Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcn 43742
Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcn.d 𝑘𝜑
fprodcn.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fprodcn.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fprodcn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodcn.b ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fprodcn (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem fprodcn
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15752 . . . 4 (𝑦 = ∅ → ∏𝑘𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
21mpteq2dv 5205 . . 3 (𝑦 = ∅ → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
32eleq1d 2822 . 2 (𝑦 = ∅ → ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
4 prodeq1 15752 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → ∏𝑘𝑦 𝐵 = ∏𝑘𝑧 𝐵)
54mpteq2dv 5205 . . 3 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵))
65eleq1d 2822 . 2 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7 prodeq1 15752 . . . 4 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ∏𝑘𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
87mpteq2dv 5205 . . 3 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵))
98eleq1d 2822 . 2 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
10 prodeq1 15752 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ∏𝑘𝑦 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
1110mpteq2dv 5205 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝐴 𝐵))
1211eleq1d 2822 . 2 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13 prod0 15786 . . . . . 6 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
1413mpteq2i 5208 . . . . 5 (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ 1)
15 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → 1 = 1)
1615cbvmptv 5216 . . . . 5 (𝑥𝑋 ↦ 1) = (𝑦𝑋 ↦ 1)
1714, 16eqtri 2765 . . . 4 (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ 1)
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ 1))
19 fprodcn.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
20 fprodcn.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2120cnfldtopon 24098 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
23 1cnd 11108 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2419, 22, 23cnmptc 22965 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑋 ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2518, 24eqeltrd 2838 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
26 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑦𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵
27 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑥(𝑧 ∪ {𝑤})
28 nfcsb1v 3878 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
2927, 28nfcprod 15754 . . . . . 6 𝑥𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝑦 / 𝑥𝐵
30 csbeq1a 3867 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
3130prodeq2ad 43734 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝑦 / 𝑥𝐵)
3226, 29, 31cbvmpt 5214 . . . . 5 (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝑦 / 𝑥𝐵)
3332a1i 11 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝑦 / 𝑥𝐵))
34 fprodcn.d . . . . . . 7 𝑘𝜑
35 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑘(𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))
3634, 35nfan 1902 . . . . . 6 𝑘(𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧)))
37 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑘𝑋
38 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑘𝑧
3938nfcprod1 15753 . . . . . . . 8 𝑘𝑘𝑧 𝐵
4037, 39nfmpt 5210 . . . . . . 7 𝑘(𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵)
41 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑘(𝐽 Cn 𝐾)
4240, 41nfel 2919 . . . . . 6 𝑘(𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
4336, 42nfan 1902 . . . . 5 𝑘((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4419ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
45 fprodcn.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4645ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐴 ∈ Fin)
47 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑦𝐵
4847, 28, 30cbvmpt 5214 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵)
4948eqcomi 2746 . . . . . . . 8 (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵) = (𝑥𝑋𝐵))
51 fprodcn.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5250, 51eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5352ad4ant14 750 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
54 simplrl 775 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑧𝐴)
55 simplrr 776 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑧))
56 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑦𝑘𝑧 𝐵
57 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑧
5857, 28nfcprod 15754 . . . . . . . . 9 𝑥𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵
5930prodeq2sdv 15767 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘𝑧 𝐵 = ∏𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵)
6056, 58, 59cbvmpt 5214 . . . . . . . 8 (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) = (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵)
6160eleq1i 2828 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6261biimpi 215 . . . . . 6 ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6362adantl 482 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6443, 20, 44, 46, 53, 54, 55, 63fprodcnlem 43741 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑦𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6533, 64eqeltrd 2838 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6665ex 413 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤 ∈ (𝐴𝑧))) → ((𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
673, 6, 9, 12, 25, 66, 45findcard2d 9068 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  csb 3853  cdif 3905  cun 3906  wss 3908  c0 4280  {csn 4584  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7351  Fincfn 8841  cc 11007  1c1 11010  cprod 15748  TopOpenctopn 17263  fldccnfld 20749  TopOnctopon 22211   Cn ccn 22527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-prod 15749  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-prds 17289  df-xrs 17344  df-qtop 17349  df-imas 17350  df-xps 17352  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-mulg 18832  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-tx 22865  df-hmeo 23058  df-xms 23625  df-ms 23626  df-tms 23627
This theorem is referenced by:  fprodsub2cncf  44047  fprodadd2cncf  44048
  Copyright terms: Public domain W3C validator