Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonicc 41826
 Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonicc.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonicc.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonicc.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonicc.i 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))
vonicc.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
Assertion
Ref Expression
vonicc (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem vonicc
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonicc.l . . . . 5 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
2 vonicc.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
32adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4 feq2 6273 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
54adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
63, 5mpbid 224 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ)
7 vonicc.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
87adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
9 feq2 6273 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
109adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
118, 10mpbid 224 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵:∅⟶ℝ)
121, 6, 11hoidmv0val 41724 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)
1312eqcomd 2784 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 0 = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
14 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
15 vonicc.i . . . . . . . 8 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)))
17 ixpeq1 8205 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)))
1816, 17eqtrd 2814 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)))
1914, 18fveq12d 6453 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))))
2019adantl 475 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))))
21 0fin 8476 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ Fin)
23 eqid 2778 . . . . . 6 dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
2422, 23, 6, 11iccvonmbl 41820 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) ∈ dom (voln‘∅))
2524von0val 41812 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))) = 0)
2620, 25eqtrd 2814 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = 0)
27 fveq2 6446 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (𝐿𝑋) = (𝐿‘∅))
2827oveqd 6939 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
2928adantl 475 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
3013, 26, 293eqtr4d 2824 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
31 neqne 2977 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
3231adantl 475 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
33 nfv 1957 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑𝑋 ≠ ∅)
34 nfra1 3123 . . . . . . . . 9 𝑘𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)
3533, 34nfan 1946 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
362ffvelrnda 6623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
377ffvelrnda 6623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
38 volico2 41782 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
3936, 37, 38syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
4039ad4ant14 742 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
41 rspa 3112 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
4241iftrued 4315 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ∧ 𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4342adantll 704 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4440, 43eqtrd 2814 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4544ex 403 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝑘𝑋 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
4635, 45ralrimi 3139 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∀𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4746prodeq2d 15055 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4847eqcomd 2784 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
49 fveq2 6446 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑗))
50 fveq2 6446 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑗))
5149, 50breq12d 4899 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ↔ (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)))
5251cbvralv 3367 . . . . . . . 8 (∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ↔ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗))
5352biimpi 208 . . . . . . 7 (∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗))
5453adantl 475 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗))
55 vonicc.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5655adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
5756adantr 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
582adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
5958adantr 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
607adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
6160adantr 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
62 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
6362adantr 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) → 𝑋 ≠ ∅)
6452, 41sylanbr 577 . . . . . . . 8 ((∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
6564adantll 704 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
66 fveq2 6446 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
6766oveq1d 6937 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚)) = ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚)))
6867cbvmptv 4985 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚)))
6968mpteq2i 4976 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚))))
70 oveq2 6930 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑛))
7170oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚)) = ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)))
7271mpteq2dv 4980 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))))
7372cbvmptv 4985 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))))
7469, 73eqtri 2802 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))))
75 fveq2 6446 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛))
7675fveq1d 6448 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘))
7776oveq2d 6938 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 → ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘)) = ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)))
7877ixpeq2dv 8210 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘)) = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)))
7978cbvmptv 4985 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)))
8057, 59, 61, 63, 65, 15, 74, 79vonicclem2 41825 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
8154, 80syldan 585 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
821, 56, 62, 58, 60hoidmvn0val 41725 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
8382adantr 474 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
8448, 81, 833eqtr4d 2824 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
85 rexnal 3176 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
8685bicomi 216 . . . . . . . . 9 (¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ↔ ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
8786biimpi 208 . . . . . . . 8 (¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
8887adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
89 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
9037adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
9136adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
9290, 91ltnled 10523 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((𝐵𝑘) < (𝐴𝑘) ↔ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)))
9389, 92mpbird 249 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘))
9493ex 403 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
9594reximdva 3198 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
9695adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
9788, 96mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘))
9897adantlr 705 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘))
99 nfcv 2934 . . . . . . . . 9 𝑘(voln‘𝑋)
