Theorem ofdivrec 44774

Description: Function analogue of divrec 11819, a division analogue of ofnegsub 12151. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ofdivrec	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹 ∘f · ((𝐴 × {1}) ∘f / 𝐺)) = (𝐹 ∘f / 𝐺))

Proof of Theorem ofdivrec

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3	2	ffnd 6664	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐹 Fn 𝐴)
4		ax-1cn 11090	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		fnconstg 6723	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝐴 × {1}) Fn 𝐴)
6	4, 5	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐴 × {1}) Fn 𝐴)
7		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
8	7	ffnd 6664	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐺 Fn 𝐴)
9		inidm 4168	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
10	6, 8, 1, 1, 9	offn 7638	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝐴 × {1}) ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
11	3, 8, 1, 1, 9	offn 7638	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹 ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
12		eqidd 2738	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
13		1cnd 11133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 1 ∈ ℂ)
14		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
15	1, 13, 8, 14	ofc1 7653	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {1}) ∘f / 𝐺)‘𝑥) = (1 / (𝐺‘𝑥)))
16		ffvelcdm 7028	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
17	2, 16	sylan 581	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
18		ffvelcdm 7028	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19		eldifsn 4730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
20	18, 19	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
21	7, 20	sylan 581	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
22		divrec 11819	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) → ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (1 / (𝐺‘𝑥))))
23	22	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) → ((𝐹‘𝑥) · (1 / (𝐺‘𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
24	23	3expb 1121	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝐹‘𝑥) · (1 / (𝐺‘𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
25	17, 21, 24	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) · (1 / (𝐺‘𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
26	3, 8, 1, 1, 9, 12, 14	ofval 7636	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f / 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
27	25, 26	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) · (1 / (𝐺‘𝑥))) = ((𝐹 ∘f / 𝐺)‘𝑥))
28	1, 3, 10, 11, 12, 15, 27	offveq 7651	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹 ∘f · ((𝐴 × {1}) ∘f / 𝐺)) = (𝐹 ∘f / 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {csn 4568   × cxp 5623   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∘_f cof 7623  ℂcc 11030  0cc0 11032  1c1 11033   · cmul 11037   / cdiv 11801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802

This theorem is referenced by: (None)