑 → ¬ ¬ 𝐴 < +∞)
7 notnotb 315 . 2 (𝐴 < +∞ ↔ ¬ ¬ 𝐴 < +∞)
86, 7sylibr 233 1 (𝜑𝐴 < +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940   class class class wbr 5106  +∞cpnf 11191  *cxr 11193   < clt 11194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200
This theorem is referenced by:  infrpge  43672
  Copyright terms: Public domain W3C validator