Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptfprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptfprod 44118
Description: Function-builder for derivative, finite product rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfprod.iph β„²π‘–πœ‘
dvmptfprod.jph β„²π‘—πœ‘
dvmptfprod.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
dvmptfprod.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvmptfprod.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvmptfprod.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
dvmptfprod.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
dvmptfprod.a ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvmptfprod.b ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
dvmptfprod.d ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
dvmptfprod.bc (𝑖 = 𝑗 β†’ 𝐡 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
dvmptfprod (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝐼 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝐼 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝐼 βˆ– {𝑗})𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐢,𝑖   𝑖,𝐼,𝑗,π‘₯   𝑆,𝑖,𝑗,π‘₯   𝑖,𝑋,𝑗,π‘₯   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖,𝑗)   𝐴(π‘₯,𝑖)   𝐡(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝐢(π‘₯,𝑗)   𝐽(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝐾(π‘₯,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem dvmptfprod
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvmptfprod.i . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
2 ssid 3964 . . 3 𝐼 βŠ† 𝐼
32jctr 525 . 2 (πœ‘ β†’ (πœ‘ ∧ 𝐼 βŠ† 𝐼))
4 sseq1 3967 . . . . 5 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐼 ↔ βˆ… βŠ† 𝐼))
54anbi2d 629 . . . 4 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐼) ↔ (πœ‘ ∧ βˆ… βŠ† 𝐼)))
6 prodeq1 15784 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴 = βˆπ‘– ∈ βˆ… 𝐴)
76mpteq2dv 5205 . . . . . 6 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ βˆ… 𝐴))
87oveq2d 7369 . . . . 5 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ βˆ… 𝐴)))
9 sumeq1 15565 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = Σ𝑗 ∈ βˆ… (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴))
10 difeq1 4073 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘Ž βˆ– {𝑗}) = (βˆ… βˆ– {𝑗}))
1110prodeq1d 15796 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴 = βˆπ‘– ∈ (βˆ… βˆ– {𝑗})𝐴)
1211oveq2d 7369 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (βˆ… βˆ– {𝑗})𝐴))
1312sumeq2sdv 15581 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ Σ𝑗 ∈ βˆ… (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = Σ𝑗 ∈ βˆ… (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (βˆ… βˆ– {𝑗})𝐴))
149, 13eqtrd 2776 . . . . . 6 (π‘Ž = βˆ… β†’ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = Σ𝑗 ∈ βˆ… (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (βˆ… βˆ– {𝑗})𝐴))
1514mpteq2dv 5205 . . . . 5 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ βˆ… (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (βˆ… βˆ– {𝑗})𝐴)))
168, 15eqeq12d 2752 . . . 4 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴)) ↔ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ βˆ… 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ βˆ… (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (βˆ… βˆ– {𝑗})𝐴))))
175, 16imbi12d 344 . . 3 (π‘Ž = βˆ… β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴))) ↔ ((πœ‘ ∧ βˆ… βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ βˆ… 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ βˆ… (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (βˆ… βˆ– {𝑗})𝐴)))))
18 sseq1 3967 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐼 ↔ 𝑏 βŠ† 𝐼))
1918anbi2d 629 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐼) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐼)))
20 prodeq1 15784 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴 = βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)
2120mpteq2dv 5205 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴))
2221oveq2d 7369 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)))
23 sumeq1 15565 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴))
24 difeq1 4073 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž βˆ– {𝑗}) = (𝑏 βˆ– {𝑗}))
2524prodeq1d 15796 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑏 β†’ βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴 = βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴)
2625oveq2d 7369 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))
2726sumeq2sdv 15581 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))
2823, 27eqtrd 2776 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))
2928mpteq2dv 5205 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴)))
3022, 29eqeq12d 2752 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴)) ↔ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))))
3119, 30imbi12d 344 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴)))))
32 sseq1 3967 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {𝑐}) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐼 ↔ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼))
3332anbi2d 629 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {𝑐}) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐼) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼)))
34 prodeq1 15784 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {𝑐}) β†’ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴 = βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})𝐴)
3534mpteq2dv 5205 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {𝑐}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})𝐴))
3635oveq2d 7369 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {𝑐}) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})𝐴)))
37 sumeq1 15565 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {𝑐}) β†’ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = Σ𝑗 ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})(𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴))
38 difeq1 4073 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {𝑐}) β†’ (π‘Ž βˆ– {𝑗}) = ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑗}))
3938prodeq1d 15796 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {𝑐}) β†’ βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴 = βˆπ‘– ∈ ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑗})𝐴)
4039oveq2d 7369 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {𝑐}) β†’ (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑗})𝐴))
4140sumeq2sdv 15581 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {𝑐}) β†’ Σ𝑗 ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})(𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = Σ𝑗 ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})(𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑗})𝐴))
4237, 41eqtrd 2776 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {𝑐}) β†’ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = Σ𝑗 ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})(𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑗})𝐴))
