Theorem ofdivrec 44322

Description: Function analogue of divrec 11860, a division analogue of ofnegsub 12191. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ofdivrec	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹 ∘f · ((𝐴 × {1}) ∘f / 𝐺)) = (𝐹 ∘f / 𝐺))

Proof of Theorem ofdivrec

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3	2	ffnd 6692	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐹 Fn 𝐴)
4		ax-1cn 11133	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		fnconstg 6751	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝐴 × {1}) Fn 𝐴)
6	4, 5	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐴 × {1}) Fn 𝐴)
7		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
8	7	ffnd 6692	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐺 Fn 𝐴)
9		inidm 4193	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
10	6, 8, 1, 1, 9	offn 7669	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝐴 × {1}) ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
11	3, 8, 1, 1, 9	offn 7669	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹 ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
12		eqidd 2731	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
13		1cnd 11176	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 1 ∈ ℂ)
14		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
15	1, 13, 8, 14	ofc1 7684	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {1}) ∘f / 𝐺)‘𝑥) = (1 / (𝐺‘𝑥)))
16		ffvelcdm 7056	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
17	2, 16	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
18		ffvelcdm 7056	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19		eldifsn 4753	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
20	18, 19	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
21	7, 20	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
22		divrec 11860	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) → ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (1 / (𝐺‘𝑥))))
23	22	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) → ((𝐹‘𝑥) · (1 / (𝐺‘𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
24	23	3expb 1120	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝐹‘𝑥) · (1 / (𝐺‘𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
25	17, 21, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) · (1 / (𝐺‘𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
26	3, 8, 1, 1, 9, 12, 14	ofval 7667	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f / 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
27	25, 26	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) · (1 / (𝐺‘𝑥))) = ((𝐹 ∘f / 𝐺)‘𝑥))
28	1, 3, 10, 11, 12, 15, 27	offveq 7682	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹 ∘f · ((𝐴 × {1}) ∘f / 𝐺)) = (𝐹 ∘f / 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914  {csn 4592   × cxp 5639   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by: (None)