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Theorem cantnflem1d 9682
Description: Lemma for cantnf 9687. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) (Revised by AV, 2-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐡)
cantnfs.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ On)
oemapval.t 𝑇 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯β€˜π‘§) ∈ (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑧 ∈ 𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}
oemapval.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
oemapval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑆)
oemapvali.r (πœ‘ β†’ 𝐹𝑇𝐺)
oemapvali.x 𝑋 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐡 ∣ (πΉβ€˜π‘) ∈ (πΊβ€˜π‘)}
cantnflem1.o 𝑂 = OrdIso( E , (𝐺 supp βˆ…))
cantnflem1.h 𝐻 = seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (π‘‚β€˜π‘˜)) Β·o (πΊβ€˜(π‘‚β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)
Assertion
Ref Expression
cantnflem1d (πœ‘ β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ βŠ† 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…))) ∈ (π»β€˜suc (β—‘π‘‚β€˜π‘‹)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑐,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐡   𝐴,𝑐,π‘˜,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑇,𝑐,π‘˜   π‘˜,𝐹,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,𝑐,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐺,𝑐,π‘˜,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐻,𝑦   π‘˜,𝑂,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑋,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐹,𝑐   πœ‘,𝑐
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀)   𝑆(𝑀)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝐻(𝑧,𝑀,π‘˜,𝑐)   𝑂(𝑐)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem cantnflem1d
StepHypRef Expression
1 cantnfs.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
2 cantnfs.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ On)
3 cantnfs.s . . . . . . . . 9 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐡)
4 oemapval.t . . . . . . . . 9 𝑇 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯β€˜π‘§) ∈ (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑧 ∈ 𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}
5 oemapval.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
6 oemapval.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑆)
7 oemapvali.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹𝑇𝐺)
8 oemapvali.x . . . . . . . . 9 𝑋 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐡 ∣ (πΉβ€˜π‘) ∈ (πΊβ€˜π‘)}
93, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8oemapvali 9678 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (πΊβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑋 ∈ 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΊβ€˜π‘€))))
109simp1d 1142 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 onelon 6389 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ On ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ On)
122, 10, 11syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ On)
13 oecl 8536 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑋 ∈ On) β†’ (𝐴 ↑o 𝑋) ∈ On)
141, 12, 13syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ↑o 𝑋) ∈ On)
153, 1, 2cantnfs 9660 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ 𝑆 ↔ (𝐺:𝐡⟢𝐴 ∧ 𝐺 finSupp βˆ…)))
166, 15mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺:𝐡⟢𝐴 ∧ 𝐺 finSupp βˆ…))
1716simpld 495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
1817, 10ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
19 onelon 6389 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ On)
201, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ On)
21 omcl 8535 . . . . 5 (((𝐴 ↑o 𝑋) ∈ On ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ On) β†’ ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ On)
2214, 20, 21syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ On)
23 ovexd 7443 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 supp βˆ…) ∈ V)
24 cantnflem1.o . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = OrdIso( E , (𝐺 supp βˆ…))
253, 1, 2, 24, 6cantnfcl 9661 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ( E We (𝐺 supp βˆ…) ∧ dom 𝑂 ∈ Ο‰))
2625simpld 495 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ E We (𝐺 supp βˆ…))
2724oiiso 9531 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 supp βˆ…) ∈ V ∧ E We (𝐺 supp βˆ…)) β†’ 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐺 supp βˆ…)))
2823, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐺 supp βˆ…)))
29 isof1o 7319 . . . . . . . . 9 (𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐺 supp βˆ…)) β†’ 𝑂:dom 𝑂–1-1-ontoβ†’(𝐺 supp βˆ…))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑂:dom 𝑂–1-1-ontoβ†’(𝐺 supp βˆ…))
31 f1ocnv 6845 . . . . . . . 8 (𝑂:dom 𝑂–1-1-ontoβ†’(𝐺 supp βˆ…) β†’ ◑𝑂:(𝐺 supp βˆ…)–1-1-ontoβ†’dom 𝑂)
32 f1of 6833 . . . . . . . 8 (◑𝑂:(𝐺 supp βˆ…)–1-1-ontoβ†’dom 𝑂 β†’ ◑𝑂:(𝐺 supp βˆ…)⟢dom 𝑂)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ◑𝑂:(𝐺 supp βˆ…)⟢dom 𝑂)
343, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8cantnflem1a 9679 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 supp βˆ…))
3533, 34ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘‚β€˜π‘‹) ∈ dom 𝑂)
3625simprd 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝑂 ∈ Ο‰)
37 elnn 7865 . . . . . 6 (((β—‘π‘‚β€˜π‘‹) ∈ dom 𝑂 ∧ dom 𝑂 ∈ Ο‰) β†’ (β—‘π‘‚β€˜π‘‹) ∈ Ο‰)
3835, 36, 37syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘‚β€˜π‘‹) ∈ Ο‰)
39 cantnflem1.h . . . . . . 7 𝐻 = seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (π‘‚β€˜π‘˜)) Β·o (πΊβ€˜(π‘‚β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)
4039cantnfvalf 9659 . . . . . 6 𝐻:Ο‰βŸΆOn
4140ffvelcdmi 7085 . . . . 5 ((β—‘π‘‚β€˜π‘‹) ∈ Ο‰ β†’ (π»β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹)) ∈ On)
4238, 41syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π»β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹)) ∈ On)
43 oaword1 8551 . . . 4 ((((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ On ∧ (π»β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹)) ∈ On) β†’ ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹)) βŠ† (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹)) +o (π»β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹))))
4422, 42, 43syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹)) βŠ† (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹)) +o (π»β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹))))
