Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcn 45556
Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcn.d 𝑘𝜑
fprodcn.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fprodcn.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fprodcn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodcn.b ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fprodcn (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem fprodcn
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15940 . . . 4 (𝑦 = ∅ → ∏𝑘𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
21mpteq2dv 5250 . . 3 (𝑦 = ∅ → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
32eleq1d 2824 . 2 (𝑦 = ∅ → ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
4 prodeq1 15940 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → ∏𝑘𝑦 𝐵 = ∏𝑘𝑧 𝐵)
54mpteq2dv 5250 . . 3 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵))
65eleq1d 2824 . 2 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7 prodeq1 15940 . . . 4 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ∏𝑘𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
87mpteq2dv 5250 . . 3 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵))
98eleq1d 2824 . 2 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
10 prodeq1 15940 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ∏𝑘𝑦 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
1110mpteq2dv 5250 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝐴 𝐵))
1211eleq1d 2824 . 2 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13 prod0 15976 . . . . . 6 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
1413mpteq2i 5253 . . . . 5 (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ 1)
15 eqidd 2736 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → 1 = 1)
1615cbvmptv 5261 . . . . 5 (𝑥𝑋 ↦ 1) = (𝑦𝑋 ↦ 1)
1714, 16eqtri 2763 . . . 4 (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ 1)
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ 1))
19 fprodcn.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
20 fprodcn.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2120cnfldtopon 24819 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
23 1cnd 11254 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2419, 22, 23cnmptc 23686 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑋 ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2518, 24eqeltrd 2839 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
26 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑦𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵
27 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑥(𝑧 ∪ {𝑤})
28 nfcsb1v 3933 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
2927, 28nfcprod 15942 . . . . . 6 𝑥𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝑦 / 𝑥𝐵
30 csbeq1a 3922 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
3130prodeq2ad 45548 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝑦 / 𝑥𝐵)
3226, 29, 31cbvmpt 5259 . . . . 5 (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝑦 / 𝑥𝐵)
3332a1i 11 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝑦 / 𝑥𝐵))
34 fprodcn.d . . . . . . 7 𝑘𝜑
35 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑘(𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))
3634, 35nfan 1897 . . . . . 6 𝑘(𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧)))
37 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑘𝑋
38 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑘𝑧
3938nfcprod1 15941 . . . . . . . 8 𝑘𝑘𝑧 𝐵
4037, 39nfmpt 5255 . . . . . . 7 𝑘(𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵)
41 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑘(𝐽 Cn 𝐾)
4240, 41nfel 2918 . . . . . 6 𝑘(𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
4336, 42nfan 1897 . . . . 5 𝑘((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4419ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
45 fprodcn.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4645ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐴 ∈ Fin)
47 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑦𝐵
4847, 28, 30cbvmpt 5259 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵)
4948eqcomi 2744 . . . . . . . 8 (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵) = (𝑥𝑋𝐵))
51 fprodcn.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5250, 51eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5352ad4ant14 752 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
54 simplrl 777 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑧𝐴)
55 simplrr 778 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑧))
56 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑦𝑘𝑧 𝐵
57 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑧
5857, 28nfcprod 15942 . . . . . . . . 9 𝑥𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵
5930prodeq2sdv 15956 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘𝑧 𝐵 = ∏𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵)
6056, 58, 59cbvmpt 5259 . . . . . . . 8 (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵)
6160eleq1i 2830 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6261biimpi 216 . . . . . 6 ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6362adantl 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6443, 20, 44, 46, 53, 54, 55, 63fprodcnlem 45555 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6533, 64eqeltrd 2839 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6665ex 412 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
673, 6, 9, 12, 25, 66, 45findcard2d 9205 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  csb 3908  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  1c1 11154  cprod 15936  TopOpenctopn 17468  fldccnfld 21382  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348
This theorem is referenced by:  fprodsub2cncf  45861  fprodadd2cncf  45862
  Copyright terms: Public domain W3C validator