Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infrpge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infrpge 44061
Description: The infimum of a nonempty, bounded subset of extended reals can be approximated from above by an element of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infrpge.xph 𝑥𝜑
infrpge.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infrpge.an0 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
infrpge.bnd (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
infrpge.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
infrpge (𝜑 → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infrpge
StepHypRef Expression
1 infrpge.an0 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
2 n0 4347 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
32biimpi 215 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑧 𝑧𝐴)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑧 𝑧𝐴)
54adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧 𝑧𝐴)
6 nfv 1918 . . . . 5 𝑧(𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
7 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
8 infrpge.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
98adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
119, 10sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
12 pnfge 13110 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≤ +∞)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ +∞)
1413adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ +∞)
15 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
1615adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
17 infrpge.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
1817rpxrd 13017 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1917rpred 13016 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
20 renemnf 11263 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ≠ -∞)
22 xaddpnf2 13206 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
2318, 21, 22syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
2423adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
2516, 24eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
2625adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → +∞ = (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
2714, 26breqtrd 5175 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
287, 27jca 513 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
2928ex 414 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑧𝐴 → (𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))))
306, 29eximd 2210 . . . 4 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))))
315, 30mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
32 df-rex 3072 . . 3 (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
3331, 32sylibr 233 . 2 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
34 simpl 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
35 infrpge.bnd . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
36 infrpge.xph . . . . . . . . . 10 𝑥𝜑
37 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 𝑥-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )
38 mnfxr 11271 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
40 rexr 11260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
41403ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
42 infxrcl 13312 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
438, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
44433ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
45 mnflt 13103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
46453ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ < 𝑥)
47 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
488adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4940adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
50 infxrgelb 13314 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5148, 49, 50syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
52513adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5347, 52mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
5439, 41, 44, 46, 53xrltletrd 13140 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
55543exp 1120 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))))
5636, 37, 55rexlimd 3264 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
5735, 56mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
5857adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
59 neqne 2949 . . . . . . . . 9 (¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞)
6059adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞)
6143adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6260, 61nepnfltpnf 44052 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
6358, 62jca 513 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
64 xrrebnd 13147 . . . . . . . 8 (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
6543, 64syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
6665adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
6763, 66mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
68 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
6917adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
7068, 69ltaddrpd 13049 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵))
7119adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
72 rexadd 13211 . . . . . . . . 9 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵))
7368, 71, 72syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵))
7473eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵) = (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
7570, 74breqtrd 5175 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
7643adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7743, 18xaddcld 13280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
7877adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
79 xrltnle 11281 . . . . . . 7 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )))
8076, 78, 79syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )))
8175, 80mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
8234, 67, 81syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
83 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
84 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → 𝜑)
85 infxrgelb 13314 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*) → ((inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
868, 77, 85syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
8784, 86syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ((inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
8883, 87mtbid 324 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
89 rexnal 3101 . . . . 5 (∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
9088, 89sylibr 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
9134, 82, 90syl2anc 585 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
9211adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
9377ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
94 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
95 xrltnle 11281 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*) → (𝑧 < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
9692, 93, 95syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → (𝑧 < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
9794, 96mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → 𝑧 < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
9892, 93, 97xrltled 13129 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
9998ex 414 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐴) → (¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
10099adantlr 714 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
101100reximdva 3169 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧 → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
10291, 101mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
10333, 102pm2.61dan 812 1 (𝜑 → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wnf 1786  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  infcinf 9436  cr 11109   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  *cxr 11247   < clt 11248  cle 11249  +crp 12974   +𝑒 cxad 13090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-rp 12975  df-xadd 13093
This theorem is referenced by:  infleinf  44082  infrpgernmpt  44175  ovnlerp  45278
  Copyright terms: Public domain W3C validator