Theorem vonicc 44916

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonicc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonicc.i	⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))
vonicc.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))

Assertion

Ref	Expression
vonicc	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem vonicc

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonicc.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		vonicc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
3	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4		feq2 6650	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
5	4	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
6	3, 5	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ)
7		vonicc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
8	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
9		feq2 6650	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
10	9	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
11	8, 10	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐵:∅⟶ℝ)
12	1, 6, 11	hoidmv0val 44814	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)
13	12	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 0 = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
14		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
15		vonicc.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)))
17		ixpeq1 8846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)))
18	16, 17	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)))
19	14, 18	fveq12d 6849	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))))
20	19	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))))
21		0fin 9115	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ Fin)
23		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
24	22, 23, 6, 11	iccvonmbl 44910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) ∈ dom (voln‘∅))
25	24	von0val 44902	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))) = 0)
26	20, 25	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = 0)
27		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐿‘𝑋) = (𝐿‘∅))
28	27	oveqd 7374	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
29	28	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
30	13, 26, 29	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))
31		neqne 2951	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
32	31	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
33		nfv 1917	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅)
34		nfra1 3267	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)
35	33, 34	nfan 1902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
36	2	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
37	7	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
38		volico2 44872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
39	36, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
40	39	ad4ant14 750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
41		rspa 3231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
42	41	iftrued 4494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if((𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0) = ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
43	42	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if((𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0) = ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
44	40, 43	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
45	44	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → (𝑘 ∈ 𝑋 → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))))
46	35, 45	ralrimi 3240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
47	46	prodeq2d 15805	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
48	47	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
49		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑗))
50		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑗))
51	49, 50	breq12d 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) ↔ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)))
52	51	cbvralvw 3225	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗))
53	52	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) → ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗))
54	53	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗))
55		vonicc.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
56	55	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
57	56	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
58	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
59	58	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
60	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
61	60	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
62		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
63	62	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)) → 𝑋 ≠ ∅)
64	52, 41	sylanbr 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
65	64	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
66		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑘))
67	66	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚)) = ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑚)))
68	67	cbvmptv 5218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑚)))
69	68	mpteq2i 5210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑚))))
70		oveq2 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑛))
71	70	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑚)) = ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)))
72	71	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑚))) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
73	72	cbvmptv 5218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
74	69, 73	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
75		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛))
76	75	fveq1d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘))
77	76	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)))
78	77	ixpeq2dv 8851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘)) = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)))
79	78	cbvmptv 5218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)))
80	57, 59, 61, 63, 65, 15, 74, 79	vonicclem2 44915	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
81	54, 80	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
82	1, 56, 62, 58, 60	hoidmvn0val 44815	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
83	82	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
84	48, 81, 83	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))
85		rexnal 3103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑋 ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
86	85	bicomi 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑋 ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
87	86	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
88	87	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
89		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
90	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
91	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
92	90, 91	ltnled 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ((𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘) ↔ ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)))
93	89, 92	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘))
94	93	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) → (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)))
95	94	reximdva 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑋 ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)))
96	95	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → (∃𝑘 ∈ 𝑋 ¬ (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)))
97	88, 96	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘))
98	97	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘))
99		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(voln‘𝑋)
100		nfixp1 8856	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘))
101	15, 100	nfcxfr 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐼
102	99, 101	nffv 6852	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼)
103		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
104		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘Fin
105		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(ℝ ↑m 𝑥)
106		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 = ∅
107		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘0
108		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
109	108	nfcprod1 15793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))
110	106, 107, 109	nfif 4516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))
111	105, 105, 110	nfmpo 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
112	104, 111	nfmpt 5212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
113	1, 112	nfcxfr 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐿
114		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
115	113, 114	nffv 6852	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐿‘𝑋)
116		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
117	103, 115, 116	nfov 7387	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵)
118	102, 117	nfeq 2920	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵)
119	55	vonmea 44805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
120	119	mea0 44685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
121	120	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
122	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)))
123		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → 𝑘 ∈ 𝑋)
124		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘))
125		ressxr 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
126	125, 36	sselid 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ*)
127	125, 37	sselid 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*)
128		icc0 13312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*) → (((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)))
129	126, 127, 128	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)))
130	129	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → (((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)))
131	124, 130	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅)
132		rspe 3232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅)
133	123, 131, 132	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅)
134		ixp0 8869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅)
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,](𝐵‘𝑘)) = ∅)
136	122, 135	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → 𝐼 = ∅)
137	136	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘∅))
138		ne0i 4294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 → 𝑋 ≠ ∅)
139	138	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
140	139, 82	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
141	140	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
142		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝑋 ↔ 𝑘 ∈ 𝑋))
143		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑘))
144	66, 143	breq12d 5118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗) ↔ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)))
145	142, 144	3anbi23d 1439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘))))
146	145	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)))
147		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗))
148	55	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
149		volicore 44812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
150	36, 37, 149	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
151	150	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
152	151	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
153		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → 𝑗 ∈ 𝑋)
154	49, 50	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗)))
155	154	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))))
156	155	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))))
157	2	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℝ)
158	7	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
159		volico2 44872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
160	157, 158, 159	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
161	160	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = if((𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0))
162		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗))
163	158, 157	ltnled 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗) ↔ ¬ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)))
164	163	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → ((𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗) ↔ ¬ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗)))
165	162, 164	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → ¬ (𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗))
166	165	iffalsed 4497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → if((𝐴‘𝑗) ≤ (𝐵‘𝑗), ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)), 0) = 0)
167	161, 166	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = 0)
168	167	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴‘𝑗)[,)(𝐵‘𝑗))) = 0)
169	156, 168	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
170	147, 148, 152, 153, 169	fprodeq0g 15877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑗) < (𝐴‘𝑗)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
171	146, 170	chvarvv 2002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 0)
172	141, 171	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = 0)
173	121, 137, 172	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))
174	173	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 → ((𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))))
175	174	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑘 ∈ 𝑋 → ((𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))))
176	33, 118, 175	rexlimd 3249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵)))
177	176	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑋 (𝐵‘𝑘) < (𝐴‘𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))
178	98, 177	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))
179	84, 178	pm2.61dan 811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))
180	32, 179	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))
181	30, 180	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  ∅c0 4282  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359   ↑_m cmap 8765  Xcixp 8835  Fincfn 8883  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  ∏cprod 15788  volcvol 24827  volncvoln 44769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-ac2 10399  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-ac 10052  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-prod 15789  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-pws 17331  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-field 20188  df-subrg 20220  df-abv 20276  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lmhm 20483  df-lvec 20564  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-refld 21009  df-phl 21030  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-tng 23940  df-nrg 23941  df-nlm 23942  df-cncf 24241  df-clm 24426  df-cph 24532  df-tcph 24533  df-rrx 24749  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-salg 44540  df-sumge0 44594  df-mea 44681  df-ome 44721  df-caragen 44723  df-ovoln 44768  df-voln 44770

This theorem is referenced by:  vonn0icc  44919