Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcn 42257
 Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcn.d 𝑘𝜑
fprodcn.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fprodcn.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fprodcn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodcn.b ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fprodcn (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem fprodcn
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15257 . . . 4 (𝑦 = ∅ → ∏𝑘𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
21mpteq2dv 5126 . . 3 (𝑦 = ∅ → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
32eleq1d 2874 . 2 (𝑦 = ∅ → ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
4 prodeq1 15257 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → ∏𝑘𝑦 𝐵 = ∏𝑘𝑧 𝐵)
54mpteq2dv 5126 . . 3 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵))
65eleq1d 2874 . 2 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7 prodeq1 15257 . . . 4 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ∏𝑘𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
87mpteq2dv 5126 . . 3 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵))
98eleq1d 2874 . 2 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
10 prodeq1 15257 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ∏𝑘𝑦 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
1110mpteq2dv 5126 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝐴 𝐵))
1211eleq1d 2874 . 2 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13 prod0 15291 . . . . . 6 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
1413mpteq2i 5122 . . . . 5 (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ 1)
15 eqidd 2799 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → 1 = 1)
1615cbvmptv 5133 . . . . 5 (𝑥𝑋 ↦ 1) = (𝑦𝑋 ↦ 1)
1714, 16eqtri 2821 . . . 4 (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ 1)
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ 1))
19 fprodcn.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
20 fprodcn.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2120cnfldtopon 23395 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
23 1cnd 10627 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2419, 22, 23cnmptc 22274 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑋 ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2518, 24eqeltrd 2890 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
26 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑦𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵
27 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑥(𝑧 ∪ {𝑤})
28 nfcsb1v 3852 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
2927, 28nfcprod 15259 . . . . . 6 𝑥𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝑦 / 𝑥𝐵
30 csbeq1a 3842 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
3130prodeq2ad 42249 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝑦 / 𝑥𝐵)
3226, 29, 31cbvmpt 5131 . . . . 5 (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝑦 / 𝑥𝐵)
3332a1i 11 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝑦 / 𝑥𝐵))
34 fprodcn.d . . . . . . 7 𝑘𝜑
35 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑘(𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))
3634, 35nfan 1900 . . . . . 6 𝑘(𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧)))
37 nfcv 2955 . . . . . . . 8 𝑘𝑋
38 nfcv 2955 . . . . . . . . 9 𝑘𝑧
3938nfcprod1 15258 . . . . . . . 8 𝑘𝑘𝑧 𝐵
4037, 39nfmpt 5127 . . . . . . 7 𝑘(𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵)
41 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑘(𝐽 Cn 𝐾)
4240, 41nfel 2969 . . . . . 6 𝑘(𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
4336, 42nfan 1900 . . . . 5 𝑘((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4419ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
45 fprodcn.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4645ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐴 ∈ Fin)
47 nfcv 2955 . . . . . . . . . 10 𝑦𝐵
4847, 28, 30cbvmpt 5131 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵)
4948eqcomi 2807 . . . . . . . 8 (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵) = (𝑥𝑋𝐵))
51 fprodcn.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5250, 51eqeltrd 2890 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5352ad4ant14 751 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
54 simplrl 776 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑧𝐴)
55 simplrr 777 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑧))
56 nfcv 2955 . . . . . . . . 9 𝑦𝑘𝑧 𝐵
57 nfcv 2955 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑧
5857, 28nfcprod 15259 . . . . . . . . 9 𝑥𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵
5930prodeq2sdv 15272 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘𝑧 𝐵 = ∏𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵)
6056, 58, 59cbvmpt 5131 . . . . . . . 8 (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵)
6160eleq1i 2880 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6261biimpi 219 . . . . . 6 ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6362adantl 485 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6443, 20, 44, 46, 53, 54, 55, 63fprodcnlem 42256 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6533, 64eqeltrd 2890 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6665ex 416 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
673, 6, 9, 12, 25, 66, 45findcard2d 8746 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  ⦋csb 3828   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8494  ℂcc 10526  1c1 10529  ∏cprod 15253  TopOpenctopn 16689  ℂfldccnfld 20094  TopOnctopon 21522   Cn ccn 21836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-inf2 9090  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606  ax-mulf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-supp 7816  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-q 12339  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-icc 12735  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-exp 13428  df-hash 13689  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-prod 15254  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-cnfld 20095  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-cn 21839  df-cnp 21840  df-tx 22174  df-hmeo 22367  df-xms 22934  df-ms 22935  df-tms 22936 This theorem is referenced by:  fprodsub2cncf  42562  fprodadd2cncf  42563
 Copyright terms: Public domain W3C validator