Theorem ofsubid 44343

Description: Function analogue of subid 11528. (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ofsubid	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘f − 𝐹) = (𝐴 × {0}))

Proof of Theorem ofsubid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ffn 6736	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
4		c0ex 11255	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
5	4	fconst 6794	. . 3 ⊢ (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
6		ffn 6736	. . 3 ⊢ ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
7	5, 6	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
8		eqidd 2738	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
9		ffvelcdm 7101	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
10	9	subidd 11608	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) = 0)
11	10	adantll 714	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) = 0)
12	4	fvconst2 7224	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
14	11, 13	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐴 × {0})‘𝑥))
15	1, 3, 3, 7, 8, 8, 14	offveq 7723	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘f − 𝐹) = (𝐴 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4626   × cxp 5683   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  ℂcc 11153  0cc0 11155   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494

This theorem is referenced by:  expgrowth  44354