Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofmul12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofmul12 39294
Description: Function analogue of mul12 10490. (Contributed by Steve Rodriguez, 13-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofmul12 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹𝑓 · (𝐺𝑓 · 𝐻)) = (𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 · 𝐻)))

Proof of Theorem ofmul12
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 784 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐴𝑉)
2 simplr 786 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32ffnd 6255 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐹 Fn 𝐴)
4 simprl 788 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
54ffnd 6255 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐺 Fn 𝐴)
6 simprr 790 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐻:𝐴⟶ℂ)
76ffnd 6255 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐻 Fn 𝐴)
8 inidm 4016 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
95, 7, 1, 1, 8offn 7140 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐺𝑓 · 𝐻) Fn 𝐴)
103, 7, 1, 1, 8offn 7140 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹𝑓 · 𝐻) Fn 𝐴)
115, 10, 1, 1, 8offn 7140 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 · 𝐻)) Fn 𝐴)
12 eqidd 2798 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
13 eqidd 2798 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
14 eqidd 2798 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑥))
155, 7, 1, 1, 8, 13, 14ofval 7138 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
162ffvelrnda 6583 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
174ffvelrnda 6583 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
186ffvelrnda 6583 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℂ)
1916, 17, 18mul12d 10533 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) · ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥))) = ((𝐺𝑥) · ((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥))))
203, 7, 1, 1, 8, 12, 14ofval 7138 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥)))
215, 10, 1, 1, 8, 13, 20ofval 7138 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 · 𝐻))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · ((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥))))
2219, 21eqtr4d 2834 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) · ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥))) = ((𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 · 𝐻))‘𝑥))
231, 3, 9, 11, 12, 15, 22offveq 7150 1 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹𝑓 · (𝐺𝑓 · 𝐻)) = (𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 · 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wf 6095  cfv 6099  (class class class)co 6876  𝑓 cof 7127  cc 10220   · cmul 10227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-mulcom 10286  ax-mulass 10288
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129
This theorem is referenced by:  expgrowth  39304
  Copyright terms: Public domain W3C validator