Theorem ofmul12 44901

Description: Function analogue of mul12 11348. (Contributed by Steve Rodriguez, 13-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ofmul12	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹 ∘f · (𝐺 ∘f · 𝐻)) = (𝐺 ∘f · (𝐹 ∘f · 𝐻)))

Proof of Theorem ofmul12

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 776	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		simplr 778	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3	2	ffnd 6692	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐹 Fn 𝐴)
4		simprl 780	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
5	4	ffnd 6692	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐺 Fn 𝐴)
6		simprr 782	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐻:𝐴⟶ℂ)
7	6	ffnd 6692	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐻 Fn 𝐴)
8		inidm 4178	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
9	5, 7, 1, 1, 8	offn 7673	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐺 ∘f · 𝐻) Fn 𝐴)
10	3, 7, 1, 1, 8	offn 7673	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹 ∘f · 𝐻) Fn 𝐴)
11	5, 10, 1, 1, 8	offn 7673	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐺 ∘f · (𝐹 ∘f · 𝐻)) Fn 𝐴)
12		eqidd 2763	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
13		eqidd 2763	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
14		eqidd 2763	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
15	5, 7, 1, 1, 8, 13, 14	ofval 7671	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
16	2	ffvelcdmda 7065	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
17	4	ffvelcdmda 7065	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
18	6	ffvelcdmda 7065	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	mul12d 11392	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) · ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥))) = ((𝐺‘𝑥) · ((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥))))
20	3, 7, 1, 1, 8, 12, 14	ofval 7671	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
21	5, 10, 1, 1, 8, 13, 20	ofval 7671	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘f · (𝐹 ∘f · 𝐻))‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · ((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥))))
22	19, 21	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) · ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥))) = ((𝐺 ∘f · (𝐹 ∘f · 𝐻))‘𝑥))
23	1, 3, 9, 11, 12, 15, 22	offveq 7686	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹 ∘f · (𝐺 ∘f · 𝐻)) = (𝐺 ∘f · (𝐹 ∘f · 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∘_f cof 7658  ℂcc 11071   · cmul 11078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-mulcom 11137  ax-mulass 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660

This theorem is referenced by:  expgrowth  44911