Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofmul12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofmul12 40814
Description: Function analogue of mul12 10782. (Contributed by Steve Rodriguez, 13-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofmul12 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹f · (𝐺f · 𝐻)) = (𝐺f · (𝐹f · 𝐻)))

Proof of Theorem ofmul12
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐴𝑉)
2 simplr 768 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32ffnd 6488 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐹 Fn 𝐴)
4 simprl 770 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
54ffnd 6488 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐺 Fn 𝐴)
6 simprr 772 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐻:𝐴⟶ℂ)
76ffnd 6488 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐻 Fn 𝐴)
8 inidm 4170 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
95, 7, 1, 1, 8offn 7395 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐺f · 𝐻) Fn 𝐴)
103, 7, 1, 1, 8offn 7395 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹f · 𝐻) Fn 𝐴)
115, 10, 1, 1, 8offn 7395 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐺f · (𝐹f · 𝐻)) Fn 𝐴)
12 eqidd 2822 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
13 eqidd 2822 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
14 eqidd 2822 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑥))
155, 7, 1, 1, 8, 13, 14ofval 7393 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
162ffvelrnda 6824 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
174ffvelrnda 6824 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
186ffvelrnda 6824 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℂ)
1916, 17, 18mul12d 10826 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) · ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥))) = ((𝐺𝑥) · ((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥))))
203, 7, 1, 1, 8, 12, 14ofval 7393 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥)))
215, 10, 1, 1, 8, 13, 20ofval 7393 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺f · (𝐹f · 𝐻))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · ((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥))))
2219, 21eqtr4d 2859 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) · ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥))) = ((𝐺f · (𝐹f · 𝐻))‘𝑥))
231, 3, 9, 11, 12, 15, 22offveq 7405 1 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹f · (𝐺f · 𝐻)) = (𝐺f · (𝐹f · 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  f cof 7382  cc 10512   · cmul 10519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-mulcom 10578  ax-mulass 10580
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384
This theorem is referenced by:  expgrowth  40824
  Copyright terms: Public domain W3C validator