4342mpteq2dv 5205 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {𝑐}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})(𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑗})𝐴)))
4436, 43eqeq12d 2752 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {𝑐}) β†’ ((𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴)) ↔ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})(𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑗})𝐴))))
4533, 44imbi12d 344 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {𝑐}) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴))) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})(𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑗})𝐴)))))
46 sseq1 3967 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐼 ↔ 𝐼 βŠ† 𝐼))
4746anbi2d 629 . . . 4 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐼) ↔ (πœ‘ ∧ 𝐼 βŠ† 𝐼)))
48 prodeq1 15784 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐼 β†’ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴 = βˆπ‘– ∈ 𝐼 𝐴)
4948mpteq2dv 5205 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝐼 𝐴))
5049oveq2d 7369 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝐼 𝐴)))
51 sumeq1 15565 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐼 β†’ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = Σ𝑗 ∈ 𝐼 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴))
52 difeq1 4073 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (π‘Ž βˆ– {𝑗}) = (𝐼 βˆ– {𝑗}))
5352prodeq1d 15796 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐼 β†’ βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴 = βˆπ‘– ∈ (𝐼 βˆ– {𝑗})𝐴)
5453oveq2d 7369 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝐼 βˆ– {𝑗})𝐴))
5554a1d 25 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 β†’ (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝐼 βˆ– {𝑗})𝐴)))
5655ralrimiv 3140 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐼 β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐼 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝐼 βˆ– {𝑗})𝐴))
5756sumeq2d 15579 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐼 β†’ Σ𝑗 ∈ 𝐼 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = Σ𝑗 ∈ 𝐼 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝐼 βˆ– {𝑗})𝐴))
5851, 57eqtrd 2776 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐼 β†’ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴) = Σ𝑗 ∈ 𝐼 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝐼 βˆ– {𝑗})𝐴))
5958mpteq2dv 5205 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝐼 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝐼 βˆ– {𝑗})𝐴)))
6050, 59eqeq12d 2752 . . . 4 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴)) ↔ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝐼 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝐼 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝐼 βˆ– {𝑗})𝐴))))
6147, 60imbi12d 344 . . 3 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ π‘Ž 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ π‘Ž (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (π‘Ž βˆ– {𝑗})𝐴))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐼 βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝐼 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝐼 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝐼 βˆ– {𝑗})𝐴)))))
62 prod0 15818 . . . . . . . 8 βˆπ‘– ∈ βˆ… 𝐴 = 1
6362mpteq2i 5208 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ βˆ… 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 1)
6463oveq2i 7364 . . . . . 6 (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ βˆ… 𝐴)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 1))
6564a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ βˆ… 𝐴)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 1)))
66 dvmptfprod.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
67 dvmptfprod.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
68 dvmptfprod.j . . . . . . . 8 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
69 dvmptfprod.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
7069oveq1i 7363 . . . . . . . 8 (𝐾 β†Ύt 𝑆) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆)
7168, 70eqtri 2764 . . . . . . 7 𝐽 = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆)
7267, 71eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
73 1cnd 11146 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
7466, 72, 73dvmptconst 44088 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 1)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
75 sum0 15598 . . . . . . . 8 Σ𝑗 ∈ βˆ… (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (βˆ… βˆ– {𝑗})𝐴) = 0
7675eqcomi 2745 . . . . . . 7 0 = Σ𝑗 ∈ βˆ… (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (βˆ… βˆ– {𝑗})𝐴)
7776mpteq2i 5208 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ βˆ… (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (βˆ… βˆ– {𝑗})𝐴))
7877a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ βˆ… (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (βˆ… βˆ– {𝑗})𝐴)))
7965, 74, 783eqtrd 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ βˆ… 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ βˆ… (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (βˆ… βˆ– {𝑗})𝐴)))
8079adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ… βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ βˆ… 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ βˆ… (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (βˆ… βˆ– {𝑗})𝐴)))
81 simp3 1138 . . . . 5 (((𝑏 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼)) β†’ (πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼))
82 simp1r 1198 . . . . 5 (((𝑏 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼)) β†’ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏)
83 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) β†’ πœ‘)
84 ssun1 4130 . . . . . . . . . . 11 𝑏 βŠ† (𝑏 βˆͺ {𝑐})
85 sstr2 3949 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 βŠ† (𝑏 βˆͺ {𝑐}) β†’ ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼 β†’ 𝑏 βŠ† 𝐼))
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼 β†’ 𝑏 βŠ† 𝐼)
8786adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐼)
8883, 87jca 512 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐼))
8988adantl 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐼))
90 simpl 483 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))))
9189, 90mpd 15 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴)))
92913adant1 1130 . . . . 5 (((𝑏 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴)))
93 nfv 1917 . . . . . . 7 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏)
94 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝑆
95 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ D
96 nfmpt1 5211 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)
9794, 95, 96nfov 7383 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴))
98 nfmpt1 5211 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))