453, 1, 2, 24, 6, 39cantnfsuc 9664 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β—‘π‘‚β€˜π‘‹) ∈ Ο‰) β†’ (π»β€˜suc (β—‘π‘‚β€˜π‘‹)) = (((𝐴 ↑o (π‘‚β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹))) Β·o (πΊβ€˜(π‘‚β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹)))) +o (π»β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹))))
4638, 45mpdan 685 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π»β€˜suc (β—‘π‘‚β€˜π‘‹)) = (((𝐴 ↑o (π‘‚β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹))) Β·o (πΊβ€˜(π‘‚β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹)))) +o (π»β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹))))
47 f1ocnvfv2 7274 . . . . . . . 8 ((𝑂:dom 𝑂–1-1-ontoβ†’(𝐺 supp βˆ…) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp βˆ…)) β†’ (π‘‚β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹)) = 𝑋)
4830, 34, 47syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹)) = 𝑋)
4948oveq2d 7424 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ↑o (π‘‚β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹))) = (𝐴 ↑o 𝑋))
5048fveq2d 6895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(π‘‚β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹))) = (πΊβ€˜π‘‹))
5149, 50oveq12d 7426 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ↑o (π‘‚β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹))) Β·o (πΊβ€˜(π‘‚β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹)))) = ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹)))
5251oveq1d 7423 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴 ↑o (π‘‚β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹))) Β·o (πΊβ€˜(π‘‚β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹)))) +o (π»β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹))) = (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹)) +o (π»β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹))))
5346, 52eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (π»β€˜suc (β—‘π‘‚β€˜π‘‹)) = (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹)) +o (π»β€˜(β—‘π‘‚β€˜π‘‹))))
5444, 53sseqtrrd 4023 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹)) βŠ† (π»β€˜suc (β—‘π‘‚β€˜π‘‹)))
55 onss 7771 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ On β†’ 𝐡 βŠ† On)
562, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† On)
5756sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ On)
5812adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ On)
59 onsseleq 6405 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ On ∧ 𝑋 ∈ On) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∨ π‘₯ = 𝑋)))
6057, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∨ π‘₯ = 𝑋)))
61 orcom 868 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∨ π‘₯ = 𝑋) ↔ (π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ ∈ 𝑋))
6260, 61bitrdi 286 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ↔ (π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ ∈ 𝑋)))
6362ifbid 4551 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ βŠ† 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…) = if((π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ ∈ 𝑋), (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…))
6463mpteq2dva 5248 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ βŠ† 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ ∈ 𝑋), (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…)))
6564fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ βŠ† 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…))) = ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ ∈ 𝑋), (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…))))
663, 1, 2cantnfs 9660 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:𝐡⟢𝐴 ∧ 𝐹 finSupp βˆ…)))
675, 66mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝐡⟢𝐴 ∧ 𝐹 finSupp βˆ…))
6867simpld 495 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐴)
6968ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐴)
7018ne0d 4335 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
71 on0eln0 6420 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ On β†’ (βˆ… ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
721, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
7370, 72mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝐴)
7473adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆ… ∈ 𝐴)
7569, 74ifcld 4574 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…) ∈ 𝐴)
7675fmpttd 7114 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…)):𝐡⟢𝐴)
77 0ex 5307 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ V)
7967simprd 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp βˆ…)
8068, 2, 78, 79fsuppmptif 9393 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…)) finSupp βˆ…)
813, 1, 2cantnfs 9660 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…)):𝐡⟢𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…)) finSupp βˆ…)))
8276, 80, 81mpbir2and 711 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…)) ∈ 𝑆)
8368, 10ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
84 eldifn 4127 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑋) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑋)
8584adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑋)
8685iffalsed 4539 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑋)) β†’ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…) = βˆ…)
8786, 2suppss2 8184 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…)) supp βˆ…) βŠ† 𝑋)
88 ifor 4582 . . . . . . . 8 if((π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ ∈ 𝑋), (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…) = if(π‘₯ = 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), if(π‘₯ ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…))
89 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘‹))
9089adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘‹))
9190ifeq1da 4559 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))β€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = 𝑋, (πΉβ€˜π‘‹), ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))β€˜π‘₯)))
92 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ↔ π‘₯ ∈ 𝑋))
93 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
9492, 93ifbieq1d 4552 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…) = if(π‘₯ ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…))
95 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))
96 fvex 6904 . . . . . . . . . . . 12 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
9796, 77ifex 4578 . . . . . . . . . . 11 if(π‘₯ ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…) ∈ V
9894, 95, 97fvmpt 6998 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…))
