Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infrpge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infrpge 45362
Description: The infimum of a nonempty, bounded subset of extended reals can be approximated from above by an element of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infrpge.xph 𝑥𝜑
infrpge.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infrpge.an0 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
infrpge.bnd (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
infrpge.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
infrpge (𝜑 → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infrpge
StepHypRef Expression
1 infrpge.an0 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
2 n0 4353 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
32biimpi 216 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑧 𝑧𝐴)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑧 𝑧𝐴)
54adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧 𝑧𝐴)
6 nfv 1914 . . . . 5 𝑧(𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
7 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
8 infrpge.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
98adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
119, 10sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
12 pnfge 13172 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≤ +∞)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ +∞)
1413adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ +∞)
15 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
1615adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
17 infrpge.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
1817rpxrd 13078 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1917rpred 13077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
20 renemnf 11310 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ≠ -∞)
22 xaddpnf2 13269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
2318, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
2423adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
2516, 24eqtr2d 2778 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
2625adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → +∞ = (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
2714, 26breqtrd 5169 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
287, 27jca 511 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
2928ex 412 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑧𝐴 → (𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))))
306, 29eximd 2216 . . . 4 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))))
315, 30mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
32 df-rex 3071 . . 3 (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
3331, 32sylibr 234 . 2 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
34 simpl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
35 infrpge.bnd . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
36 infrpge.xph . . . . . . . . . 10 𝑥𝜑
37 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑥-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )
38 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
40 rexr 11307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
41403ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
42 infxrcl 13375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
438, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
44433ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
45 mnflt 13165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
46453ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ < 𝑥)
47 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
488adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4940adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
50 infxrgelb 13377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5148, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
52513adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5347, 52mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
5439, 41, 44, 46, 53xrltletrd 13203 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
55543exp 1120 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))))
5636, 37, 55rexlimd 3266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
5735, 56mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
5857adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
59 neqne 2948 . . . . . . . . 9 (¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞)
6059adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞)
6143adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6260, 61nepnfltpnf 45353 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
6358, 62jca 511 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
64 xrrebnd 13210 . . . . . . . 8 (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
6543, 64syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
6665adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
6763, 66mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
68 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
6917adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
7068, 69ltaddrpd 13110 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵))
7119adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
72 rexadd 13274 . . . . . . . . 9 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵))
7368, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵))
7473eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵) = (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
7570, 74breqtrd 5169 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
7643adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7743, 18xaddcld 13343 . . . . . . . 8 (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
7877adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
79 xrltnle 11328 . . . . . . 7 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )))
8076, 78, 79syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )))
8175, 80mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
8234, 67, 81syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
83 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
84 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → 𝜑)
85 infxrgelb 13377 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*) → ((inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
868, 77, 85syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
8784, 86syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ((inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
8883, 87mtbid 324 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
89 rexnal 3100 . . . . 5 (∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
9088, 89sylibr 234 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
9134, 82, 90syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
9211adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
9377ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
94 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
95 xrltnle 11328 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*) → (𝑧 < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
9692, 93, 95syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → (𝑧 < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
9794, 96mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → 𝑧 < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
9892, 93, 97xrltled 13192 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
9998ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐴) → (¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
10099adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
101100reximdva 3168 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧 → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
10291, 101mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
10333, 102pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wnf 1783  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  infcinf 9481  cr 11154   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  +crp 13034   +𝑒 cxad 13152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-rp 13035  df-xadd 13155
This theorem is referenced by:  infleinf  45383  infrpgernmpt  45476  ovnlerp  46577
  Copyright terms: Public domain W3C validator