9997, 98nfeq 2918 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))
10093, 99nfan 1902 . . . . . 6 β„²π‘₯(((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴)))
101 dvmptfprod.iph . . . . . . . . 9 β„²π‘–πœ‘
102 nfv 1917 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖(𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼
103101, 102nfan 1902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼)
104 nfv 1917 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖 Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏
105103, 104nfan 1902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏)
106 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖𝑆
107 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖 D
108 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖𝑋
109 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖𝑏
110109nfcprod1 15785 . . . . . . . . . 10 β„²π‘–βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴
111108, 110nfmpt 5210 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)
112106, 107, 111nfov 7383 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴))
113 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖𝐢
114 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖 Β·
115 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖(𝑏 βˆ– {𝑗})
116115nfcprod1 15785 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘–βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴
117113, 114, 116nfov 7383 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖(𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴)
118109, 117nfsum 15567 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴)
119108, 118nfmpt 5210 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))
120112, 119nfeq 2918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖(𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))
121105, 120nfan 1902 . . . . . 6 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴)))
122 dvmptfprod.jph . . . . . . . . 9 β„²π‘—πœ‘
123 nfv 1917 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼
124122, 123nfan 1902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼)
125 nfv 1917 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏
126124, 125nfan 1902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏)
127 nfcv 2905 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴))
128 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝑋
129 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗𝑏
130129nfsum1 15566 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴)
131128, 130nfmpt 5210 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))
132127, 131nfeq 2918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))
133126, 132nfan 1902 . . . . . 6 Ⅎ𝑗(((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴)))
134 nfcsb1v 3878 . . . . . 6 Ⅎ𝑖⦋𝑐 / π‘–β¦Œπ΄
135 nfcsb1v 3878 . . . . . 6 Ⅎ𝑗⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ
13683ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) β†’ πœ‘)
1371363ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ πœ‘)
138 simp2 1137 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
139 simp3 1138 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
140 dvmptfprod.a . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
141137, 138, 139, 140syl3anc 1371 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
142136, 1syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
14387ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐼)
144 ssfi 9113 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑏 βŠ† 𝐼) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
145142, 143, 144syl2anc 584 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
146 vex 3447 . . . . . . 7 𝑐 ∈ V
147146a1i 11 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) β†’ 𝑐 ∈ V)
148 simplr 767 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) β†’ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏)
149 simpllr 774 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) β†’ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼)
15066ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
151136ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) β†’ πœ‘)
152143ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐼)
153 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) β†’ 𝑗 ∈ 𝑏)
154152, 153sseldd 3943 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) β†’ 𝑗 ∈ 𝐼)
155 simplr 767 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
156 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖 𝑗 ∈ 𝐼
157 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖 π‘₯ ∈ 𝑋
158101, 156, 157nf3an 1904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)
159 nfv 1917 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖 𝐢 ∈ β„‚
160158, 159nfim 1899 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
161 eleq1w 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ 𝑗 ∈ 𝐼))
1621613anbi2d 1441 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)))
163 dvmptfprod.bc . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ 𝐡 = 𝐢)
164163eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ 𝐢 ∈ β„‚))
165162, 164imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)))
166 dvmptfprod.b . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
167160, 165, 166chvarfv 2233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
168151, 154, 155, 167syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
169 simpr 485 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴)))
17083adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ πœ‘)
171 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼 β†’ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼)
172146snid 4620 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ {𝑐}
173 elun2 4135 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ {𝑐} β†’ 𝑐 ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐}))
174172, 173ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝑐 ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})
175174a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼 β†’ 𝑐 ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐}))
176171, 175sseldd 3943 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼 β†’ 𝑐 ∈ 𝐼)
177176ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑐 ∈ 𝐼)
178 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
179 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗 𝑐 ∈ 𝐼
180 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗 π‘₯ ∈ 𝑋
181122, 179, 180nf3an 1904 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)
182 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗ℂ
183135, 182nfel 2919 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ β„‚
184181, 183nfim 1899 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
185 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑐 β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 ↔ 𝑐 ∈ 𝐼))
1861853anbi2d 1441 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑐 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)))
187 csbeq1a 3867 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑐 β†’ 𝐢 = ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ)
188187eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑐 β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
189186, 188imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑐 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ β„‚)))
190184, 189, 167chvarfv 2233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
191170, 177, 178, 190syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
192191adantlr 713 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
193192adantlr 713 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
194122, 179nfan 1902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼)
195 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘–β¦Œπ΄))
196128, 135nfmpt 5210 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ)
197195, 196nfeq 2918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗(𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘–β¦Œπ΄)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ)
198194, 197nfim 1899 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘–β¦Œπ΄)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ))
199185anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑐 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼)))
200 csbeq1a 3867 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑐 β†’ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄ = ⦋𝑐 / π‘—β¦Œβ¦‹π‘— / π‘–β¦Œπ΄)
201 csbcow 3868 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⦋𝑐 / π‘—β¦Œβ¦‹π‘— / π‘–β¦Œπ΄ = ⦋𝑐 / π‘–β¦Œπ΄
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑐 β†’ ⦋𝑐 / π‘—β¦Œβ¦‹π‘— / π‘–β¦Œπ΄ = ⦋𝑐 / π‘–β¦Œπ΄)
203200, 202eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑐 β†’ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄ = ⦋𝑐 / π‘–β¦Œπ΄)
204203mpteq2dv 5205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑐 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘–β¦Œπ΄))
205204oveq2d 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑐 β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘–β¦Œπ΄)))
206187mpteq2dv 5205 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑐 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ))
207205, 206eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑐 β†’ ((𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢) ↔ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘–β¦Œπ΄)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ)))
208199, 207imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑐 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘–β¦Œπ΄)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ))))
209101, 156nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)
210 nfcsb1v 3878 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄
211108, 210nfmpt 5210 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄)
212106, 107, 211nfov 7383 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖(𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄))
213 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢)
214212, 213nfeq 2918 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢)
215209, 214nfim 1899 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢))
216161anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)))
217 csbeq1a 3867 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄)
218217mpteq2dv 5205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄))
219218oveq2d 7369 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄)))
220163idi 1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ 𝐡 = 𝐢)
221220mpteq2dv 5205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢))
222219, 221eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ↔ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢)))
223216, 222imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢))))
224 dvmptfprod.d . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
225215, 223, 224chvarfv 2233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ΄)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢))
226198, 208, 225chvarfv 2233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘–β¦Œπ΄)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ))
227176, 226sylan2 593 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘–β¦Œπ΄)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ))
228227ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘–β¦Œπ΄)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / π‘—β¦ŒπΆ))
229 csbeq1a 3867 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑐 β†’ 𝐴 = ⦋𝑐 / π‘–β¦Œπ΄)
230100, 121, 133, 134, 135, 141, 145, 147, 148, 149, 150, 168, 169, 193, 228, 229, 187dvmptfprodlem 44117 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})(𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑗})𝐴)))
23181, 82, 92, 230syl21anc 836 . . . 4 (((𝑏 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})(𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑗})𝐴)))
2322313exp 1119 . . 3 ((𝑏 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝑏) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝑏 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑏 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆ– {𝑗})𝐴))) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑏 βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝑏 βˆͺ {𝑐})(𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ ((𝑏 βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑗})𝐴)))))
23317, 31, 45, 61, 80, 232findcard2s 9105 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐼 βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝐼 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝐼 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝐼 βˆ– {𝑗})𝐴))))
2341, 3, 233sylc 65 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘– ∈ 𝐼 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝐼 (𝐢 Β· βˆπ‘– ∈ (𝐼 βˆ– {𝑗})𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  Vcvv 3443  β¦‹csb 3853   βˆ– cdif 3905   βˆͺ cun 3906   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280  {csn 4584  {cpr 4586   ↦ cmpt 5186  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  β„‚cc 11045  β„cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048   Β· cmul 11052  Ξ£csu 15562  βˆcprod 15780   β†Ύt crest 17294  TopOpenctopn 17295  β„‚fldccnfld 20781   D cdv 25211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-sum 15563  df-prod 15781  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-mulg 18864  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-fbas 20778  df-fg 20779  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-ntr 22355  df-cls 22356  df-nei 22433  df-lp 22471  df-perf 22472  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-haus 22650  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-fil 23181  df-fm 23273  df-flim 23274  df-flf 23275  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659  df-cncf 24225  df-limc 25214  df-dv 25215
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator