Theorem fprodcn 46048

Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcn.d	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodcn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fprodcn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fprodcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodcn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
fprodcn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem fprodcn

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15863	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	mpteq2dv 5180	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3	2	eleq1d 2822	. 2 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
4		prodeq1 15863	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵)
5	4	mpteq2dv 5180	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵))
6	5	eleq1d 2822	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7		prodeq1 15863	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
8	7	mpteq2dv 5180	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵))
9	8	eleq1d 2822	. 2 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
10		prodeq1 15863	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
11	10	mpteq2dv 5180	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
12	11	eleq1d 2822	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13		prod0 15899	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
14	13	mpteq2i 5182	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 1)
15		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 1 = 1)
16	15	cbvmptv 5190	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 1) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1)
17	14, 16	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1))
19		fprodcn.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
20		fprodcn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
21	20	cnfldtopon 24757	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
23		1cnd 11130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
24	19, 22, 23	cnmptc 23637	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
25	18, 24	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
26		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵
27		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∪ {𝑤})
28		nfcsb1v 3862	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
29	27, 28	nfcprod 15865	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
30		csbeq1a 3852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
31	30	prodeq2ad 46040	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
32	26, 29, 31	cbvmpt 5188	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
34		fprodcn.d	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
35		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))
36	34, 35	nfan 1901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)))
37		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
38		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑧
39	38	nfcprod1 15864	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵
40	37, 39	nfmpt 5184	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵)
41		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐽 Cn 𝐾)
42	40, 41	nfel 2914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
43	36, 42	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
44	19	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
45		fprodcn.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
46	45	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐴 ∈ Fin)
47		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
48	47, 28, 30	cbvmpt 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
49	48	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
51		fprodcn.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
52	50, 51	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
53	52	ad4ant14 753	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
54		simplrl 777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
55		simplrr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))
56		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵
57		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
58	57, 28	nfcprod 15865	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
59	30	prodeq2sdv 15879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
60	56, 58, 59	cbvmpt 5188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
61	60	eleq1i 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
62	61	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
63	62	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
64	43, 20, 44, 46, 53, 54, 55, 63	fprodcnlem 46047	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
65	33, 64	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
66	65	ex 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
67	3, 6, 9, 12, 25, 66, 45	findcard2d 9094	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ⦋csb 3838   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  ℂcc 11027  1c1 11030  ∏cprod 15859  TopOpenctopn 17375  ℂ_fldccnfld 21344  TopOnctopon 22885   Cn ccn 23199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-prod 15860  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297

This theorem is referenced by:  fprodsub2cncf  46351  fprodadd2cncf  46352