Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infrpge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infrpge 44656
Description: The infimum of a nonempty, bounded subset of extended reals can be approximated from above by an element of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infrpge.xph 𝑥𝜑
infrpge.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infrpge.an0 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
infrpge.bnd (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
infrpge.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
infrpge (𝜑 → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infrpge
StepHypRef Expression
1 infrpge.an0 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
2 n0 4342 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
32biimpi 215 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑧 𝑧𝐴)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑧 𝑧𝐴)
54adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧 𝑧𝐴)
6 nfv 1910 . . . . 5 𝑧(𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
7 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
8 infrpge.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
98adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
119, 10sseldd 3979 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
12 pnfge 13134 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≤ +∞)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ +∞)
1413adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ +∞)
15 oveq1 7421 . . . . . . . . . . 11 (inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
1615adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
17 infrpge.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
1817rpxrd 13041 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1917rpred 13040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
20 renemnf 11285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ≠ -∞)
22 xaddpnf2 13230 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
2318, 21, 22syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
2423adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
2516, 24eqtr2d 2768 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
2625adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → +∞ = (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
2714, 26breqtrd 5168 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
287, 27jca 511 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
2928ex 412 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑧𝐴 → (𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))))
306, 29eximd 2202 . . . 4 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))))
315, 30mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
32 df-rex 3066 . . 3 (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
3331, 32sylibr 233 . 2 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
34 simpl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
35 infrpge.bnd . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
36 infrpge.xph . . . . . . . . . 10 𝑥𝜑
37 nfv 1910 . . . . . . . . . 10 𝑥-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )
38 mnfxr 11293 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
40 rexr 11282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
41403ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
42 infxrcl 13336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
438, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
44433ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
45 mnflt 13127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
46453ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ < 𝑥)
47 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
488adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4940adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
50 infxrgelb 13338 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5148, 49, 50syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
52513adant3 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5347, 52mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
5439, 41, 44, 46, 53xrltletrd 13164 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
55543exp 1117 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))))
5636, 37, 55rexlimd 3258 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
5735, 56mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
5857adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
59 neqne 2943 . . . . . . . . 9 (¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞)
6059adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞)
6143adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6260, 61nepnfltpnf 44647 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
6358, 62jca 511 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
64 xrrebnd 13171 . . . . . . . 8 (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
6543, 64syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
6665adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
6763, 66mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
68 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
6917adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
7068, 69ltaddrpd 13073 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵))
7119adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
72 rexadd 13235 . . . . . . . . 9 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵))
7368, 71, 72syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵))
7473eqcomd 2733 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵) = (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
7570, 74breqtrd 5168 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
7643adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7743, 18xaddcld 13304 . . . . . . . 8 (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
7877adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
79 xrltnle 11303 . . . . . . 7 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )))
8076, 78, 79syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )))
8175, 80mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
8234, 67, 81syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
83 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
84 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → 𝜑)
85 infxrgelb 13338 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*) → ((inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
868, 77, 85syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ((inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
8784, 86syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ((inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
8883, 87mtbid 324 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
89 rexnal 3095 . . . . 5 (∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
9088, 89sylibr 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
9134, 82, 90syl2anc 583 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
9211adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
9377ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
94 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
95 xrltnle 11303 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*) → (𝑧 < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
9692, 93, 95syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → (𝑧 < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
9794, 96mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → 𝑧 < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
9892, 93, 97xrltled 13153 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
9998ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐴) → (¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
10099adantlr 714 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
101100reximdva 3163 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧 → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
10291, 101mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
10333, 102pm2.61dan 812 1 (𝜑 → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wex 1774  wnf 1778  wcel 2099  wne 2935  wral 3056  wrex 3065  wss 3944  c0 4318   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  infcinf 9456  cr 11129   + caddc 11133  +∞cpnf 11267  -∞cmnf 11268  *cxr 11269   < clt 11270  cle 11271  +crp 12998   +𝑒 cxad 13114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-rp 12999  df-xadd 13117
This theorem is referenced by:  infleinf  44677  infrpgernmpt  44770  ovnlerp  45873
  Copyright terms: Public domain W3C validator