MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvnnncan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvnnncan1 27843
Description: Cancellation law for vector subtraction. (nnncan1 10520 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmf.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmf.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvnnncan1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑀(𝐴𝑀𝐶)) = (𝐶𝑀𝐵))

Proof of Theorem nvnnncan1
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
21nvablo 27812 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣𝑈) ∈ AbelOp)
3 nvmf.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
43, 1bafval 27800 . . 3 𝑋 = ran ( +𝑣𝑈)
5 nvmf.3 . . . 4 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
61, 5vsfval 27829 . . 3 𝑀 = ( /𝑔 ‘( +𝑣𝑈))
74, 6ablonnncan1 27753 . 2 ((( +𝑣𝑈) ∈ AbelOp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑀(𝐴𝑀𝐶)) = (𝐶𝑀𝐵))
82, 7sylan 563 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑀(𝐴𝑀𝐶)) = (𝐶𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6032  (class class class)co 6794  AbelOpcablo 27739  NrmCVeccnv 27780   +𝑣 cpv 27781  BaseSetcba 27782  𝑣 cnsb 27785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-grpo 27688  df-gid 27689  df-ginv 27690  df-gdiv 27691  df-ablo 27740  df-vc 27755  df-nv 27788  df-va 27791  df-ba 27792  df-sm 27793  df-0v 27794  df-vs 27795  df-nmcv 27796
This theorem is referenced by:  minvecolem2  28072
  Copyright terms: Public domain W3C validator