MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvgrp 29404
Description: The vector addition operation of a normed complex vector space is a group. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nvabl.1 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvgrp (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)

Proof of Theorem nvgrp
StepHypRef Expression
1 nvabl.1 . . 3 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
21nvablo 29403 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ AbelOp)
3 ablogrpo 29334 . 2 (𝐺 ∈ AbelOp → 𝐺 ∈ GrpOp)
42, 3syl 17 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  GrpOpcgr 29276  AbelOpcablo 29331  NrmCVeccnv 29371   +𝑣 cpv 29372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-ablo 29332  df-vc 29346  df-nv 29379  df-va 29382  df-ba 29383  df-sm 29384  df-0v 29385  df-nmcv 29387
This theorem is referenced by:  nvgf  29405  nvgcl  29407  nvass  29409  nvrcan  29411  nvzcl  29421  nv0rid  29422  nv0lid  29423  nvinvfval  29427  nvmval  29429  nvmfval  29431  nvnegneg  29436  nvrinv  29438  nvlinv  29439  hhshsslem1  30054
  Copyright terms: Public domain W3C validator