Theorem ofmul12 41896

Description: Function analogue of mul12 11123. (Contributed by Steve Rodriguez, 13-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ofmul12	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹 ∘f · (𝐺 ∘f · 𝐻)) = (𝐺 ∘f · (𝐹 ∘f · 𝐻)))

Proof of Theorem ofmul12

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 763	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		simplr 765	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3	2	ffnd 6597	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐹 Fn 𝐴)
4		simprl 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
5	4	ffnd 6597	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐺 Fn 𝐴)
6		simprr 769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐻:𝐴⟶ℂ)
7	6	ffnd 6597	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐻 Fn 𝐴)
8		inidm 4157	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
9	5, 7, 1, 1, 8	offn 7537	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐺 ∘f · 𝐻) Fn 𝐴)
10	3, 7, 1, 1, 8	offn 7537	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹 ∘f · 𝐻) Fn 𝐴)
11	5, 10, 1, 1, 8	offn 7537	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐺 ∘f · (𝐹 ∘f · 𝐻)) Fn 𝐴)
12		eqidd 2740	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
13		eqidd 2740	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
14		eqidd 2740	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
15	5, 7, 1, 1, 8, 13, 14	ofval 7535	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
16	2	ffvelrnda 6955	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
17	4	ffvelrnda 6955	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
18	6	ffvelrnda 6955	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	mul12d 11167	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) · ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥))) = ((𝐺‘𝑥) · ((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥))))
20	3, 7, 1, 1, 8, 12, 14	ofval 7535	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
21	5, 10, 1, 1, 8, 13, 20	ofval 7535	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘f · (𝐹 ∘f · 𝐻))‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · ((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥))))
22	19, 21	eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) · ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥))) = ((𝐺 ∘f · (𝐹 ∘f · 𝐻))‘𝑥))
23	1, 3, 9, 11, 12, 15, 22	offveq 7548	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹 ∘f · (𝐺 ∘f · 𝐻)) = (𝐺 ∘f · (𝐹 ∘f · 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6426  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268   ∘_f cof 7522  ℂcc 10853   · cmul 10860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-mulcom 10919  ax-mulass 10921

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524

This theorem is referenced by:  expgrowth  41906