Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infrpge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infrpge 44813
Description: The infimum of a nonempty, bounded subset of extended reals can be approximated from above by an element of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infrpge.xph 𝑥𝜑
infrpge.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infrpge.an0 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
infrpge.bnd (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
infrpge.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
infrpge (𝜑 → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infrpge
StepHypRef Expression
1 infrpge.an0 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
2 n0 4347 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
32biimpi 215 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑧 𝑧𝐴)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑧 𝑧𝐴)
54adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧 𝑧𝐴)
6 nfv 1909 . . . . 5 𝑧(𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
7 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
8 infrpge.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
98adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
119, 10sseldd 3978 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
12 pnfge 13142 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≤ +∞)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ +∞)
1413adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ +∞)
15 oveq1 7424 . . . . . . . . . . 11 (inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
1615adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
17 infrpge.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
1817rpxrd 13049 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1917rpred 13048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
20 renemnf 11293 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ≠ -∞)
22 xaddpnf2 13238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
2318, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
2423adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
2516, 24eqtr2d 2766 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
2625adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → +∞ = (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
2714, 26breqtrd 5174 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
287, 27jca 510 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
2928ex 411 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑧𝐴 → (𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))))
306, 29eximd 2204 . . . 4 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))))
315, 30mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
32 df-rex 3061 . . 3 (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
3331, 32sylibr 233 . 2 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
34 simpl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
35 infrpge.bnd . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
36 infrpge.xph . . . . . . . . . 10 𝑥𝜑
37 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 𝑥-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )
38 mnfxr 11301 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
40 rexr 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
41403ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
42 infxrcl 13344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
438, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
44433ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
45 mnflt 13135 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
46453ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ < 𝑥)
47 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
488adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4940adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
50 infxrgelb 13346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5148, 49, 50syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
52513adant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5347, 52mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝑥 ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
5439, 41, 44, 46, 53xrltletrd 13172 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
55543exp 1116 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))))
5636, 37, 55rexlimd 3254 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < )))
5735, 56mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
5857adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
59 neqne 2938 . . . . . . . . 9 (¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞)
6059adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞)
6143adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6260, 61nepnfltpnf 44804 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
6358, 62jca 510 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
64 xrrebnd 13179 . . . . . . . 8 (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
6543, 64syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
6665adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
6763, 66mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
68 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
6917adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
7068, 69ltaddrpd 13081 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵))
7119adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
72 rexadd 13243 . . . . . . . . 9 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵))
7368, 71, 72syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) = (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵))
7473eqcomd 2731 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) + 𝐵) = (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
7570, 74breqtrd 5174 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
7643adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7743, 18xaddcld 13312 . . . . . . . 8 (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
7877adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
79 xrltnle 11311 . . . . . . 7 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )))
8076, 78, 79syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )))
8175, 80mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
8234, 67, 81syl2anc 582 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
83 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
84 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → 𝜑)
85 infxrgelb 13346 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*) → ((inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
868, 77, 85syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → ((inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
8784, 86syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ((inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
8883, 87mtbid 323 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
89 rexnal 3090 . . . . 5 (∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
9088, 89sylibr 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
9134, 82, 90syl2anc 582 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
9211adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
9377ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
94 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧)
95 xrltnle 11311 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*) → (𝑧 < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
9692, 93, 95syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → (𝑧 < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ↔ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧))
9794, 96mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → 𝑧 < (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
9892, 93, 97xrltled 13161 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧) → 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
9998ex 411 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐴) → (¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
10099adantlr 713 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
101100reximdva 3158 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∃𝑧𝐴 ¬ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵) ≤ 𝑧 → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵)))
10291, 101mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
10333, 102pm2.61dan 811 1 (𝜑 → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (inf(𝐴, ℝ*, < ) +𝑒 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wex 1773  wnf 1777  wcel 2098  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  wss 3945  c0 4323   class class class wbr 5148  (class class class)co 7417  infcinf 9464  cr 11137   + caddc 11141  +∞cpnf 11275  -∞cmnf 11276  *cxr 11277   < clt 11278  cle 11279  +crp 13006   +𝑒 cxad 13122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-rp 13007  df-xadd 13125
This theorem is referenced by:  infleinf  44834  infrpgernmpt  44927  ovnlerp  46030
  Copyright terms: Public domain W3C validator