Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofdivrec Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ofdivrec 43812
Description: Function analogue of divrec 11928, a division analogue of ofnegsub 12250. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofdivrec ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝐹 ∘f Β· ((𝐴 Γ— {1}) ∘f / 𝐺)) = (𝐹 ∘f / 𝐺))
Proof of Theorem ofdivrec
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 simp2 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
32ffnd 6728 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
4 ax-1cn 11206 . . . 4 1 ∈ β„‚
5 fnconstg 6790 . . . 4 (1 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 Γ— {1}) Fn 𝐴)
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝐴 Γ— {1}) Fn 𝐴)
7 simp3 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))
87ffnd 6728 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
9 inidm 4221 . . 3 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
106, 8, 1, 1, 9offn 7705 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((𝐴 Γ— {1}) ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
113, 8, 1, 1, 9offn 7705 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝐹 ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
12 eqidd 2729 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
13 1cnd 11249 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 1 ∈ β„‚)
14 eqidd 2729 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
151, 13, 8, 14ofc1 7719 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐴 Γ— {1}) ∘f / 𝐺)β€˜π‘₯) = (1 / (πΊβ€˜π‘₯)))
16 ffvelcdm 7096 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
172, 16sylan 578 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
18 ffvelcdm 7096 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
19 eldifsn 4795 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
2018, 19sylib 217 . . . . 5 ((𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
217, 20sylan 578 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
22 divrec 11928 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (1 / (πΊβ€˜π‘₯))))
2322eqcomd 2734 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (1 / (πΊβ€˜π‘₯))) = ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯)))
24233expb 1117 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (1 / (πΊβ€˜π‘₯))) = ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯)))
2517, 21, 24syl2anc 582 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (1 / (πΊβ€˜π‘₯))) = ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯)))
263, 8, 1, 1, 9, 12, 14ofval 7703 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘f / 𝐺)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯)))
2725, 26eqtr4d 2771 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (1 / (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝐹 ∘f / 𝐺)β€˜π‘₯))
281, 3, 10, 11, 12, 15, 27offveq 7717 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝐹 ∘f Β· ((𝐴 Γ— {1}) ∘f / 𝐺)) = (𝐹 ∘f / 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βˆ– cdif 3946  {csn 4632   Γ— cxp 5680   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7690  β„‚cc 11146  0cc0 11148  1c1 11149   Β· cmul 11153   / cdiv 11911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator