Theorem prodeq1 15668

Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2904	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
2		nfcv 2904	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
3	1, 2	prodeq1f 15667	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ∏cprod 15664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3333  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-xp 5606  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-iota 6410  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-seq 13772  df-prod 15665

This theorem is referenced by:  prodeq1i  15677  prodeq1d  15680  prod1  15703  fprodf1o  15705  fprodss  15707  fprodcllem  15710  fprodmul  15719  fproddiv  15720  fprodconst  15737  fprodn0  15738  fprod2d  15740  fprodmodd  15756  coprmprod  16415  coprmproddvds  16417  fprodexp  43364  fprodabs2  43365  mccl  43368  fprodcn  43370  fprodcncf  43670  dvmptfprod  43715  dvnprodlem3  43718  hoidmvval  44345  ovnhoi  44371  hspmbllem2  44395  fmtnorec2  45239