Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofmul12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofmul12 44344
Description: Function analogue of mul12 11426. (Contributed by Steve Rodriguez, 13-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofmul12 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹f · (𝐺f · 𝐻)) = (𝐺f · (𝐹f · 𝐻)))

Proof of Theorem ofmul12
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐴𝑉)
2 simplr 769 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32ffnd 6737 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐹 Fn 𝐴)
4 simprl 771 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
54ffnd 6737 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐺 Fn 𝐴)
6 simprr 773 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐻:𝐴⟶ℂ)
76ffnd 6737 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐻 Fn 𝐴)
8 inidm 4227 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
95, 7, 1, 1, 8offn 7710 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐺f · 𝐻) Fn 𝐴)
103, 7, 1, 1, 8offn 7710 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹f · 𝐻) Fn 𝐴)
115, 10, 1, 1, 8offn 7710 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐺f · (𝐹f · 𝐻)) Fn 𝐴)
12 eqidd 2738 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
13 eqidd 2738 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
14 eqidd 2738 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑥))
155, 7, 1, 1, 8, 13, 14ofval 7708 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
162ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
174ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
186ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℂ)
1916, 17, 18mul12d 11470 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) · ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥))) = ((𝐺𝑥) · ((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥))))
203, 7, 1, 1, 8, 12, 14ofval 7708 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥)))
215, 10, 1, 1, 8, 13, 20ofval 7708 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺f · (𝐹f · 𝐻))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · ((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥))))
2219, 21eqtr4d 2780 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) · ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥))) = ((𝐺f · (𝐹f · 𝐻))‘𝑥))
231, 3, 9, 11, 12, 15, 22offveq 7723 1 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹f · (𝐺f · 𝐻)) = (𝐺f · (𝐹f · 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11153   · cmul 11160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-mulcom 11219  ax-mulass 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697
This theorem is referenced by:  expgrowth  44354
  Copyright terms: Public domain W3C validator