Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofsubid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofsubid 43764
Description: Function analogue of subid 11515. (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofsubid ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐹) = (𝐴 Γ— {0}))

Proof of Theorem ofsubid
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 ffn 6725 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
32adantl 480 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
4 c0ex 11244 . . . 4 0 ∈ V
54fconst 6786 . . 3 (𝐴 Γ— {0}):𝐴⟢{0}
6 ffn 6725 . . 3 ((𝐴 Γ— {0}):𝐴⟢{0} β†’ (𝐴 Γ— {0}) Fn 𝐴)
75, 6mp1i 13 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐴 Γ— {0}) Fn 𝐴)
8 eqidd 2728 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
9 ffvelcdm 7094 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
109subidd 11595 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = 0)
1110adantll 712 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = 0)
124fvconst2 7220 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
1312adantl 480 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
1411, 13eqtr4d 2770 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯))
151, 3, 3, 7, 8, 8, 14offveq 7713 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐹) = (𝐴 Γ— {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4630   Γ— cxp 5678   Fn wfn 6546  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   ∘f cof 7687  β„‚cc 11142  0cc0 11144   βˆ’ cmin 11480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-ltxr 11289  df-sub 11482
This theorem is referenced by:  expgrowth  43775
  Copyright terms: Public domain W3C validator