100 nfixp1 8214 . . . . . . . . . 10 𝑘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))
10115, 100nfcxfr 2932 . . . . . . . . 9 𝑘𝐼
10299, 101nffv 6456 . . . . . . . 8 𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼)
103 nfcv 2934 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴
104 nfcv 2934 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Fin
105 nfcv 2934 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(ℝ ↑𝑚 𝑥)
106 nfv 1957 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑥 = ∅
107 nfcv 2934 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘0
108 nfcv 2934 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑥
109108nfcprod1 15043 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))
110106, 107, 109nfif 4336 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))
111105, 105, 110nfmpt2 7001 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))
112104, 111nfmpt 4981 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
1131, 112nfcxfr 2932 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐿
114 nfcv 2934 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑋
115113, 114nffv 6456 . . . . . . . . 9 𝑘(𝐿𝑋)
116 nfcv 2934 . . . . . . . . 9 𝑘𝐵
117103, 115, 116nfov 6952 . . . . . . . 8 𝑘(𝐴(𝐿𝑋)𝐵)
118102, 117nfeq 2945 . . . . . . 7 𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵)
11955vonmea 41715 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
120119mea0 41595 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
1211203ad2ant1 1124 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
12215a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)))
123 simp2 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → 𝑘𝑋)
124 simp3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘))
125 ressxr 10420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℝ ⊆ ℝ*
126125, 36sseldi 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
127125, 37sseldi 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
128 icc0 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) → (((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
129126, 127, 128syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑋) → (((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
1301293adant3 1123 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → (((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
131124, 130mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅)
132 rspe 3184 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑋 ∧ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅) → ∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅)
133123, 131, 132syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅)
134 ixp0 8227 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅)
136122, 135eqtrd 2814 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → 𝐼 = ∅)
137136fveq2d 6450 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘∅))
138 ne0i 4149 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑋𝑋 ≠ ∅)
139138adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
140139, 82syldan 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
1411403adant3 1123 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
142 eleq1w 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑋𝑘𝑋))
143 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
14466, 143breq12d 4899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵𝑗) < (𝐴𝑗) ↔ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
145142, 1443anbi23d 1512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) ↔ (𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘))))
146145imbi1d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0) ↔ ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)))
147 nfv 1957 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗))
148553ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
149 volicore 41722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
15036, 37, 149syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
151150recnd 10405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
1521513ad2antl1 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
153 simp2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → 𝑗𝑋)
15449, 50oveq12d 6940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗)))
155154fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))))
156155adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))))
1572ffvelrnda 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
1587ffvelrnda 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
159 volico2 41782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
160157, 158, 159syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
1611603adant3 1123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
162 simp3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗))
163158, 157ltnled 10523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝐵𝑗) < (𝐴𝑗) ↔ ¬ (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)))
1641633adant3 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → ((𝐵𝑗) < (𝐴𝑗) ↔ ¬ (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)))
165162, 164mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → ¬ (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗))
166165iffalsed 4318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → if((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0) = 0)
167161, 166eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = 0)
168167adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = 0)
169156, 168eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
170147, 148, 152, 153, 169fprodeq0g 15127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
171146, 170chvarv 2361 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
172141, 171eqtrd 2814 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = 0)
173121, 137, 1723eqtr4d 2824 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
1741733exp 1109 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) < (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))))
175174adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) < (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))))
17633, 118, 175rexlimd 3208 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵)))
177176imp 397 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
17898, 177syldan 585 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
17984, 178pm2.61dan 803 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
18032, 179syldan 585 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
18130, 180pm2.61dan 803 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  ∃wrex 3091  ∅c0 4141  ifcif 4307   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965  dom cdm 5355  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↦ cmpt2 6924   ↑𝑚 cmap 8140  Xcixp 8194  Fincfn 8241  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275  ℝ*cxr 10410   < clt 10411   ≤ cle 10412   − cmin 10606   / cdiv 11032  ℕcn 11374  [,)cico 12489  [,]cicc 12490  ∏cprod 15038  volcvol 23667  volncvoln 41679 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-ac2 9620  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-disj 4855  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-ac 9272  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-prod 15039  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-pws 16496  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-rnghom 19104  df-drng 19141  df-field 19142  df-subrg 19170  df-abv 19209  df-staf 19237  df-srng 19238  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lmhm 19417  df-lvec 19498  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-refld 20348  df-phl 20369  df-dsmm 20475  df-frlm 20490  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-cmp 21599  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-nm 22795  df-ngp 22796  df-tng 22797  df-nrg 22798  df-nlm 22799  df-cncf 23089  df-clm 23270  df-cph 23375  df-tcph 23376  df-rrx 23591  df-ovol 23668  df-vol 23669  df-salg 41453  df-sumge0 41504  df-mea 41591  df-ome 41631  df-caragen 41633  df-ovoln 41678  df-voln 41680 This theorem is referenced by:  vonn0icc  41829
 Copyright terms: Public domain W3C validator