Theorem fprodcn 46175

Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcn.d	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodcn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fprodcn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fprodcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodcn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
fprodcn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem fprodcn

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15949	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	mpteq2dv 5198	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3	2	eleq1d 2850	. 2 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
4		prodeq1 15949	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵)
5	4	mpteq2dv 5198	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵))
6	5	eleq1d 2850	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7		prodeq1 15949	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
8	7	mpteq2dv 5198	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵))
9	8	eleq1d 2850	. 2 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
10		prodeq1 15949	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
11	10	mpteq2dv 5198	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
12	11	eleq1d 2850	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13		prod0 15985	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
14	13	mpteq2i 5200	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 1)
15		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 1 = 1)
16	15	cbvmptv 5208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 1) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1)
17	14, 16	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1))
19		fprodcn.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
20		fprodcn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
21	20	cnfldtopon 24896	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
23		1cnd 11190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
24	19, 22, 23	cnmptc 23776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
25	18, 24	eqeltrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
26		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵
27		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∪ {𝑤})
28		nfcsb1v 3879	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
29	27, 28	nfcprod 15951	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
30		csbeq1a 3869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
31	30	prodeq2ad 46167	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
32	26, 29, 31	cbvmpt 5206	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
34		fprodcn.d	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
35		nfv 1937	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))
36	34, 35	nfan 1922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)))
37		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
38		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑧
39	38	nfcprod1 15950	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵
40	37, 39	nfmpt 5202	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵)
41		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐽 Cn 𝐾)
42	40, 41	nfel 2941	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
43	36, 42	nfan 1922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
44	19	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
45		fprodcn.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
46	45	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐴 ∈ Fin)
47		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
48	47, 28, 30	cbvmpt 5206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
49	48	eqcomi 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
51		fprodcn.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
52	50, 51	eqeltrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
53	52	ad4ant14 764	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
54		simplrl 788	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
55		simplrr 789	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))
56		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵
57		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
58	57, 28	nfcprod 15951	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
59	30	prodeq2sdv 15965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
60	56, 58, 59	cbvmpt 5206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
61	60	eleq1i 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
62	61	bilani 509	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
63	43, 20, 44, 46, 53, 54, 55, 62	fprodcnlem 46174	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
64	33, 63	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
65	64	ex 417	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
66	3, 6, 9, 12, 25, 65, 45	findcard2d 9139	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563  Ⅎwnf 1806   ∈ wcel 2145  ⦋csb 3855   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  {csn 4585   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Fincfn 8931  ℂcc 11086  1c1 11089  ∏cprod 15945  TopOpenctopn 17462  ℂ_fldccnfld 21479  TopOnctopon 23024   Cn ccn 23338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-icc 13367  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-prod 15946  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-pt 17485  df-prds 17488  df-xrs 17544  df-qtop 17549  df-imas 17550  df-xps 17552  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-mulg 19122  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-cnfld 21480  df-top 23008  df-topon 23025  df-topsp 23047  df-bases 23060  df-cn 23341  df-cnp 23342  df-tx 23676  df-hmeo 23869  df-xms 24434  df-ms 24435  df-tms 24436

This theorem is referenced by:  fprodsub2cncf  46478  fprodadd2cncf  46479