MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nltpnft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nltpnft 12377
Description: An extended real is not less than plus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
nltpnft (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))

Proof of Theorem nltpnft
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10496 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2 xrltnr 12334 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → ¬ +∞ < +∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ¬ +∞ < +∞
4 breq1 4933 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < +∞ ↔ +∞ < +∞))
53, 4mtbiri 319 . 2 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < +∞)
6 pnfge 12345 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
7 xrleloe 12357 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ +∞ ↔ (𝐴 < +∞ ∨ 𝐴 = +∞)))
81, 7mpan2 678 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ +∞ ↔ (𝐴 < +∞ ∨ 𝐴 = +∞)))
96, 8mpbid 224 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ∨ 𝐴 = +∞))
109ord 850 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴 < +∞ → 𝐴 = +∞))
115, 10impbid2 218 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wo 833   = wceq 1507  wcel 2050   class class class wbr 4930  +∞cpnf 10473  *cxr 10475   < clt 10476  cle 10477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-po 5327  df-so 5328  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482
This theorem is referenced by:  xgepnf  12378  xrrebnd  12381  xlt2add  12472  supxrbnd1  12533  supxrbnd2  12534  supxrgtmnf  12541  supxrre2  12543  ioopnfsup  13050  icopnfsup  13051  xrsdsreclblem  20296  ovoliun  23812  ovolicopnf  23831  voliunlem3  23859  volsup  23863  itg2seq  24049  nmoreltpnf  28326  nmopreltpnf  29430  ismblfin  34374  supxrgere  41031  supxrgelem  41035  supxrge  41036  suplesup  41037  nepnfltpnf  41040  xrpnf  41194  sge0repnf  42100  sge0rpcpnf  42135  sge0rernmpt  42136
  Copyright terms: Public domain W3C validator