Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fprodcn 44306
Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐡 normally contains free variables π‘˜ and π‘₯ to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcn.d β„²π‘˜πœ‘
fprodcn.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
fprodcn.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
fprodcn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fprodcn.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fprodcn (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐽   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑋,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘˜)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯)
Proof of Theorem fprodcn
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15852 . . . 4 (𝑦 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 = βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
21mpteq2dv 5250 . . 3 (𝑦 = βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡))
32eleq1d 2818 . 2 (𝑦 = βˆ… β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
4 prodeq1 15852 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 = βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡)
54mpteq2dv 5250 . . 3 (𝑦 = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡))
65eleq1d 2818 . 2 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7 prodeq1 15852 . . . 4 (𝑦 = (𝑧 βˆͺ {𝑀}) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 = βˆπ‘˜ ∈ (𝑧 βˆͺ {𝑀})𝐡)
87mpteq2dv 5250 . . 3 (𝑦 = (𝑧 βˆͺ {𝑀}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑧 βˆͺ {𝑀})𝐡))
98eleq1d 2818 . 2 (𝑦 = (𝑧 βˆͺ {𝑀}) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑧 βˆͺ {𝑀})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
10 prodeq1 15852 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
1110mpteq2dv 5250 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
1211eleq1d 2818 . 2 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13 prod0 15886 . . . . . 6 βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 1
1413mpteq2i 5253 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 1)
15 eqidd 2733 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 1 = 1)
1615cbvmptv 5261 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 1) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1)
1714, 16eqtri 2760 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1)
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1))
19 fprodcn.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
20 fprodcn.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2120cnfldtopon 24298 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
2221a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
23 1cnd 11208 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
2419, 22, 23cnmptc 23165 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2518, 24eqeltrd 2833 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
26 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘¦βˆπ‘˜ ∈ (𝑧 βˆͺ {𝑀})𝐡
27 nfcv 2903 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝑧 βˆͺ {𝑀})
28 nfcsb1v 3918 . . . . . . 7 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡
2927, 28nfcprod 15854 . . . . . 6 β„²π‘₯βˆπ‘˜ ∈ (𝑧 βˆͺ {𝑀})⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡
30 csbeq1a 3907 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐡 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
3130prodeq2ad 44298 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝑧 βˆͺ {𝑀})𝐡 = βˆπ‘˜ ∈ (𝑧 βˆͺ {𝑀})⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
3226, 29, 31cbvmpt 5259 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑧 βˆͺ {𝑀})𝐡) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑧 βˆͺ {𝑀})⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
3332a1i 11 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑧 βˆͺ {𝑀})𝐡) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑧 βˆͺ {𝑀})⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
34 fprodcn.d . . . . . . 7 β„²π‘˜πœ‘
35 nfv 1917 . . . . . . 7 β„²π‘˜(𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧))
3634, 35nfan 1902 . . . . . 6 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)))
37 nfcv 2903 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘‹
38 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜π‘§
3938nfcprod1 15853 . . . . . . . 8 β„²π‘˜βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡
4037, 39nfmpt 5255 . . . . . . 7 β„²π‘˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡)
41 nfcv 2903 . . . . . . 7 β„²π‘˜(𝐽 Cn 𝐾)
4240, 41nfel 2917 . . . . . 6 β„²π‘˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
4336, 42nfan 1902 . . . . 5 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4419ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
45 fprodcn.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
4645ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
47 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦𝐡
4847, 28, 30cbvmpt 5259 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
4948eqcomi 2741 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
51 fprodcn.b . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5250, 51eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5352ad4ant14 750 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
54 simplrl 775 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
55 simplrr 776 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧))
56 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 β„²π‘¦βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡
57 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝑧
5857, 28nfcprod 15854 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡
5930prodeq2sdv 15867 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡 = βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
6056, 58, 59cbvmpt 5259 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
6160eleq1i 2824 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6261biimpi 215 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6362adantl 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6443, 20, 44, 46, 53, 54, 55, 63fprodcnlem 44305 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑧 βˆͺ {𝑀})⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6533, 64eqeltrd 2833 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑧 βˆͺ {𝑀})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6665ex 413 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑧 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑧 βˆͺ {𝑀})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
673, 6, 9, 12, 25, 66, 45findcard2d 9165 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  β¦‹csb 3893   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  1c1 11110  βˆcprod 15848  TopOpenctopn 17366  β„‚fldccnfld 20943  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-prod 15849  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827
This theorem is referenced by:  fprodsub2cncf  44611  fprodadd2cncf  44612
  Copyright terms: Public domain W3C validator