Theorem fprodcn 45596

Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcn.d	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodcn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fprodcn.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fprodcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodcn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
fprodcn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem fprodcn

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15928	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	mpteq2dv 5220	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3	2	eleq1d 2820	. 2 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
4		prodeq1 15928	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵)
5	4	mpteq2dv 5220	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵))
6	5	eleq1d 2820	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7		prodeq1 15928	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
8	7	mpteq2dv 5220	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵))
9	8	eleq1d 2820	. 2 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
10		prodeq1 15928	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
11	10	mpteq2dv 5220	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
12	11	eleq1d 2820	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13		prod0 15964	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
14	13	mpteq2i 5222	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 1)
15		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 1 = 1)
16	15	cbvmptv 5230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 1) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1)
17	14, 16	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1))
19		fprodcn.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
20		fprodcn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
21	20	cnfldtopon 24726	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
23		1cnd 11235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
24	19, 22, 23	cnmptc 23605	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
25	18, 24	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
26		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵
27		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∪ {𝑤})
28		nfcsb1v 3903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
29	27, 28	nfcprod 15930	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
30		csbeq1a 3893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
31	30	prodeq2ad 45588	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
32	26, 29, 31	cbvmpt 5228	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
34		fprodcn.d	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
35		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))
36	34, 35	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)))
37		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
38		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑧
39	38	nfcprod1 15929	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵
40	37, 39	nfmpt 5224	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵)
41		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐽 Cn 𝐾)
42	40, 41	nfel 2914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
43	36, 42	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
44	19	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
45		fprodcn.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
46	45	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐴 ∈ Fin)
47		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
48	47, 28, 30	cbvmpt 5228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
49	48	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
51		fprodcn.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
52	50, 51	eqeltrd 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
53	52	ad4ant14 752	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
54		simplrl 776	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
55		simplrr 777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))
56		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵
57		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
58	57, 28	nfcprod 15930	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
59	30	prodeq2sdv 15944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
60	56, 58, 59	cbvmpt 5228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
61	60	eleq1i 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
62	61	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
63	62	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
64	43, 20, 44, 46, 53, 54, 55, 63	fprodcnlem 45595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
65	33, 64	eqeltrd 2835	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
66	65	ex 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
67	3, 6, 9, 12, 25, 66, 45	findcard2d 9185	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ⦋csb 3879   ∖ cdif 3928   ∪ cun 3929   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  {csn 4606   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  ℂcc 11132  1c1 11135  ∏cprod 15924  TopOpenctopn 17440  ℂ_fldccnfld 21320  TopOnctopon 22853   Cn ccn 23167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-prod 15925  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266

This theorem is referenced by:  fprodsub2cncf  45901  fprodadd2cncf  45902