Theorem nvgrp 28880

Description: The vector addition operation of a normed complex vector space is a group. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nvabl.1	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvgrp	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)

Proof of Theorem nvgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvabl.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2	1	nvablo 28879	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ AbelOp)
3		ablogrpo 28810	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ AbelOp → 𝐺 ∈ GrpOp)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  GrpOpcgr 28752  AbelOpcablo 28807  NrmCVeccnv 28847   +_𝑣 cpv 28848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-nmcv 28863

This theorem is referenced by:  nvgf  28881  nvgcl  28883  nvass  28885  nvrcan  28887  nvzcl  28897  nv0rid  28898  nv0lid  28899  nvinvfval  28903  nvmval  28905  nvmfval  28907  nvnegneg  28912  nvrinv  28914  nvlinv  28915  hhshsslem1  29530