Theorem vonicc 43324

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonicc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonicc.i	⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))
vonicc.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))

Assertion

Ref	Expression
vonicc	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem vonicc

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonicc.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		vonicc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
3	2	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4		feq2 6469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
5	4	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
6	3, 5	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ)
7		vonicc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
8	7	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
9		feq2 6469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
10	9	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
11	8, 10	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐵:∅⟶ℝ)
12	1, 6, 11	hoidmv0val 43222	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)
13	12	eqcomd 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 0 = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
14		fveq2 6645	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
15		vonicc.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)))
17		ixpeq1 8455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)))
18	16, 17	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)))
19	14, 18	fveq12d 6652	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))))
20	19	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))))
21		0fin 8730	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ Fin)
23		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
24	22, 23, 6, 11	iccvonmbl 43318	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) ∈ dom (voln‘∅))
25	24	von0val 43310	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))) = 0)
26	20, 25	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = 0)
27		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐿‘𝑋) = (𝐿‘∅))
28	27	oveqd 7152	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
29	28	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
30	13, 26, 29	3eqtr4d 2843	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))
31		neqne 2995	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
32	31	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
33		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅)
34		nfra1 3183	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)
35	33, 34	nfan 1900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
36	2	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
37	7	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
38		volico2 43280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
39	36, 37, 38	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
40	39	ad4ant14 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
41		rspa 3171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
42	41	iftrued 4433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if((𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0) = ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
43	42	adantll 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if((𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0) = ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
44	40, 43	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
45	44	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → (𝑘 ∈ 𝑋 → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))))
46	35, 45	ralrimi 3180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
47	46	prodeq2d 15268	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
48	47	eqcomd 2804	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
49		fveq2 6645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑗))
50		fveq2 6645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑗))
51	49, 50	breq12d 5043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) ↔ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)))
52	51	cbvralvw 3396	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗))
53	52	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) → ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗))
54	53	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗))
55		vonicc.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
56	55	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
57	56	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
58	2	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
59	58	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
60	7	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
61	60	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
62		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
63	62	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)) → 𝑋 ≠ ∅)
64	52, 41	sylanbr 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
65	64	adantll 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
66		fveq2 6645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑘))
67	66	oveq1d 7150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚)) = ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑚)))
68	67	cbvmptv 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑚)))
69	68	mpteq2i 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑚))))
70		oveq2 7143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑛))
71	70	oveq2d 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑚)) = ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)))
72	71	mpteq2dv 5126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑚))) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
73	72	cbvmptv 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
74	69, 73	eqtri 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
75		fveq2 6645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛))
76	75	fveq1d 6647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘))
77	76	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)))
78	77	ixpeq2dv 8460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘)) = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)))
79	78	cbvmptv 5133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)))
80	57, 59, 61, 63, 65, 15, 74, 79	vonicclem2 43323	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
81	54, 80	syldan 594	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
82	1, 56, 62, 58, 60	hoidmvn0val 43223	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
83	82	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
84	48, 81, 83	3eqtr4d 2843	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))
85		rexnal 3201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑋 ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
86	85	bicomi 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑋 ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
87	86	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
88	87	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
89		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
90	37	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
91	36	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
92	90, 91	ltnled 10776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ((𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘) ↔ ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)))
93	89, 92	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘))
94	93	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) → (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)))
95	94	reximdva 3233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑋 ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)))
96	95	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → (∃𝑘 ∈ 𝑋 ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)))
97	88, 96	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘))
98	97	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘))
99		nfcv 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(voln‘𝑋)
100		nfixp1 8465	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))
101	15, 100	nfcxfr 2953	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐼
102	99, 101	nffv 6655	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼)
103		nfcv 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
104		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘Fin
105		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(ℝ ↑m 𝑥)
106		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 = ∅
107		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘0
108		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
109	108	nfcprod1 15256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))
110	106, 107, 109	nfif 4454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))
111	105, 105, 110	nfmpo 7215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
112	104, 111	nfmpt 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
113	1, 112	nfcxfr 2953	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐿
114		nfcv 2955	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
115	113, 114	nffv 6655	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐿‘𝑋)
116		nfcv 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
117	103, 115, 116	nfov 7165	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵)
118	102, 117	nfeq 2968	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵)
119	55	vonmea 43213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
120	119	mea0 43093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
121	120	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
122	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)))
123		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → 𝑘 ∈ 𝑋)
124		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘))
125		ressxr 10674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
126	125, 36	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ*)
127	125, 37	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*)
128		icc0 12774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*) → (((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)))
129	126, 127, 128	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)))
130	129	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → (((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)))
131	124, 130	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅)
132		rspe 3263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅)
133	123, 131, 132	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅)
134		ixp0 8478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅)
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅)
136	122, 135	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → 𝐼 = ∅)
137	136	fveq2d 6649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘∅))
138		ne0i 4250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 → 𝑋 ≠ ∅)
139	138	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
140	139, 82	syldan 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
141	140	3adant3 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
142		eleq1w 2872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝑋 ↔ 𝑘 ∈ 𝑋))
143		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑘))
144	66, 143	breq12d 5043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗) ↔ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)))
145	142, 144	3anbi23d 1436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘))))
146	145	imbi1d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)))
147		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗))
148	55	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
149		volicore 43220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
150	36, 37, 149	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
151	150	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
152	151	3ad2antl1 1182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
153		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → 𝑗 ∈ 𝑋)
154	49, 50	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗)))
155	154	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))))
156	155	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))))
157	2	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
158	7	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
159		volico2 43280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
160	157, 158, 159	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
161	160	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
162		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗))
163	158, 157	ltnled 10776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗) ↔ ¬ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)))
164	163	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → ((𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗) ↔ ¬ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)))
165	162, 164	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → ¬ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗))
166	165	iffalsed 4436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → if((𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0) = 0)
167	161, 166	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = 0)
168	167	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = 0)
169	156, 168	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
170	147, 148, 152, 153, 169	fprodeq0g 15340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
171	146, 170	chvarvv 2005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
172	141, 171	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)
173	121, 137, 172	3eqtr4d 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))
174	173	3exp 1116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 → ((𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))))
175	174	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝑋 → ((𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))))
176	33, 118, 175	rexlimd 3276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵)))
177	176	imp 410	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))
178	98, 177	syldan 594	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))
179	84, 178	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))
180	32, 179	syldan 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))
181	30, 180	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ∅c0 4243  ifcif 4425   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137   ↑_m cmap 8389  Xcixp 8444  Fincfn 8492  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  ∏cprod 15251  volcvol 24067  volncvoln 43177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-prod 15252  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-pws 16715  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-field 19498  df-subrg 19526  df-abv 19581  df-staf 19609  df-srng 19610  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lmhm 19787  df-lvec 19868  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-refld 20294  df-phl 20315  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-nm 23189  df-ngp 23190  df-tng 23191  df-nrg 23192  df-nlm 23193  df-cncf 23483  df-clm 23668  df-cph 23773  df-tcph 23774  df-rrx 23989  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-salg 42951  df-sumge0 43002  df-mea 43089  df-ome 43129  df-caragen 43131  df-ovoln 43176  df-voln 43178

This theorem is referenced by:  vonn0icc  43327