9998ifeq2d 4548 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))β€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), if(π‘₯ ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…)))
10091, 99eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝑋, (πΉβ€˜π‘‹), ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))β€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), if(π‘₯ ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…)))
10188, 100eqtr4id 2791 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ if((π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ ∈ 𝑋), (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…) = if(π‘₯ = 𝑋, (πΉβ€˜π‘‹), ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))β€˜π‘₯)))
102101mpteq2ia 5251 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ ∈ 𝑋), (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ = 𝑋, (πΉβ€˜π‘‹), ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))β€˜π‘₯)))
1033, 1, 2, 82, 10, 83, 87, 102cantnfp1 9675 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ ∈ 𝑋), (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…)) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ ∈ 𝑋), (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…))) = (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) +o ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))))))
104103simprd 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ ∈ 𝑋), (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…))) = (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) +o ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…)))))
10565, 104eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ βŠ† 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…))) = (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) +o ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…)))))
106 onelon 6389 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ On)
1071, 83, 106syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ On)
108 omsuc 8525 . . . . . 6 (((𝐴 ↑o 𝑋) ∈ On ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ On) β†’ ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o suc (πΉβ€˜π‘‹)) = (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) +o (𝐴 ↑o 𝑋)))
10914, 107, 108syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o suc (πΉβ€˜π‘‹)) = (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) +o (𝐴 ↑o 𝑋)))
110 eloni 6374 . . . . . . . 8 ((πΊβ€˜π‘‹) ∈ On β†’ Ord (πΊβ€˜π‘‹))
11120, 110syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ord (πΊβ€˜π‘‹))
1129simp2d 1143 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (πΊβ€˜π‘‹))
113 ordsucss 7805 . . . . . . 7 (Ord (πΊβ€˜π‘‹) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ (πΊβ€˜π‘‹) β†’ suc (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (πΊβ€˜π‘‹)))
114111, 112, 113sylc 65 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ suc (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (πΊβ€˜π‘‹))
115 onsuc 7798 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ On β†’ suc (πΉβ€˜π‘‹) ∈ On)
116107, 115syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ suc (πΉβ€˜π‘‹) ∈ On)
117 omwordi 8570 . . . . . . 7 ((suc (πΉβ€˜π‘‹) ∈ On ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ On ∧ (𝐴 ↑o 𝑋) ∈ On) β†’ (suc (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (πΊβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o suc (πΉβ€˜π‘‹)) βŠ† ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹))))
118116, 20, 14, 117syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (suc (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (πΊβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o suc (πΉβ€˜π‘‹)) βŠ† ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹))))
119114, 118mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o suc (πΉβ€˜π‘‹)) βŠ† ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹)))
120109, 119eqsstrrd 4021 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) +o (𝐴 ↑o 𝑋)) βŠ† ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹)))
1213, 1, 2, 82, 73, 12, 87cantnflt2 9667 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))) ∈ (𝐴 ↑o 𝑋))
122 onelon 6389 . . . . . . 7 (((𝐴 ↑o 𝑋) ∈ On ∧ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))) ∈ (𝐴 ↑o 𝑋)) β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))) ∈ On)
12314, 121, 122syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))) ∈ On)
124 omcl 8535 . . . . . . 7 (((𝐴 ↑o 𝑋) ∈ On ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ On) β†’ ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) ∈ On)
12514, 107, 124syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) ∈ On)
126 oaord 8546 . . . . . 6 ((((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))) ∈ On ∧ (𝐴 ↑o 𝑋) ∈ On ∧ ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) ∈ On) β†’ (((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))) ∈ (𝐴 ↑o 𝑋) ↔ (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) +o ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…)))) ∈ (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) +o (𝐴 ↑o 𝑋))))
127123, 14, 125, 126syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…))) ∈ (𝐴 ↑o 𝑋) ↔ (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) +o ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…)))) ∈ (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) +o (𝐴 ↑o 𝑋))))
128121, 127mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) +o ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…)))) ∈ (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) +o (𝐴 ↑o 𝑋)))
129120, 128sseldd 3983 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΉβ€˜π‘‹)) +o ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑋, (πΉβ€˜π‘¦), βˆ…)))) ∈ ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹)))
130105, 129eqeltrd 2833 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ βŠ† 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…))) ∈ ((𝐴 ↑o 𝑋) Β·o (πΊβ€˜π‘‹)))
13154, 130sseldd 3983 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ βŠ† 𝑋, (πΉβ€˜π‘₯), βˆ…))) ∈ (π»β€˜suc (β—‘π‘‚β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   E cep 5579   We wwe 5630  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  Ord word 6363  Oncon0 6364  suc csuc 6366  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Ο‰com 7854   supp csupp 8145  seqΟ‰cseqom 8446   +o coa 8462   Β·o comu 8463   ↑o coe 8464   finSupp cfsupp 9360  OrdIsocoi 9503   CNF ccnf 9655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-seqom 8447  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-oexp 8471  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-cnf 9656
This theorem is referenced by:  cantnflem1  9683
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