Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dvmptfprod.i |
. 2
β’ (π β πΌ β Fin) |
2 | | ssid 3964 |
. . 3
β’ πΌ β πΌ |
3 | 2 | jctr 525 |
. 2
β’ (π β (π β§ πΌ β πΌ)) |
4 | | sseq1 3967 |
. . . . 5
β’ (π = β
β (π β πΌ β β
β πΌ)) |
5 | 4 | anbi2d 629 |
. . . 4
β’ (π = β
β ((π β§ π β πΌ) β (π β§ β
β πΌ))) |
6 | | prodeq1 15784 |
. . . . . . 7
β’ (π = β
β βπ β π π΄ = βπ β β
π΄) |
7 | 6 | mpteq2dv 5205 |
. . . . . 6
β’ (π = β
β (π₯ β π β¦ βπ β π π΄) = (π₯ β π β¦ βπ β β
π΄)) |
8 | 7 | oveq2d 7369 |
. . . . 5
β’ (π = β
β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π D (π₯ β π β¦ βπ β β
π΄))) |
9 | | sumeq1 15565 |
. . . . . . 7
β’ (π = β
β Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = Ξ£π β β
(πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) |
10 | | difeq1 4073 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = β
β (π β {π}) = (β
β {π})) |
11 | 10 | prodeq1d 15796 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = β
β βπ β (π β {π})π΄ = βπ β (β
β {π})π΄) |
12 | 11 | oveq2d 7369 |
. . . . . . . 8
β’ (π = β
β (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = (πΆ Β· βπ β (β
β {π})π΄)) |
13 | 12 | sumeq2sdv 15581 |
. . . . . . 7
β’ (π = β
β Ξ£π β β
(πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = Ξ£π β β
(πΆ Β· βπ β (β
β {π})π΄)) |
14 | 9, 13 | eqtrd 2776 |
. . . . . 6
β’ (π = β
β Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = Ξ£π β β
(πΆ Β· βπ β (β
β {π})π΄)) |
15 | 14 | mpteq2dv 5205 |
. . . . 5
β’ (π = β
β (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β β
(πΆ Β· βπ β (β
β {π})π΄))) |
16 | 8, 15 | eqeq12d 2752 |
. . . 4
β’ (π = β
β ((π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β β
π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β β
(πΆ Β· βπ β (β
β {π})π΄)))) |
17 | 5, 16 | imbi12d 344 |
. . 3
β’ (π = β
β (((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β ((π β§ β
β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β β
π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β β
(πΆ Β· βπ β (β
β {π})π΄))))) |
18 | | sseq1 3967 |
. . . . 5
β’ (π = π β (π β πΌ β π β πΌ)) |
19 | 18 | anbi2d 629 |
. . . 4
β’ (π = π β ((π β§ π β πΌ) β (π β§ π β πΌ))) |
20 | | prodeq1 15784 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β βπ β π π΄ = βπ β π π΄) |
21 | 20 | mpteq2dv 5205 |
. . . . . 6
β’ (π = π β (π₯ β π β¦ βπ β π π΄) = (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) |
22 | 21 | oveq2d 7369 |
. . . . 5
β’ (π = π β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄))) |
23 | | sumeq1 15565 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) |
24 | | difeq1 4073 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β (π β {π}) = (π β {π})) |
25 | 24 | prodeq1d 15796 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β βπ β (π β {π})π΄ = βπ β (π β {π})π΄) |
26 | 25 | oveq2d 7369 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) |
27 | 26 | sumeq2sdv 15581 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) |
28 | 23, 27 | eqtrd 2776 |
. . . . . 6
β’ (π = π β Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) |
29 | 28 | mpteq2dv 5205 |
. . . . 5
β’ (π = π β (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) |
30 | 22, 29 | eqeq12d 2752 |
. . . 4
β’ (π = π β ((π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)))) |
31 | 19, 30 | imbi12d 344 |
. . 3
β’ (π = π β (((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β ((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))))) |
32 | | sseq1 3967 |
. . . . 5
β’ (π = (π βͺ {π}) β (π β πΌ β (π βͺ {π}) β πΌ)) |
33 | 32 | anbi2d 629 |
. . . 4
β’ (π = (π βͺ {π}) β ((π β§ π β πΌ) β (π β§ (π βͺ {π}) β πΌ))) |
34 | | prodeq1 15784 |
. . . . . . 7
β’ (π = (π βͺ {π}) β βπ β π π΄ = βπ β (π βͺ {π})π΄) |
35 | 34 | mpteq2dv 5205 |
. . . . . 6
β’ (π = (π βͺ {π}) β (π₯ β π β¦ βπ β π π΄) = (π₯ β π β¦ βπ β (π βͺ {π})π΄)) |
36 | 35 | oveq2d 7369 |
. . . . 5
β’ (π = (π βͺ {π}) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π D (π₯ β π β¦ βπ β (π βͺ {π})π΄))) |
37 | | sumeq1 15565 |
. . . . . . 7
β’ (π = (π βͺ {π}) β Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = Ξ£π β (π βͺ {π})(πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) |
38 | | difeq1 4073 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = (π βͺ {π}) β (π β {π}) = ((π βͺ {π}) β {π})) |
39 | 38 | prodeq1d 15796 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (π βͺ {π}) β βπ β (π β {π})π΄ = βπ β ((π βͺ {π}) β {π})π΄) |
40 | 39 | oveq2d 7369 |
. . . . . . . 8
β’ (π = (π βͺ {π}) β (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = (πΆ Β· βπ β ((π βͺ {π}) β {π})π΄)) |
41 | 40 | sumeq2sdv 15581 |
. . . . . . 7
β’ (π = (π βͺ {π}) β Ξ£π β (π βͺ {π})(πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = Ξ£π β (π βͺ {π})(πΆ Β· βπ β ((π βͺ {π}) β {π})π΄)) |
42 | 37, 41 | eqtrd 2776 |
. . . . . 6
β’ (π = (π βͺ {π}) β Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = Ξ£π β (π βͺ {π})(πΆ Β· βπ β ((π βͺ {π}) β {π})π΄)) |
43 | 42 | mpteq2dv 5205 |
. . . . 5
β’ (π = (π βͺ {π}) β (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β (π βͺ {π})(πΆ Β· βπ β ((π βͺ {π}) β {π})π΄))) |
44 | 36, 43 | eqeq12d 2752 |
. . . 4
β’ (π = (π βͺ {π}) β ((π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β (π βͺ {π})π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β (π βͺ {π})(πΆ Β· βπ β ((π βͺ {π}) β {π})π΄)))) |
45 | 33, 44 | imbi12d 344 |
. . 3
β’ (π = (π βͺ {π}) β (((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β ((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β (π βͺ {π})π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β (π βͺ {π})(πΆ Β· βπ β ((π βͺ {π}) β {π})π΄))))) |
46 | | sseq1 3967 |
. . . . 5
β’ (π = πΌ β (π β πΌ β πΌ β πΌ)) |
47 | 46 | anbi2d 629 |
. . . 4
β’ (π = πΌ β ((π β§ π β πΌ) β (π β§ πΌ β πΌ))) |
48 | | prodeq1 15784 |
. . . . . . 7
β’ (π = πΌ β βπ β π π΄ = βπ β πΌ π΄) |
49 | 48 | mpteq2dv 5205 |
. . . . . 6
β’ (π = πΌ β (π₯ β π β¦ βπ β π π΄) = (π₯ β π β¦ βπ β πΌ π΄)) |
50 | 49 | oveq2d 7369 |
. . . . 5
β’ (π = πΌ β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π D (π₯ β π β¦ βπ β πΌ π΄))) |
51 | | sumeq1 15565 |
. . . . . . 7
β’ (π = πΌ β Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = Ξ£π β πΌ (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) |
52 | | difeq1 4073 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = πΌ β (π β {π}) = (πΌ β {π})) |
53 | 52 | prodeq1d 15796 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = πΌ β βπ β (π β {π})π΄ = βπ β (πΌ β {π})π΄) |
54 | 53 | oveq2d 7369 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = πΌ β (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = (πΆ Β· βπ β (πΌ β {π})π΄)) |
55 | 54 | a1d 25 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = πΌ β (π β πΌ β (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = (πΆ Β· βπ β (πΌ β {π})π΄))) |
56 | 55 | ralrimiv 3140 |
. . . . . . . 8
β’ (π = πΌ β βπ β πΌ (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = (πΆ Β· βπ β (πΌ β {π})π΄)) |
57 | 56 | sumeq2d 15579 |
. . . . . . 7
β’ (π = πΌ β Ξ£π β πΌ (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = Ξ£π β πΌ (πΆ Β· βπ β (πΌ β {π})π΄)) |
58 | 51, 57 | eqtrd 2776 |
. . . . . 6
β’ (π = πΌ β Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) = Ξ£π β πΌ (πΆ Β· βπ β (πΌ β {π})π΄)) |
59 | 58 | mpteq2dv 5205 |
. . . . 5
β’ (π = πΌ β (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β πΌ (πΆ Β· βπ β (πΌ β {π})π΄))) |
60 | 50, 59 | eqeq12d 2752 |
. . . 4
β’ (π = πΌ β ((π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β πΌ π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β πΌ (πΆ Β· βπ β (πΌ β {π})π΄)))) |
61 | 47, 60 | imbi12d 344 |
. . 3
β’ (π = πΌ β (((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β ((π β§ πΌ β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β πΌ π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β πΌ (πΆ Β· βπ β (πΌ β {π})π΄))))) |
62 | | prod0 15818 |
. . . . . . . 8
β’
βπ β
β
π΄ =
1 |
63 | 62 | mpteq2i 5208 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ β π β¦ βπ β β
π΄) = (π₯ β π β¦ 1) |
64 | 63 | oveq2i 7364 |
. . . . . 6
β’ (π D (π₯ β π β¦ βπ β β
π΄)) = (π D (π₯ β π β¦ 1)) |
65 | 64 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ (π β (π D (π₯ β π β¦ βπ β β
π΄)) = (π D (π₯ β π β¦ 1))) |
66 | | dvmptfprod.s |
. . . . . 6
β’ (π β π β {β, β}) |
67 | | dvmptfprod.x |
. . . . . . 7
β’ (π β π β π½) |
68 | | dvmptfprod.j |
. . . . . . . 8
β’ π½ = (πΎ βΎt π) |
69 | | dvmptfprod.k |
. . . . . . . . 9
β’ πΎ =
(TopOpenββfld) |
70 | 69 | oveq1i 7363 |
. . . . . . . 8
β’ (πΎ βΎt π) =
((TopOpenββfld) βΎt π) |
71 | 68, 70 | eqtri 2764 |
. . . . . . 7
β’ π½ =
((TopOpenββfld) βΎt π) |
72 | 67, 71 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . 6
β’ (π β π β
((TopOpenββfld) βΎt π)) |
73 | | 1cnd 11146 |
. . . . . 6
β’ (π β 1 β
β) |
74 | 66, 72, 73 | dvmptconst 44088 |
. . . . 5
β’ (π β (π D (π₯ β π β¦ 1)) = (π₯ β π β¦ 0)) |
75 | | sum0 15598 |
. . . . . . . 8
β’
Ξ£π β
β
(πΆ Β·
βπ β (β
β {π})π΄) = 0 |
76 | 75 | eqcomi 2745 |
. . . . . . 7
β’ 0 =
Ξ£π β β
(πΆ Β· βπ β (β
β {π})π΄) |
77 | 76 | mpteq2i 5208 |
. . . . . 6
β’ (π₯ β π β¦ 0) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β β
(πΆ Β· βπ β (β
β {π})π΄)) |
78 | 77 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ (π β (π₯ β π β¦ 0) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β β
(πΆ Β· βπ β (β
β {π})π΄))) |
79 | 65, 74, 78 | 3eqtrd 2780 |
. . . 4
β’ (π β (π D (π₯ β π β¦ βπ β β
π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β β
(πΆ Β· βπ β (β
β {π})π΄))) |
80 | 79 | adantr 481 |
. . 3
β’ ((π β§ β
β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β β
π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β β
(πΆ Β· βπ β (β
β {π})π΄))) |
81 | | simp3 1138 |
. . . . 5
β’ (((π β Fin β§ Β¬ π β π) β§ ((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ (π β§ (π βͺ {π}) β πΌ)) β (π β§ (π βͺ {π}) β πΌ)) |
82 | | simp1r 1198 |
. . . . 5
β’ (((π β Fin β§ Β¬ π β π) β§ ((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ (π β§ (π βͺ {π}) β πΌ)) β Β¬ π β π) |
83 | | simpl 483 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β π) |
84 | | ssun1 4130 |
. . . . . . . . . . 11
β’ π β (π βͺ {π}) |
85 | | sstr2 3949 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π βͺ {π}) β ((π βͺ {π}) β πΌ β π β πΌ)) |
86 | 84, 85 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π βͺ {π}) β πΌ β π β πΌ) |
87 | 86 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β π β πΌ) |
88 | 83, 87 | jca 512 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β (π β§ π β πΌ)) |
89 | 88 | adantl 482 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ (π β§ (π βͺ {π}) β πΌ)) β (π β§ π β πΌ)) |
90 | | simpl 483 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ (π β§ (π βͺ {π}) β πΌ)) β ((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)))) |
91 | 89, 90 | mpd 15 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ (π β§ (π βͺ {π}) β πΌ)) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) |
92 | 91 | 3adant1 1130 |
. . . . 5
β’ (((π β Fin β§ Β¬ π β π) β§ ((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ (π β§ (π βͺ {π}) β πΌ)) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) |
93 | | nfv 1917 |
. . . . . . 7
β’
β²π₯((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) |
94 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π₯π |
95 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π₯
D |
96 | | nfmpt1 5211 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π₯(π₯ β π β¦ βπ β π π΄) |
97 | 94, 95, 96 | nfov 7383 |
. . . . . . . 8
β’
β²π₯(π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) |
98 | | nfmpt1 5211 |
. . . . . . . 8
β’
β²π₯(π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) |
99 | 97, 98 | nfeq 2918 |
. . . . . . 7
β’
β²π₯(π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) |
100 | 93, 99 | nfan 1902 |
. . . . . 6
β’
β²π₯(((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) |
101 | | dvmptfprod.iph |
. . . . . . . . 9
β’
β²ππ |
102 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π(π βͺ {π}) β πΌ |
103 | 101, 102 | nfan 1902 |
. . . . . . . 8
β’
β²π(π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) |
104 | | nfv 1917 |
. . . . . . . 8
β’
β²π Β¬ π β π |
105 | 103, 104 | nfan 1902 |
. . . . . . 7
β’
β²π((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) |
106 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . 9
β’
β²ππ |
107 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π
D |
108 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²ππ |
109 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²ππ |
110 | 109 | nfcprod1 15785 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²πβπ β π π΄ |
111 | 108, 110 | nfmpt 5210 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π(π₯ β π β¦ βπ β π π΄) |
112 | 106, 107,
111 | nfov 7383 |
. . . . . . . 8
β’
β²π(π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) |
113 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²ππΆ |
114 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²π
Β· |
115 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
β²π(π β {π}) |
116 | 115 | nfcprod1 15785 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²πβπ β (π β {π})π΄ |
117 | 113, 114,
116 | nfov 7383 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π(πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) |
118 | 109, 117 | nfsum 15567 |
. . . . . . . . 9
β’
β²πΞ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) |
119 | 108, 118 | nfmpt 5210 |
. . . . . . . 8
β’
β²π(π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) |
120 | 112, 119 | nfeq 2918 |
. . . . . . 7
β’
β²π(π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) |
121 | 105, 120 | nfan 1902 |
. . . . . 6
β’
β²π(((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) |
122 | | dvmptfprod.jph |
. . . . . . . . 9
β’
β²ππ |
123 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π(π βͺ {π}) β πΌ |
124 | 122, 123 | nfan 1902 |
. . . . . . . 8
β’
β²π(π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) |
125 | | nfv 1917 |
. . . . . . . 8
β’
β²π Β¬ π β π |
126 | 124, 125 | nfan 1902 |
. . . . . . 7
β’
β²π((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) |
127 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . 8
β’
β²π(π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) |
128 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . 9
β’
β²ππ |
129 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²ππ |
130 | 129 | nfsum1 15566 |
. . . . . . . . 9
β’
β²πΞ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄) |
131 | 128, 130 | nfmpt 5210 |
. . . . . . . 8
β’
β²π(π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) |
132 | 127, 131 | nfeq 2918 |
. . . . . . 7
β’
β²π(π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄)) |
133 | 126, 132 | nfan 1902 |
. . . . . 6
β’
β²π(((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) |
134 | | nfcsb1v 3878 |
. . . . . 6
β’
β²πβ¦π / πβ¦π΄ |
135 | | nfcsb1v 3878 |
. . . . . 6
β’
β²πβ¦π / πβ¦πΆ |
136 | 83 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β π) |
137 | 136 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . 7
β’
(((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β π) |
138 | | simp2 1137 |
. . . . . . 7
β’
(((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β π β πΌ) |
139 | | simp3 1138 |
. . . . . . 7
β’
(((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β π₯ β π) |
140 | | dvmptfprod.a |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β π΄ β β) |
141 | 137, 138,
139, 140 | syl3anc 1371 |
. . . . . 6
β’
(((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β π΄ β β) |
142 | 136, 1 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β πΌ β Fin) |
143 | 87 | ad2antrr 724 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β π β πΌ) |
144 | | ssfi 9113 |
. . . . . . 7
β’ ((πΌ β Fin β§ π β πΌ) β π β Fin) |
145 | 142, 143,
144 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β π β Fin) |
146 | | vex 3447 |
. . . . . . 7
β’ π β V |
147 | 146 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β π β V) |
148 | | simplr 767 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β Β¬ π β π) |
149 | | simpllr 774 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β (π βͺ {π}) β πΌ) |
150 | 66 | ad3antrrr 728 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β π β {β, β}) |
151 | 136 | ad2antrr 724 |
. . . . . . 7
β’
((((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ π₯ β π) β§ π β π) β π) |
152 | 143 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . 8
β’
((((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ π₯ β π) β§ π β π) β π β πΌ) |
153 | | simpr 485 |
. . . . . . . 8
β’
((((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ π₯ β π) β§ π β π) β π β π) |
154 | 152, 153 | sseldd 3943 |
. . . . . . 7
β’
((((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ π₯ β π) β§ π β π) β π β πΌ) |
155 | | simplr 767 |
. . . . . . 7
β’
((((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ π₯ β π) β§ π β π) β π₯ β π) |
156 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π π β πΌ |
157 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π π₯ β π |
158 | 101, 156,
157 | nf3an 1904 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π(π β§ π β πΌ β§ π₯ β π) |
159 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π πΆ β β |
160 | 158, 159 | nfim 1899 |
. . . . . . . 8
β’
β²π((π β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β πΆ β β) |
161 | | eleq1w 2820 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β (π β πΌ β π β πΌ)) |
162 | 161 | 3anbi2d 1441 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β ((π β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β (π β§ π β πΌ β§ π₯ β π))) |
163 | | dvmptfprod.bc |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β π΅ = πΆ) |
164 | 163 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β (π΅ β β β πΆ β β)) |
165 | 162, 164 | imbi12d 344 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (((π β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β π΅ β β) β ((π β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β πΆ β β))) |
166 | | dvmptfprod.b |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β π΅ β β) |
167 | 160, 165,
166 | chvarfv 2233 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β πΆ β β) |
168 | 151, 154,
155, 167 | syl3anc 1371 |
. . . . . 6
β’
((((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ π₯ β π) β§ π β π) β πΆ β β) |
169 | | simpr 485 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) |
170 | 83 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ π₯ β π) β π) |
171 | | id 22 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π βͺ {π}) β πΌ β (π βͺ {π}) β πΌ) |
172 | 146 | snid 4620 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ π β {π} |
173 | | elun2 4135 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β {π} β π β (π βͺ {π})) |
174 | 172, 173 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π β (π βͺ {π}) |
175 | 174 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π βͺ {π}) β πΌ β π β (π βͺ {π})) |
176 | 171, 175 | sseldd 3943 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π βͺ {π}) β πΌ β π β πΌ) |
177 | 176 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ π₯ β π) β π β πΌ) |
178 | | simpr 485 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ π₯ β π) β π₯ β π) |
179 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
β²π π β πΌ |
180 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
β²π π₯ β π |
181 | 122, 179,
180 | nf3an 1904 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²π(π β§ π β πΌ β§ π₯ β π) |
182 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
β²πβ |
183 | 135, 182 | nfel 2919 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²πβ¦π / πβ¦πΆ β β |
184 | 181, 183 | nfim 1899 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π((π β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β β¦π / πβ¦πΆ β β) |
185 | | eleq1w 2820 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β (π β πΌ β π β πΌ)) |
186 | 185 | 3anbi2d 1441 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β ((π β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β (π β§ π β πΌ β§ π₯ β π))) |
187 | | csbeq1a 3867 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β πΆ = β¦π / πβ¦πΆ) |
188 | 187 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β (πΆ β β β β¦π / πβ¦πΆ β β)) |
189 | 186, 188 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β (((π β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β πΆ β β) β ((π β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β β¦π / πβ¦πΆ β β))) |
190 | 184, 189,
167 | chvarfv 2233 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β πΌ β§ π₯ β π) β β¦π / πβ¦πΆ β β) |
191 | 170, 177,
178, 190 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ π₯ β π) β β¦π / πβ¦πΆ β β) |
192 | 191 | adantlr 713 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ π₯ β π) β β¦π / πβ¦πΆ β β) |
193 | 192 | adantlr 713 |
. . . . . 6
β’
(((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ π₯ β π) β β¦π / πβ¦πΆ β β) |
194 | 122, 179 | nfan 1902 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π(π β§ π β πΌ) |
195 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²π(π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) |
196 | 128, 135 | nfmpt 5210 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²π(π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦πΆ) |
197 | 195, 196 | nfeq 2918 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π(π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) = (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦πΆ) |
198 | 194, 197 | nfim 1899 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) = (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦πΆ)) |
199 | 185 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β ((π β§ π β πΌ) β (π β§ π β πΌ))) |
200 | | csbeq1a 3867 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π β β¦π / πβ¦π΄ = β¦π / πβ¦β¦π / πβ¦π΄) |
201 | | csbcow 3868 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
β¦π /
πβ¦β¦π / πβ¦π΄ = β¦π / πβ¦π΄ |
202 | 201 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π β β¦π / πβ¦β¦π / πβ¦π΄ = β¦π / πβ¦π΄) |
203 | 200, 202 | eqtrd 2776 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β β¦π / πβ¦π΄ = β¦π / πβ¦π΄) |
204 | 203 | mpteq2dv 5205 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄) = (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) |
205 | 204 | oveq2d 7369 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β (π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) = (π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄))) |
206 | 187 | mpteq2dv 5205 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β (π₯ β π β¦ πΆ) = (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦πΆ)) |
207 | 205, 206 | eqeq12d 2752 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β ((π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) = (π₯ β π β¦ πΆ) β (π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) = (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦πΆ))) |
208 | 199, 207 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β (((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) = (π₯ β π β¦ πΆ)) β ((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) = (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦πΆ)))) |
209 | 101, 156 | nfan 1902 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²π(π β§ π β πΌ) |
210 | | nfcsb1v 3878 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
β²πβ¦π / πβ¦π΄ |
211 | 108, 210 | nfmpt 5210 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
β²π(π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄) |
212 | 106, 107,
211 | nfov 7383 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
β²π(π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) |
213 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
β²π(π₯ β π β¦ πΆ) |
214 | 212, 213 | nfeq 2918 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²π(π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) = (π₯ β π β¦ πΆ) |
215 | 209, 214 | nfim 1899 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) = (π₯ β π β¦ πΆ)) |
216 | 161 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β ((π β§ π β πΌ) β (π β§ π β πΌ))) |
217 | | csbeq1a 3867 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π β π΄ = β¦π / πβ¦π΄) |
218 | 217 | mpteq2dv 5205 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β (π₯ β π β¦ π΄) = (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) |
219 | 218 | oveq2d 7369 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β (π D (π₯ β π β¦ π΄)) = (π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄))) |
220 | 163 | idi 1 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β π΅ = πΆ) |
221 | 220 | mpteq2dv 5205 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β (π₯ β π β¦ π΅) = (π₯ β π β¦ πΆ)) |
222 | 219, 221 | eqeq12d 2752 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β ((π D (π₯ β π β¦ π΄)) = (π₯ β π β¦ π΅) β (π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) = (π₯ β π β¦ πΆ))) |
223 | 216, 222 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β (((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ π΄)) = (π₯ β π β¦ π΅)) β ((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) = (π₯ β π β¦ πΆ)))) |
224 | | dvmptfprod.d |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ π΄)) = (π₯ β π β¦ π΅)) |
225 | 215, 223,
224 | chvarfv 2233 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) = (π₯ β π β¦ πΆ)) |
226 | 198, 208,
225 | chvarfv 2233 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) = (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦πΆ)) |
227 | 176, 226 | sylan2 593 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) = (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦πΆ)) |
228 | 227 | ad2antrr 724 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β (π D (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦π΄)) = (π₯ β π β¦ β¦π / πβ¦πΆ)) |
229 | | csbeq1a 3867 |
. . . . . 6
β’ (π = π β π΄ = β¦π / πβ¦π΄) |
230 | 100, 121,
133, 134, 135, 141, 145, 147, 148, 149, 150, 168, 169, 193, 228, 229, 187 | dvmptfprodlem 44117 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β§ Β¬ π β π) β§ (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β (π βͺ {π})π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β (π βͺ {π})(πΆ Β· βπ β ((π βͺ {π}) β {π})π΄))) |
231 | 81, 82, 92, 230 | syl21anc 836 |
. . . 4
β’ (((π β Fin β§ Β¬ π β π) β§ ((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β§ (π β§ (π βͺ {π}) β πΌ)) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β (π βͺ {π})π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β (π βͺ {π})(πΆ Β· βπ β ((π βͺ {π}) β {π})π΄))) |
232 | 231 | 3exp 1119 |
. . 3
β’ ((π β Fin β§ Β¬ π β π) β (((π β§ π β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β π π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β π (πΆ Β· βπ β (π β {π})π΄))) β ((π β§ (π βͺ {π}) β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β (π βͺ {π})π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β (π βͺ {π})(πΆ Β· βπ β ((π βͺ {π}) β {π})π΄))))) |
233 | 17, 31, 45, 61, 80, 232 | findcard2s 9105 |
. 2
β’ (πΌ β Fin β ((π β§ πΌ β πΌ) β (π D (π₯ β π β¦ βπ β πΌ π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β πΌ (πΆ Β· βπ β (πΌ β {π})π΄)))) |
234 | 1, 3, 233 | sylc 65 |
1
β’ (π β (π D (π₯ β π β¦ βπ β πΌ π΄)) = (π₯ β π β¦ Ξ£π β πΌ (πΆ Β· βπ β (πΌ β {π})π΄))) |