MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nltpnft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nltpnft 13203
Description: An extended real is not less than plus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
nltpnft (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))

Proof of Theorem nltpnft
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11313 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2 xrltnr 13159 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → ¬ +∞ < +∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ¬ +∞ < +∞
4 breq1 5151 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < +∞ ↔ +∞ < +∞))
53, 4mtbiri 327 . 2 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < +∞)
6 pnfge 13170 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
7 xrleloe 13183 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ +∞ ↔ (𝐴 < +∞ ∨ 𝐴 = +∞)))
81, 7mpan2 691 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ +∞ ↔ (𝐴 < +∞ ∨ 𝐴 = +∞)))
96, 8mpbid 232 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ∨ 𝐴 = +∞))
109ord 864 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴 < +∞ → 𝐴 = +∞))
115, 10impbid2 226 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299
This theorem is referenced by:  xgepnf  13204  xrrebnd  13207  xlt2add  13299  supxrbnd1  13360  supxrbnd2  13361  supxrgtmnf  13368  supxrre2  13370  ioopnfsup  13901  icopnfsup  13902  xrsdsreclblem  21448  ovoliun  25554  ovolicopnf  25573  voliunlem3  25601  volsup  25605  itg2seq  25792  nmoreltpnf  30798  nmopreltpnf  31898  ismblfin  37648  supxrgere  45283  supxrgelem  45287  supxrge  45288  suplesup  45289  nepnfltpnf  45292  xrpnf  45436  sge0repnf  46342  sge0rpcpnf  46377  sge0rernmpt  46378
  Copyright terms: Public domain W3C validator