Theorem nvnnncan1 28424

Description: Cancellation law for vector subtraction. (nnncan1 10922 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmf.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvnnncan1	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑀(𝐴𝑀𝐶)) = (𝐶𝑀𝐵))

Proof of Theorem nvnnncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
2	1	nvablo 28393	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ AbelOp)
3		nvmf.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4	3, 1	bafval 28381	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
5		nvmf.3	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
6	1, 5	vsfval 28410	. . 3 ⊢ 𝑀 = ( /𝑔 ‘( +𝑣 ‘𝑈))
7	4, 6	ablonnncan1 28334	. 2 ⊢ ((( +𝑣 ‘𝑈) ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑀(𝐴𝑀𝐶)) = (𝐶𝑀𝐵))
8	2, 7	sylan 582	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑀(𝐴𝑀𝐶)) = (𝐶𝑀𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  AbelOpcablo 28321  NrmCVeccnv 28361   +_𝑣 cpv 28362  BaseSetcba 28363   −_𝑣 cnsb 28366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-grpo 28270  df-gid 28271  df-ginv 28272  df-gdiv 28273  df-ablo 28322  df-vc 28336  df-nv 28369  df-va 28372  df-ba 28373  df-sm 28374  df-0v 28375  df-vs 28376  df-nmcv 28377

This theorem is referenced by:  minvecolem2  28652