Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofsubid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofsubid 43640
Description: Function analogue of subid 11480. (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofsubid ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐹) = (𝐴 Γ— {0}))

Proof of Theorem ofsubid
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 ffn 6710 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
32adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
4 c0ex 11209 . . . 4 0 ∈ V
54fconst 6770 . . 3 (𝐴 Γ— {0}):𝐴⟢{0}
6 ffn 6710 . . 3 ((𝐴 Γ— {0}):𝐴⟢{0} β†’ (𝐴 Γ— {0}) Fn 𝐴)
75, 6mp1i 13 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐴 Γ— {0}) Fn 𝐴)
8 eqidd 2727 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
9 ffvelcdm 7076 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
109subidd 11560 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = 0)
1110adantll 711 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = 0)
124fvconst2 7200 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
1312adantl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
1411, 13eqtr4d 2769 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯))
151, 3, 3, 7, 8, 8, 14offveq 7690 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐹) = (𝐴 Γ— {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623   Γ— cxp 5667   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664  β„‚cc 11107  0cc0 11109   βˆ’ cmin 11445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447
This theorem is referenced by:  expgrowth  43651
  Copyright terms: Public domain W3C validator