Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofsubid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofsubid 42696
Description: Function analogue of subid 11428. (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofsubid ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐹) = (𝐴 Γ— {0}))

Proof of Theorem ofsubid
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 ffn 6672 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
32adantl 483 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
4 c0ex 11157 . . . 4 0 ∈ V
54fconst 6732 . . 3 (𝐴 Γ— {0}):𝐴⟢{0}
6 ffn 6672 . . 3 ((𝐴 Γ— {0}):𝐴⟢{0} β†’ (𝐴 Γ— {0}) Fn 𝐴)
75, 6mp1i 13 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐴 Γ— {0}) Fn 𝐴)
8 eqidd 2734 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
9 ffvelcdm 7036 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
109subidd 11508 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = 0)
1110adantll 713 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = 0)
124fvconst2 7157 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
1312adantl 483 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
1411, 13eqtr4d 2776 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯))
151, 3, 3, 7, 8, 8, 14offveq 7645 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐹) = (𝐴 Γ— {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4590   Γ— cxp 5635   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619  β„‚cc 11057  0cc0 11059   βˆ’ cmin 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sub 11395
This theorem is referenced by:  expgrowth  42707
  Copyright terms: Public domain W3C validator