Theorem nvnnncan1 28910

Description: Cancellation law for vector subtraction. (nnncan1 11187 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmf.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvnnncan1	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑀(𝐴𝑀𝐶)) = (𝐶𝑀𝐵))

Proof of Theorem nvnnncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
2	1	nvablo 28879	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ AbelOp)
3		nvmf.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4	3, 1	bafval 28867	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
5		nvmf.3	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
6	1, 5	vsfval 28896	. . 3 ⊢ 𝑀 = ( /𝑔 ‘( +𝑣 ‘𝑈))
7	4, 6	ablonnncan1 28820	. 2 ⊢ ((( +𝑣 ‘𝑈) ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑀(𝐴𝑀𝐶)) = (𝐶𝑀𝐵))
8	2, 7	sylan 579	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑀(𝐴𝑀𝐶)) = (𝐶𝑀𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  AbelOpcablo 28807  NrmCVeccnv 28847   +_𝑣 cpv 28848  BaseSetcba 28849   −_𝑣 cnsb 28852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863

This theorem is referenced by:  minvecolem2  29138