Theorem ofsubid 44293

Description: Function analogue of subid 11555. (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ofsubid	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘f − 𝐹) = (𝐴 × {0}))

Proof of Theorem ofsubid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ffn 6747	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
4		c0ex 11284	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
5	4	fconst 6807	. . 3 ⊢ (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
6		ffn 6747	. . 3 ⊢ ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
7	5, 6	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
8		eqidd 2741	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
9		ffvelcdm 7115	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
10	9	subidd 11635	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) = 0)
11	10	adantll 713	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) = 0)
12	4	fvconst2 7241	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
14	11, 13	eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐴 × {0})‘𝑥))
15	1, 3, 3, 7, 8, 8, 14	offveq 7739	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘f − 𝐹) = (𝐴 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648   × cxp 5698   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  ℂcc 11182  0cc0 11184   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  expgrowth  44304