Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofdivrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofdivrec 43754
Description: Function analogue of divrec 11913, a division analogue of ofnegsub 12235. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofdivrec ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹f · ((𝐴 × {1}) ∘f / 𝐺)) = (𝐹f / 𝐺))

Proof of Theorem ofdivrec
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐴𝑉)
2 simp2 1135 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32ffnd 6718 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐹 Fn 𝐴)
4 ax-1cn 11191 . . . 4 1 ∈ ℂ
5 fnconstg 6780 . . . 4 (1 ∈ ℂ → (𝐴 × {1}) Fn 𝐴)
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐴 × {1}) Fn 𝐴)
7 simp3 1136 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
87ffnd 6718 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐺 Fn 𝐴)
9 inidm 4215 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
106, 8, 1, 1, 9offn 7693 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝐴 × {1}) ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
113, 8, 1, 1, 9offn 7693 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹f / 𝐺) Fn 𝐴)
12 eqidd 2729 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
13 1cnd 11234 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 1 ∈ ℂ)
14 eqidd 2729 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
151, 13, 8, 14ofc1 7706 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐴 × {1}) ∘f / 𝐺)‘𝑥) = (1 / (𝐺𝑥)))
16 ffvelcdm 7086 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
172, 16sylan 579 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
18 ffvelcdm 7086 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19 eldifsn 4787 . . . . . 6 ((𝐺𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
2018, 19sylib 217 . . . . 5 ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
217, 20sylan 579 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
22 divrec 11913 . . . . . 6 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0) → ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (1 / (𝐺𝑥))))
2322eqcomd 2734 . . . . 5 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0) → ((𝐹𝑥) · (1 / (𝐺𝑥))) = ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))
24233expb 1118 . . . 4 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0)) → ((𝐹𝑥) · (1 / (𝐺𝑥))) = ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))
2517, 21, 24syl2anc 583 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) · (1 / (𝐺𝑥))) = ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))
263, 8, 1, 1, 9, 12, 14ofval 7691 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹f / 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))
2725, 26eqtr4d 2771 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) · (1 / (𝐺𝑥))) = ((𝐹f / 𝐺)‘𝑥))
281, 3, 10, 11, 12, 15, 27offveq 7704 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹f · ((𝐴 × {1}) ∘f / 𝐺)) = (𝐹f / 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  cdif 3942  {csn 4625   × cxp 5671   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7415  f cof 7678  cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   · cmul 11138   / cdiv 11896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator