MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvgrp 30646
Description: The vector addition operation of a normed complex vector space is a group. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nvabl.1 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvgrp (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)

Proof of Theorem nvgrp
StepHypRef Expression
1 nvabl.1 . . 3 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
21nvablo 30645 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ AbelOp)
3 ablogrpo 30576 . 2 (𝐺 ∈ AbelOp → 𝐺 ∈ GrpOp)
42, 3syl 17 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  GrpOpcgr 30518  AbelOpcablo 30573  NrmCVeccnv 30613   +𝑣 cpv 30614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629
This theorem is referenced by:  nvgf  30647  nvgcl  30649  nvass  30651  nvrcan  30653  nvzcl  30663  nv0rid  30664  nv0lid  30665  nvinvfval  30669  nvmval  30671  nvmfval  30673  nvnegneg  30678  nvrinv  30680  nvlinv  30681  hhshsslem1  31296
  Copyright terms: Public domain W3C validator