Theorem ofsubid 44861

Description: Function analogue of subid 11444. (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ofsubid	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘f − 𝐹) = (𝐴 × {0}))

Proof of Theorem ofsubid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ffn 6686	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
3	2	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
4		c0ex 11167	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
5	4	fconst 6745	. . 3 ⊢ (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
6		ffn 6686	. . 3 ⊢ ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
7	5, 6	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
8		eqidd 2762	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
9		ffvelcdm 7057	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
10	9	subidd 11524	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) = 0)
11	10	adantll 724	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) = 0)
12	4	fvconst2 7183	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
13	12	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
14	11, 13	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐴 × {0})‘𝑥))
15	1, 3, 3, 7, 8, 8, 14	offveq 7681	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘f − 𝐹) = (𝐴 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {csn 4579   × cxp 5641   Fn wfn 6511  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ∘_f cof 7653  ℂcc 11065  0cc0 11067   − cmin 11408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-sub 11410

This theorem is referenced by:  expgrowth  44872