Theorem fprodcn 46556

Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcn.d	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodcn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fprodcn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fprodcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodcn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
fprodcn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑘)   𝐵(𝑥, 𝑘)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem fprodcn

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 16056	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	mpteq2dv 5199	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3	2	eleq1d 2846	. 2 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
4		prodeq1 16056	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵)
5	4	mpteq2dv 5199	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵))
6	5	eleq1d 2846	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7		prodeq1 16056	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
8	7	mpteq2dv 5199	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵))
9	8	eleq1d 2846	. 2 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
10		prodeq1 16056	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
11	10	mpteq2dv 5199	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
12	11	eleq1d 2846	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13		prod0 16090	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
14	13	mpteq2i 5201	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 1)
15		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 1 = 1)
16	15	cbvmptv 5209	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 1) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1)
17	14, 16	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1))
19		fprodcn.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
20		fprodcn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
21	20	cnfldtopon 25081	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
23		1cnd 11283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
24	19, 22, 23	cnmptc 23961	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
25	18, 24	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
26		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵
27		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∪ {𝑤})
28		nfcsb1v 3871	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
29	27, 28	nfcprod 16058	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
30		csbeq1a 3861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
31	30	prodeq2ad 46548	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
32	26, 29, 31	cbvmpt 5207	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
34		fprodcn.d	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
35		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))
36	34, 35	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)))
37		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
38		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑧
39	38	nfcprod1 16057	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵
40	37, 39	nfmpt 5203	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵)
41		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐽 Cn 𝐾)
42	40, 41	nfel 2937	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
43	36, 42	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
44	19	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
45		fprodcn.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
46	45	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐴 ∈ Fin)
47		nfcv 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
48	47, 28, 30	cbvmpt 5207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
49	48	eqcomi 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
51		fprodcn.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
52	50, 51	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
53	52	ad4ant14 765	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
54		simplrl 789	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
55		simplrr 790	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))
56		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵
57		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
58	57, 28	nfcprod 16058	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
59	30	prodeq2sdv 16071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
60	56, 58, 59	cbvmpt 5207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
61	60	eleq1i 2852	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
62	61	bilani 510	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
63	43, 20, 44, 46, 53, 54, 55, 62	fprodcnlem 46555	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
64	33, 63	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
65	64	ex 418	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
66	3, 6, 9, 12, 25, 65, 45	findcard2d 9166	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ⦋csb 3847   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Fincfn 8957  ℂcc 11179  1c1 11182  ∏cprod 16052  TopOpenctopn 17572  ℂ_fldccnfld 21658  TopOnctopon 23208   Cn ccn 23522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-prod 16053  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621

This theorem is used by:  fprodsub2cncf  46859  fprodadd2cncf  46860