Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofdivrec Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ofdivrec 43661
Description: Function analogue of divrec 11892, a division analogue of ofnegsub 12214. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofdivrec ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝐹 ∘f Β· ((𝐴 Γ— {1}) ∘f / 𝐺)) = (𝐹 ∘f / 𝐺))
Proof of Theorem ofdivrec
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 simp2 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
32ffnd 6712 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
4 ax-1cn 11170 . . . 4 1 ∈ β„‚
5 fnconstg 6773 . . . 4 (1 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 Γ— {1}) Fn 𝐴)
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝐴 Γ— {1}) Fn 𝐴)
7 simp3 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))
87ffnd 6712 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
9 inidm 4213 . . 3 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
106, 8, 1, 1, 9offn 7680 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((𝐴 Γ— {1}) ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
113, 8, 1, 1, 9offn 7680 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝐹 ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
12 eqidd 2727 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
13 1cnd 11213 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 1 ∈ β„‚)
14 eqidd 2727 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
151, 13, 8, 14ofc1 7693 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐴 Γ— {1}) ∘f / 𝐺)β€˜π‘₯) = (1 / (πΊβ€˜π‘₯)))
16 ffvelcdm 7077 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
172, 16sylan 579 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
18 ffvelcdm 7077 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
19 eldifsn 4785 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
2018, 19sylib 217 . . . . 5 ((𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
217, 20sylan 579 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
22 divrec 11892 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (1 / (πΊβ€˜π‘₯))))
2322eqcomd 2732 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (1 / (πΊβ€˜π‘₯))) = ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯)))
24233expb 1117 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (1 / (πΊβ€˜π‘₯))) = ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯)))
2517, 21, 24syl2anc 583 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (1 / (πΊβ€˜π‘₯))) = ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯)))
263, 8, 1, 1, 9, 12, 14ofval 7678 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘f / 𝐺)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯)))
2725, 26eqtr4d 2769 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (1 / (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝐹 ∘f / 𝐺)β€˜π‘₯))
281, 3, 10, 11, 12, 15, 27offveq 7691 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝐹 ∘f Β· ((𝐴 Γ— {1}) ∘f / 𝐺)) = (𝐹 ∘f / 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ– cdif 3940  {csn 4623   Γ— cxp 5667   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   / cdiv 11875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator