Theorem nvgrp 30546

Description: The vector addition operation of a normed complex vector space is a group. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nvabl.1	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvgrp	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)

Proof of Theorem nvgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvabl.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2	1	nvablo 30545	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ AbelOp)
3		ablogrpo 30476	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ AbelOp → 𝐺 ∈ GrpOp)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  GrpOpcgr 30418  AbelOpcablo 30473  NrmCVeccnv 30513   +_𝑣 cpv 30514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-nmcv 30529

This theorem is referenced by:  nvgf  30547  nvgcl  30549  nvass  30551  nvrcan  30553  nvzcl  30563  nv0rid  30564  nv0lid  30565  nvinvfval  30569  nvmval  30571  nvmfval  30573  nvnegneg  30578  nvrinv  30580  nvlinv  30581  hhshsslem1  31196