Theorem prodeq1 15886

Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2899	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
2		nfcv 2899	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
3	1, 2	prodeq1f 15885	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534  ∏cprod 15882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-xp 5684  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-iota 6500  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-seq 14000  df-prod 15883

This theorem is referenced by:  prodeq1i  15895  prodeq1d  15898  prod1  15921  fprodf1o  15923  fprodss  15925  fprodcllem  15928  fprodmul  15937  fproddiv  15938  fprodconst  15955  fprodn0  15956  fprod2d  15958  fprodmodd  15974  coprmprod  16632  coprmproddvds  16634  fprodexp  44982  fprodabs2  44983  mccl  44986  fprodcn  44988  fprodcncf  45288  dvmptfprod  45333  dvnprodlem3  45336  hoidmvval  45965  ovnhoi  45991  hspmbllem2  46015  fmtnorec2  46883